初中数学苏科版七年级下册9.4 乘法公式教学设计及反思

例说完全平方公式的运用

    完全平方公式的原型是.我们在充分理解它的基础上，还要熟

悉它的变形式:

①    

②    

③    

    完全平方公式的运用是灵活多变的，在很多的中考题里都会有不同的形式出现，我们要充分理解和灵活运用.理解是运用的前提，运用是理解的升华.下面笔者举例谈谈完全平方公式的运用.

    一、完全平方公式中系数的运用

    例1  如果多项式是一个完全平方式，则的值是多少?

    分析  这里是首末两项是和2的平方，那么中间项就为加上或减去和2的乘积的2

倍.

解  是一个完全平方式，

    注  本题大部分学生都只会求出一个答案4，缺少.问题在哪里呢?第一，被项的符号迷惑;其二没有真正理解完全平方公式的结构特征，完全平方项的符号相同，积的2倍项与符号无关.这道题如果改成多项式是一个完全平方式，求的值;出错的学生会更多，他们往往被这个负号带入了死胡同；关键在于没有充分理解公式的特征:在本题的结构下，任意给出其中两项，未知的第三项均可以求出，要注意积的2倍的符号，有两种情况，不可漏解.如，若是一个完全平方式，求的值，就可以运用同样的方法求解.

二、完全平方公式在求值中的运用

例2  已知。.求:

(1) ;

 (2)的值

    分析  要求出结论，只要求出的值即可，但是这样做很复杂，联想到完全平方公式及倒数的相关知识，就可以顺利解答此题;

解  (1)

(2)

    注  很多学生缺乏整体意识和适当的变形，对互为倒数的两数之积为1的性质掌握不够，而若运用解一元二次方程的方法，试图通过求的值来求解，必然带来很大的麻烦

    三、将条件及结论变形，再运用完全平方公式求值

例3  已知，求的值.

    分析  由条件变形为:，由结论变形为，再由完全平方公式变形为，就可以求出结论.

解  ,

.

,

    原式=.

注  解答本题时，很多学生会走最熟悉的路径，即解一元二次方程，运用求的值来求解，但计算比教复杂;也有学生由，代入，就可以得出，化简得出结论;实际运用倒数法，结合完全平方公式求解，显得比较简单.

    四、完全平方公式在因式分解及求位中的运用

    例4  已知，求的值.

    分析  本题要求代数式的值，先求出、的值是很难的，而运用完全平方公式，将结论变形为，就可以轻松求出结果.

  解 

    原式.

    注  也有学生对条件变形求解:，再代入，就可以得到，即可求出结果.但是这样做比较复杂，不是命题者的初衷.

五、完全平方公式在求差法中的运用

例5  已知、、是的三边，试比较和的大小.

    分析  要比较大小运用两式子相减，然后再因式分解，判定符号后即可得到两式的大小.

    解  ,

    .

    、、是的三边，

,

,

,

.

    注  本题考查了因式分解、三角形的三边关系及平方差和完全平方公式的运用.作差、因式分解及分组构造完全平方公式是解题的关键.

    六、拆项构造完全平方公式在非负数中的运用

    例6  若，求的值.

    分析  求代数式的值，求出、的值是关键,一个等式两个未知数，就联想到构造完

全平方公式再利用非负数求解.

解  ,

,

,

,

.

故  原式=.

注  本题考查了非负数性质的运用，拆项法构造完全平方公式的运用，解答时将常数5拆成4和1是难点.

七、拆项、配方构造完全平方公式在证明中的运用

    例7  已知、、是的三边，满足，求证: .

    分析  将拆分成和，再构成两个完全平方公式，由等式的性质就可以求出结论.

证明 

,

,

,

.

、、是的三边,

,

.

    注  本题需要对多项式进行分组，运用完全平方公式进行变形，难点在分组，关键是在拆项，抓住和两个系数是拆项的突破点.

    八、配方法构造完全平方公式求值的运用

例8  已知: ，求的值.

    分析  将条件通过恒等变形得到，利用非负数的性质即可求出结论.

解 

①

，

②

由①–②，得

，

，

.

故  原式.

注  本题考查了配方法的运用，非负数的性质，解答本题的关键是利用完全平方公式进行恒等变形.

九、添项法构造完全平方公式分解因式的运用

例9  分解因式: .

    分析  本题是二项式，不能运用平方差公式分解，可以将其转化为,

在运用公式法分解即可.

解  原式=.

    注  解答本题采用的是添项法，在解答中采用添项的方法，构建完全平方公式是解题的突破点，也是难点可以运用同样的方法解答.

    十、配方法构建完全平方公式在证明中的运用

    例10  已知、、为三角形的三边，且，求证: 为等边三角形.

    分析  可将题目所给的关于、、的等量关系进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出、、三边的数量关系，进而就可以判断的形状.’

解  ，

，，

，

，

，

是等边三角形.

注  本题运用配方法构造完全平方公式，将已知转化为偶次幂的和，再由非负数的性质求解，解答难点是对条件进行变形和因式分解.

综上可见，完全平方公式及落变形的运用，是学习中的一个难点，这就需要我们仔细分析公式的结构特点，以及常用的变形形式.只有熟悉了结构，才能理解结构的变形，通过对变形的理解，才能运用自如，得心应手.