数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理同步练习题

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
1.2 空间向量的基本定理
思维导图
常见考法
考点一 基底的判断
【例1】(2020·全国高二课时练习)在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】:共面，排除A共面，排除B共面，排除D三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C
空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底
【举一反三】
1．(2020·全国高二课时练习)下列说法正确的是( )
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
【答案】C
【解析】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.
项，空间基底有无数个, 所以错.项中因为基底不唯一，所以错.故选.
2．(2018·全国高二课时练习)设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】选项A,B中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.
选项D中，，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C中不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.
3．(2018·开平市忠源纪念中学高二期末(理))若a,b,c构成空间的一组基底，则( )
A．b+c,b−c,a不共面B．b+c,b−c,2b不共面
C．b+c,a,a+b+c不共面D．a+c,a−2c,c不共面
【答案】A
【解析】∵2b=b+c+b−c，∴b+c,b−c,2b共面
∵a+b+c=b+c+a，∴b+c,a,a+b+c共面
∵a+c=a−2c+3c，∴a+c,a−2c,c共面故选A
考点二 基底的运用
【例2】(2019·佛山市荣山中学高二期中)如图，平行六面体中，为的中点，，，，则( )

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】为的中点，
．
故选：．
【举一反三】
1．(2019·甘肃靖远。高二期末(理))如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】连接
分别为中点
故选：
2．(2019·中央民族大学附属中学高二月考)在平行六面体ABCD－中，用向量来表示向量( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为， 故选B
3．(2020·江西吉安。高二期末(理))在四面体中，空间的一点满足，若共面，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由共面知，故选：
考点三 基本定理的运用
【例3】2020·绵竹市南轩中学高二月考(理))如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，
(1)用表示；
(2)求对角线的长；
(3)求
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)连接,，，如图：
，，
在，根据向量减法法则可得：
底面是平行四边形
且

又为线段中点

在中

(2)顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是
由(1)可知
平行四边形中
故：
故：对角线的长为：.
(3)，
又
【举一反三】
1．(2019·济南市历城第二中学高二月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，
设．
(1)试用表示出向量；
(2)求的长．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)∵是PC的中点，
∴
(2)
.
2．(2017·陕西新城。西安中学高二期中(理))如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
(1)设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)；；(2).
【解析】(1)
，同理可得，
．
(2)因为，
所以，
因为，
所以．
异面直线与所成角的余弦值为．
3．(2020·安徽宿州.高二期末(理))已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
(1)证明：；
(2)求异面直线与夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见详解；(2)
【解析】设，，
由题可知：两两之间的夹角均为，且，
(1)由
所以即证.
(2)由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.