数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教学课件ppt

这是一份数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教学课件ppt

6.2.4平面向量的数量积一、向量夹角将两个非零向量平移到同一起点所得到在区间[0，π]内的角，称为向量夹角。已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b a·b=|a| |b| cosθ记法“a·b”中间的“ · ”不可以省略，也不可以用“”代替。二、数量积定义正负零三、投影向量与投影的概念过A点向OB作垂线，垂足为A1，则向量 为向量 在向量 上的投影向量。投影向量求法：要求非零向量a在非零向量b上的投影向量，(1)求出向量b同向的单位向量e；(2)用向量a的模乘夹角余弦再乘向量e即为所求向量。BOA1当为直角时投影为0;ABOA1ABO(A1)当为锐角时投影为正值; 当为钝角时投影为负值;A当 = 0时投影为 当 = 180时投影为(点积为零是判定两向量垂直的条件)四、数量积的重要性质数量积的运算律：题型一、求两向量的数量积例1.已知|a|＝4，|b|＝5，a与b的夹角为θ，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.解:　(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°解析　如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.D变式1.题型二、求向量的模例2.解：变式2.已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值.解:∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，∵|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，∴a·b＝25.∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，故|3a＋b|＝20.题型三、求向量的夹角例3.设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.解:∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，变式3.已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－ ，求a与b的夹角θ.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.题型四、判断三角形形状例4.已知△ABC中，试判断△ABC的形状．变式4．已知O为△ABC所在平面内一点,且满足 试判断△ABC的形状．题型五、求投影向量例5.若丨a丨=2，丨b丨=4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影向量为_____________变式5.若a·b=16，e时与b方向相同的单位向量，若a在b上的投影向量为4e，则丨b丨=_______题型六、向量的垂直问题例6. 已知|a|＝3，|b|＝4且a与b不共线．k为何值时，向量(a＋kb)与(a-kb)互相垂直？变式6．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为 ，若向量2a＋kb与a＋b垂直，求k的值．小结：