2020-2021学年5.3 诱导公式同步达标检测题

这是一份2020-2021学年5.3 诱导公式同步达标检测题，共6页。

1．sin 105°的值为( )
A.eq \f(\r(3)＋\r(2),2) B.eq \f(\r(2)＋1,2)
C.eq \f(\r(6)－\r(2),4) D.eq \f(\r(2)＋\r(6),4)
解析：选D sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cs 60°＋cs 45°sin 60°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).
2．(多选)下列叙述正确的为( )
A．对于所有θ∈R，总有sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝cs θ
B．存在α，β，满足sin(α－β)＝sin α－sin β
C．存在α，β，满足sin(α＋β)＝sin α＋sin β
D．对任意α，β，sin(α＋β)＝sin α＋sin β
解析：选ABC sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝cs θ，A正确；
存在α＝π，β＝π，满足sin(α－β)＝sin α－sin β，B正确；
存在α＝0，β＝eq \f(π,2)，满足sin(α＋β)＝sin α＋sin β，C正确；
对任意α，β，sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β，D不正确．故选A、B、C.
3．若eq \r(3)sin x＋cs x＝4－m，则实数m的取值范围是( )
A．[2，6] B．[－6，6]
C．(2，6) D．[2，4]
解析：选A ∵eq \r(3)sin x＋cs x＝4－m，
∴eq \f(\r(3),2)sin x＋eq \f(1,2)cs x＝eq \f(4－m,2)，
∴sineq \f(π,3)sin x＋cseq \f(π,3)cs x＝eq \f(4－m,2)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝eq \f(4－m,2).
∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))))≤1，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4－m,2)))≤1，∴2≤m≤6.
4．在△ABC中，cs A＝eq \f(\r(5),5)，cs B＝eq \f(3\r(10),10)，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：选B 由题意得sin A＝eq \f(2\r(5),5)，sin B＝eq \f(\r(10),10)，所以cs C＝cs(π－A－B)＝－cs(A＋B)＝－cs Acs B＋sin Asin B＝－eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝－eq \f(\r(50),50)＝－eq \f(5\r(2),50)＝－eq \f(\r(2),10)<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．
5．已知cs(α－β)＝eq \f(3,5)，sin β＝－eq \f(5,13)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则cs α＝( )
A.eq \f(33,65) B.eq \f(56,65)
C．－eq \f(33,65) D．－eq \f(56,65)
解析：选B ∵0＜α＜eq \f(π,2)，－eq \f(π,2)＜β＜0，
∴0＜α－β＜π.
又cs(α－β)＝eq \f(3,5)，
∴sin(α－β)＝eq \f(4,5).
∵－eq \f(π,2)＜β＜0，sin β＝－eq \f(5,13)，
∴cs β＝eq \f(12,13)，
∴cs α＝cs[(α－β)＋β]＝cs(α－β)cs β－sin(α－β)sin β
＝eq \f(3,5)×eq \f(12,13)－eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＝eq \f(56,65).
6．若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是α，β，则cs αcs β－eq \r(3)sin αcs β－eq \r(3)cs αsin β－sin αsin β＝________．
解析：由题意知α＋β＝－eq \f(π,12)，所以cs αcs β－eq \r(3)sin αcs β－eq \r(3)cs αsin β－sin αsin β＝cs(α＋β)－eq \r(3)sin(α＋β)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs（α＋β）－\f(\r(3),2)sin（α＋β）))＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－（α＋β）))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,12)))＝2sineq \f(π,4)＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
7．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcs(x＋φ)的最大值为________，最小值为________．
解析：因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcs(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcs(x＋φ)＝sin(x＋φ)cs φ－sin φcs(x＋φ)＝sin x，所以函数f(x)的最大值为1，最小值为－1.
答案：1 －1
8．已知cs θ＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))的值为________；sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))的值为________．
解析：因为cs θ＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f(π,2)))，
所以sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(2\r(2),3)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝sin θcs eq \f(π,4)＋cs θsin eq \f(π,4)
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)＋\f(1,3)))＝eq \f(4＋\r(2),6)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＝sin θcs eq \f(π,6)－cs θsin eq \f(π,6)
＝eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(6)－1,6).
