初中数学苏科版七年级下册第11章 一元一次不等式综合与测试单元测试练习题

《第11章 一元一次不等式》

一、填空

1．用“＞”或“＜”填空：

（1）若a＞b，则a+c　　b+c；

（2）若m+2＜n+2，则m﹣4　　n﹣4；

（3）若b＞﹣1，则b+1　　0；

（4）若a＜b，则﹣3a　　﹣3b；

（5）若＞，则a　　b；

（6）若a＜b，则﹣2a+1　　﹣2b+1．

2．判断下列各题的推导是否正确，并说明理由．

（1）因为7.5＞5.7，所以﹣7.5＜﹣5.7；

（2）因为a+8＞4，所以a＞﹣4；

（3）因为4a＞4b，所以a＞b；

（4）因为﹣1＞﹣2，所以﹣a﹣1＞﹣a﹣2．

3．写出使下列推理成立的条件．

（1）4m＞2m：　　；

（2）如果a＞b，那么ac＜bc：　　；

（3）如果a＞b，那么ac2＞bc2：　　；

（4）如果ax＜b，那么x＞：　　．

4．若a＞b，c＜0，用“＞”或“＜”填空：

（1）a+3　　b+1；

（2）﹣a　　﹣b；

（3）ac2　　bc2；

（4）　　．

5．若是一元一次不等式，则m=　　．

6．不等式x﹣1≥﹣3的解集为　　，其中不等式的负整数解为　　．

7．不等式3（x+1）≥5x﹣3的正整数解是　　．

8．若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，则k的范围是　　．

9．解不等式：2（x+1）﹣3（x+2）＜0；并把解集在数轴上表示出来．

二、选择

10．下列不等式变形正确的是（　　）

A．由4x﹣1＞2，得4x＞1 B．由5x＞3，得x＞

C．由＞0，得y＞2 D．由﹣2x＜4，得x＞﹣2

11．若a＜b＜0，则下列式子：①a+1＜b+2；②＞1；③a+b＜ab；④＜中，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．若不等式ax＞b的解集是x＞，则a的范围是（　　）

A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0

三、解答

13．根据不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式，并说出每次变形的依据．

（1）x+3＜﹣2；

（2）x＞﹣1；

（3）7x＞6x﹣4；

（4）﹣x﹣1＜0．

14．（1）甲在不等式﹣10＜0的两边都乘﹣1，竟得到10＜0！为什么？

（2）乙在不等式2x＞5x两边同除以x，竟得到2＞5！又是为什么？

（3）你能利用不等式的性质将不等式“a＞b”变形为“b＜a”吗？试试看．

15．一辆12个座位的汽车上已有4名乘客，到一个站后又上来x个人，车上仍有空位，可以得到怎样的不等式？并判断x的取值范围．

16．比较两个数的大小可以通过它们的差来判断．例如要比较a和b的大小，那么：

当a﹣b＞0时，一定有a＞b；

当a﹣b=0时，一定有a=b；

当a﹣b＜0时，一定有a＜b．

反之也成立．

因此，我们常常将要比较的两个数先作差计算，再根据差的符号来判断这两个数的大小．根据上述结论，试比较x4+2x2+2与x4+x2+2x的大小关系．

17．下面是解不等式的部分过程，如果错误，说明错误原因并改正；如果正确，说明理由．

（1）由2x＞﹣4，得x＜﹣2；

（2）由16x﹣8＞32﹣24x，得2x﹣1＞4﹣3x；

（3）由﹣3x＞12，得x＜﹣4．

18．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：

（1）7+x＞3；

（2）x＜1；

（3）4+3x＞6﹣2x．

19．解答下列各题：

（1）x取何值时，代数式3x+2的值不大于代数式4x+3的值？

（2）当m为何值时，关于x的方程x﹣1=m的解不小于3？

（3）求不等式2x﹣3＜5的最大整数解．

20．某辆汽车油箱中原有油60L，汽车每行驶1km耗油0.08L，请你估计行驶多少千米后油箱中的油少于20L．

21．小丽在学了这节内容后，总结出：解一元一次不等式，就是利用不等式的性质把所要求的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式．你同意小丽的观点吗？请自编、自解一个一元一次不等式，再体会小丽的说法．

