人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课时训练

1.4.1 空间向量应用(一)

【题组一 平面法向量的求解】

1．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　)

A．(－1，1，1)   B．(1，－1,1)

C.   D.

【答案】C

【解析】设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，

则化简得∴x＝y＝z.故选C.

2．(2018·浙江高三其他)平面的法向量，平面的法向量，则下列命题正确的是(    )

A．、平行 B．、垂直 C．、重合 D．、不垂直

【答案】B

【解析】平面的法向量，平面的法向量，

因为，所以两个平面垂直．故选：．

3．(2019·山东历下.济南一中高二期中)在平面ABCD中，，，，若，且为平面ABCD的法向量，则等于(    )

A．2 B．0 C．1 D．无意义

【答案】C

【解析】由题得，，，又为平面ABCD的法向量，则有，即，则，那么.故选：C

【题组二 空间向量证平行】

1．(2019·安徽埇桥，北大附宿州实验学校高二期末(理))已知平面的法向量是，平面的法向量是，若// ，则的值是(    )

A． B．-6 C．6 D．

【答案】C

【解析】因为//，故可得法向量与向量共线，

故可得，解得.故选：C.

2(2019·乐清市知临中学高二期末)已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】平面α的一个法向量是，，

设平面的法向量为，则，

对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.

3.(2020.广东.华侨中学)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(　　)

A．(1,1,1)     B.    C.    D.

【答案】　C

【解析】设AC与BD相交于O点，连接OE，

∵AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，

又O是正方形ABCD对角线的交点，∴M为线段EF的中点．

在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1)．

由中点坐标公式，知点M的坐标为.

4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．相交   B．平行

C．垂直   D．MN在平面BB1C1C内

【答案】　B

【解析】以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝，则M，N，＝.

又C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．

因为·＝0，所以⊥，又MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.

【题组三 空间向量证明垂直】

1．(2019·湖北孝感.高二期中(理))已知向量，平面的一个法向量，若，则(    )

A．， B．， C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，由，得，.故选A

2．(2020·宜昌市人文艺术高中(宜昌市第二中学)高二月考)已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则______．

【答案】

【解析】，，且，，，解得，.

因此，.故答案为：.

3．(2020·陕西富平.期末(理))若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l与平面的位置关系是(    )

A． B． C． D．l与斜交

【答案】B

【解析】由题得，，则，又是平面的法向量，是直线l的方向向量，可得.

故选：B

4. 如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB.

求证：平面BCE⊥平面CDE.

【答案】

【解析】设AD＝DE＝2AB＝2a，

以A为原点，分别以AC，AB所在直线为x轴，z轴，以过点A垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，

E(a，a，2a)．

所以＝(a，a，a)，＝(2a，0，－a)，＝(－a，a，0)，＝(0，0，－2a)．

设平面BCE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·＝0，n1·＝0可得

即令z1＝2，可得n1＝(1，－，2)．

设平面CDE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n2·＝0，n2·＝0可得

即

令y2＝1，可得n2＝(，1，0)．因为n1·n2＝1×＋1×(－)＋2×0＝0.所以n1⊥n2，

所以平面BCE⊥平面CDE.

5.如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：

(1)PA⊥BD；

(2)平面PAD⊥平面PAB.

【答案】见解析

【解析】　(1)取BC的中点O，连接PO，

∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，

∴PO⊥底面ABCD.

以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝，

∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，)，

∴＝(－2，－1，0)，＝(1，－2，－)．

∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，

∴⊥，

∴PA⊥BD.

(2)取PA的中点M，连接DM，则M.

∵＝，＝(1，0，－)，

∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0，

∴⊥，即DM⊥PB.

∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，

∴⊥，即DM⊥PA.

又∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，

∴DM⊥平面PAB.

∵DM⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.

6.(2019·林州模拟)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．

【答案】见解析

【解析】(1)证明　如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F.

＝，＝(0，a，0)．

∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.

(2)解　设G(x，0，z)，则＝，

若使GF⊥平面PCB，则需·＝0，且·＝0，

由·＝·(a,0,0)

＝a＝0，得x＝；

由·＝·(0，－a，a)

＝＋a＝0，得z＝0.

∴G点坐标为，即G为AD的中点．