答案：eq \f(4＋\r(2),6) eq \f(2\r(6)－1,6)
9．化简下列各式：
(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))；
(2)eq \f(sin（2α＋β）,sin α)－2cs(α＋β)．
解：(1)原式＝sin xcs eq \f(π,3)＋cs xsin eq \f(π,3)＋2sin xcs eq \f(π,3)－2cs xsin eq \f(π,3)－eq \r(3)cs eq \f(2π,3)cs x－eq \r(3)sin eq \f(2π,3)sin x
＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＋sin x－eq \r(3)cs x＋eq \f(\r(3),2)cs x－eq \f(3,2)sin x
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1－\f(3,2)))sin x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\r(3)＋\f(\r(3),2)))cs x＝0.
(2)原式＝eq \f(sin[（α＋β）＋α]－2cs（α＋β）sin α,sin α)
＝eq \f(sin（α＋β）cs α－cs（α＋β）sin α,sin α)
＝eq \f(sin[（α＋β）－α],sin α)＝eq \f(sin β,sin α).
10．已知eq \f(π,4)<α解：因为eq \f(π,4)<α所以sin(α＋β)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α＋β))
＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋β))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
＝eq \f(12,13)×eq \f(3,5)－eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＝eq \f(56,65).
[B级 综合运用]
11．已知函数f(x)＝xsin 126°sin(x－36°)＋xcs 54°·cs(x－36°)，则函数f(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：选B 因为函数的定义域为R，且f(x)＝xsin 126°sin(x－36°)＋xcs 54°cs(x－36°)＝xsin 54°·sin(x－36°)＋xcs 54°cs(x－36°)＝x[sin 54°sin(x－36°)＋cs 54°cs(x－36°)]＝xcs[54°－(x－36°)]＝xcs(90°－x)＝xsin x，所以任取x∈R，f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．
12．(2021·吉林五地六校高一联考)若0<αA.eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(5\r(3),9) D．－eq \f(\r(6),9)
解析：选C cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))，
易知eq \f(π,4)＋α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，eq \f(π,4)－eq \f(β,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,3)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq \f(\r(3),3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(2\r(2),3)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq \f(\r(6),3)，
则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),3)＋eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(5\r(3),9)，故选C.
13．“在△ABC中，cs Acs B＝________＋sin Asin B”，已知横线处是一个实数．甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角．则实数a，b，c的大小关系是________．
解析：由题意，横线处的实数等于cs(A＋B)，即cs(π－C)，故当C是直角时，a＝cs(A＋B)＝cs eq \f(π,2)＝0；当C是锐角时，－1答案：b14．(2021·浙江宁波高一月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)，\f(\r(2),10)))两点．
(1)求cs(α＋β)的值；
(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求2α－β的值．
解：(1)由Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)，\f(\r(2),10)))，得cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝－eq \f(7\r(2),10)，sin β＝eq \f(\r(2),10)，
则cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(9\r(10),50).
(2)由已知得cs 2α＝cs(α＋α)＝cs αcs α－sin αsin α＝－eq \f(3,5)，sin 2α＝sin αcs α＋cs αsin α＝eq \f(4,5).
∵cs 2α<0，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
∵β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
∵sin(2α－β)＝sin 2αcs β－cs 2αsin β
＝eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(\r(2),2)，
∴2α－β＝－eq \f(π,4).
[C级 拓展探究]
15．(2021·北京东城区高一月考)在平面直角坐标系xOy中，角α，βeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<α<\f(π,2)<β<π))的顶点与坐标原点O重合，始边为x的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为eq \f(4,5)，eq \f(5,13).
(1)求tan β的值；
(2)求eq \f(sin（α＋β）＋cs（π－β）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β)))的值．
解：(1)因为在平面直角坐标系xOy中，角α，βeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<α<\f(π,2)<β<π))的顶点与坐标原点O重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为eq \f(4,5)，eq \f(5,13)，
所以sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3,5)，sin β＝eq \f(5,13)，cs β＝－eq \f(12,13)，
所以tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝eq \f(\f(5,13),－\f(12,13))＝－eq \f(5,12).
(2)由(1)知sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3,5)，sin β＝eq \f(5,13)，cs β＝－eq \f(12,13)，
所以sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β
＝eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋eq \f(3,5)×eq \f(5,13)＝－eq \f(48,65)＋eq \f(15,65)＝－eq \f(33,65)，
所以eq \f(sin（α＋β）＋cs（π－β）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β)))＝eq \f(sin（α＋β）－cs β,cs α－sin β)
＝eq \f(－\f(33,65)＋\f(12,13),\f(3,5)－\f(5,13))＝eq \f(－\f(33,65)＋\f(60,65),\f(39,65)－\f(25,65))＝eq \f(\f(27,65),\f(14,65))＝eq \f(27,14).