高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体教案

9.2.1总体取值规律的估计（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第九章)

一、教学目标

1.会列频率分布表,会画频率分布直方图,并能够利用图表解决问题

2.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行描述

二、教学重难点

1.会列频率分布表,

2.会画频率分布直方图,

3.利用频率分布表和频率分布直方图解决实际问题

三、教学过程

1.复习回顾、引入主题

前言：同学们好！数学源于生活.所以同学们不单要在课堂上学习数学，还要从生活实

践中理解和认识数学.今天我们学习的内容就和生活实际有很大的联系. 我们知道：统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门学科.面对一个统计问题，首先要根据实际需要收集样本，然后将样本数据进行整理分析，提取需要的信息，然后通过样本的情况推断总体的情况.前面我们学习的抽样方法就是如何收集数据.这节课我们就研究如何将数据进行整理，以便提取数据，更好地推断整体的情况.

【设计意图】数学研究的问题不是凭空设想的，而是源于生活, 由此使学生认识统计思维的特点和作用.并激发学生学习的兴趣，为下一步学习做铺垫.

2.问题导入、新知建构

2.1创设情境、引出问题

【实际情境】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.

问题1：如果希望大多数居民的生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？

【预设的答案】每户居民的月用水量标准太低，会影响居民的日常生活；标准太高，则不利于节水.所以必须确定一个合理的用水标准.

问题2：你认为为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作?

【预设的答案】由于城市住户较多，全面普查,存在时间和经费问题,没有必要,所以通常采用抽样调查的方式.是为了从样本中获取信息，来估计总体的一些性质和特点.通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.

【设计意图】从学生熟悉的问题入手，体会研究这个问题的必要性,使学生亲自经历知识的生成过程，感受问题都是自然而生的,有利于培养学生的理性思维,并通过探究活动形成理论.

假设通过简单随机抽样，获得了某市100户居民用户的月均用水量数据（单位：t）

2.2:构建研究路径

问题3：通过这些数据，你能看出哪些信息？

  【活动预设】引导学生找出这组数据的最小值和最大值。

【预设的答案】如果将这组数据按从小到大排序，发现这组数据的最小值是1.3t,最大值是28.0t，其他在1.3t和28.0t之间。

问题4：为了更深人地挖掘数据蕴含的信息,需要对数据作进一步的整理与分析.

在实际问题中，我们更关心什么问题？

【预设的答案】月均用水量在不同范围内的居民用户占全市居民用户的比例

其实，面对多而杂乱的数据，我们往往又无法直接从原始数据中理解它们所包含的信息.怎么办？一副图胜过一千个字，看图、识图、用图是现代人必须具备的能力.因此，必须对样本数据进行整理和分析，帮助我们找出数据中的规律，使数据所包含的信息转化成直观的、容易理解的形式，从而更好地对总体做出相应的估计.处理、分析数据常用方法，一种是用图形画出来，另一种是用紧凑的表格改变数据的排列方式.

如初中所学过的频数分布图、条形图、扇形图、折线图和频数分布表,就分别是这两种方法. 我们可以发现无论是表格还是图形都会，使数据所包含的信息更加的清晰、直观.这样更有利于从数据中提取信息、传递信息.

问题5：所以我们今天来学习频率分布表和频率分布直方图对样本数据进行整理. 如何画频率分布表和频率分布直方图？有没有以往的经验？学习的方法是类比.类比频数分布表来画频率分布表，类比频数分布图画频率分布直方图.

【设计意图】学生再次体会研究新对象的基本思路.让学生知道本节及本小单元研究的对象时什么？为什么学？学什么？怎么学？关注学生的认知基础，在学生的“最近发展区”设计问题，培养理性思维.

2.3类比作图、感受方法

下面我们用类比的方法学习新知识： 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图。

（1）求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差。样本观测数据的最小值是1.3t，最大值是28.0t，则极差为28.0-1.3=26.7，这样说明样本观测数据的变化范围是26.7t.

（2）决定组距与组数：组数太多或太少都会影响我们了解数据的分布情况。组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程。数据分组的组数与数据的个数有关，一般数据的个数越多，所分组数也越多。当样本容量不超过100时，常分成5~12组。数据分组可以是等距，也可以是不等距的。但为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”。

分组时可以先确定组距，也可以先确定组数。如果取组距为3，则极差/组距=26.7/3=8.9

即可以将数据分为9组，这也说明这个组距是比较合适的。

（3）.将数据分组：由于组距为3，9个组距的长度超过极差，我们可以使第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右断点略大于数据中的最大值。例如，可以取区间为[1.2,28.2]，按如下方式把样本观测数据以组距为3分为9组：[1.2,4.2),[4.2,7.2), …

,[25.2,28.2]

（4）.列频率分布表：计算各小组的频率，例如第一小组的频率是：第一组频数/样本容量=23/100=0.23.由此方法作出频率分布表。将这些数据用表格的形式体现出来：

这个就是频率分布表. 我们还可以用更直观的方式体现出来.

（5）.画频率分布直方图

问题6：频率分布直方图的横轴、纵轴分布表示什么？

【预设的答案】

3.合理发问、深化理解

探究1：频率分布直方图中各小长方形的面积表示什么？各小长方形的面积之和为多少？

【预设的答案】:每个小长方形的面积都代表该小组数据在样本数据中所频率.所有小长方形的面积和＝1

探究2：频率分布直方图与频数分布直方图有什么区别?

频率分布直方图的优点：把样本数据落在各小组的比例大小直观化，更有利于我们从整体上把握数据分布的特点.

探究3：根据刚才所画直方图，你能从图中观察出样本的哪些信息？你能从图中发现居民用户月均用水量的哪些分布规律？你能给出适当的语言描述吗？

【预设的答案】局部分析:（1）样本落在各个小组的比例大小，例如[4.2，7.2）最多，[1.2，4.2）次之，月均用水量超过16.2的各个区间数据比例较小.

整体观察:（2）分布不对称，左高右低，右边有比较长的尾巴.[1.2，7.2）集中了0.55的用户；只有少数居民的月均用水量偏多；而且随着月均用水量的增加，居民用户数呈降低趋势.

得出结论:有了样本观测数据的频率分布，我们可以用它估计总体的取值规律.推测全市居民的月均用水量也有类似的分布.即“大部分居民用户月均用水量集中在较低值区域”.

4、例题训练、巩固新知

例1、

（1）通过对例题的分析，巩固频率分布直方图的画法和应用。

（2）让学生进一步体会其基本特征,强化利用这两个图表分析统计问题的意义.

5.归纳小结、反思升华

1、画频率分布表和频率分布直方图的方法；

2、小组的频率=小长方形的面积，所有小长方形面积的和=1

3、思想方法：统计思想、类比的方法、数形结合

【设计意图】

（1）回顾整理本节研究的内容，研究方法，梳理本节课对于频率分布直方图的认知；

（2）让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。

四、课外作业

作业1：教材第197页 练习1,2，

作业2: 【思考探究】问题1中将100个样本数据按组距为3进行了分组，初步得到一些对总体取值规律的估计.同学们试着改变组距,你会得到不同的直方图,观察分析这些直方图能得到什么样的对总体的估计?由此为了更好地对总体进行估计，你对画直方图时的数据分组有什么建议？

【设计意图】巩固强化本节课学习的知识方法,一节课时间有限,思考探究为下节课的学习做好铺垫.