参考答案与试题解析

一、填空

1．用“＞”或“＜”填空：

（1）若a＞b，则a+c　＞　b+c；

（2）若m+2＜n+2，则m﹣4　＜　n﹣4；

（3）若b＞﹣1，则b+1　＞　0；

（4）若a＜b，则﹣3a　＞　﹣3b；

（5）若＞，则a　＞　b；

（6）若a＜b，则﹣2a+1　＞　﹣2b+1．

【考点】不等式的性质．

【分析】（1）根据不等式的性质1，进而得出答案；

（2）根据不等式的性质1，进而得出答案；

（3）根据不等式的性质1，进而得出答案；

（4）根据不等式的性质2，进而得出答案；

（5）根据不等式的性质2，进而得出答案；

（6）根据不等式的性质2，进而得出答案．

【解答】解：（1）若a＞b，则a+c＞b+c；

（2）若m+2＜n+2，则m﹣4＜n﹣4；

（3）若b＞﹣1，则b+1＞0；

（4）若a＜b，则﹣3a＞﹣3b；

（5）若＞，则a＞b；

（6）若a＜b，则﹣2a+1＞﹣2b+1．

故答案为：（1）＞；（2）＜；（3）＞；（4）＞；（5）＞；（6）＞．

【点评】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的性质是解题关键．

2．判断下列各题的推导是否正确，并说明理由．

（1）因为7.5＞5.7，所以﹣7.5＜﹣5.7；

（2）因为a+8＞4，所以a＞﹣4；

（3）因为4a＞4b，所以a＞b；

（4）因为﹣1＞﹣2，所以﹣a﹣1＞﹣a﹣2．

【考点】不等式的性质．

【分析】（1）根据不等式的性质2，进而得出答案；

（2）根据不等式的性质1，进而得出答案；

（3）根据不等式的性质2，进而得出答案；

（4）根据不等式的性质1，进而得出答案．

【解答】解：（1）因为7.5＞5.7，所以﹣7.5＜﹣5.7，正确，利用不等式两边同乘以一个负数不等号的方向改变；

（2）因为a+8＞4，所以a＞﹣4，正确，利用不等式两边同加上或减去同一个数不等号的方向不变；

（3）因为4a＞4b，所以a＞b； 正确，利用不等式两边同除以一个数不等号的方向不变；

（4）因为﹣1＞﹣2，所以﹣a﹣1＞﹣a﹣2，正确，利用不等式两边同加上或减去同一个数不等号的方向不变．

【点评】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的性质是解题关键．

3．写出使下列推理成立的条件．

（1）4m＞2m：　m＞0　；

（2）如果a＞b，那么ac＜bc：　c＜0　；

（3）如果a＞b，那么ac2＞bc2：　c≠0　；

（4）如果ax＜b，那么x＞：　a＜0　．

【考点】不等式的性质．

【分析】（1）根据不等式的基本性质得出即可；

（2）根据不等式的基本性质（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变）得出即可；

（3）根据不等式的基本性质（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不发生变化）得出即可；

（4）根据不等式的基本性质（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变）得出即可．

【解答】解：（1）当m＞0时，4m＞2m，

故答案为：m＞0；

（2）∵a＞b，c＜0，

∴ac＜bc，

故答案为：c＜0；

（3）当c≠0时，当a＞b时，ac2＞bc2，

故答案为：c≠0；

（4）当a＜0时，∵ax＜b，

∴x＞，

故答案为：a＜0

【点评】本题考查了不等式的基本性质的应用，注意：不等式的基本性质是：①不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等式的符号不改变；②不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不改变；③不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变．

4．若a＞b，c＜0，用“＞”或“＜”填空：

（1）a+3　＞　b+1；

（2）﹣a　＜　﹣b；

（3）ac2　＞　bc2；

（4）　＞　．

【考点】不等式的性质．

【分析】（1）根据不等式的性质1，进而得出答案；

（2）根据不等式的性质2，进而得出答案；

（3）根据不等式的性质2，进而得出答案；

（4）根据不等式的性质2，进而得出答案．

【解答】解：（1）a+3＞b+1；

（2）﹣a＜﹣b；

（3）ac2 ＞bc2；

（4）＞．

故答案为：（1）＞，（2）＜，（3）＞，（4）＞．

【点评】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的性质是解题关键．

5．若是一元一次不等式，则m=　1　．

【考点】一元一次不等式的定义．

【分析】根据一元一次不等式的定义，2m﹣1=1，求解即可．

【解答】解：根据题意2m﹣1=1，解得m=1．

故答案为：m=1．

【点评】本题考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件．

6．不等式x﹣1≥﹣3的解集为　x≥﹣2　，其中不等式的负整数解为　﹣2，﹣1　．

【考点】一元一次不等式的整数解．

【分析】首先移项，然后合并同类项即可解不等式，然后确定不等式的负整数解即可．

【解答】解：移项，得：x≥﹣3+1，

即x≥﹣2．

则负整数解是：﹣2，﹣1．

故答案是：x≥﹣2；﹣2，﹣1．

【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式是关键．

7．不等式3（x+1）≥5x﹣3的正整数解是　1，2，3　．

【考点】一元一次不等式组的整数解．

【专题】计算题．

【分析】先求出不等式的解集，然后求其正整数解．

【解答】解：∵不等式3（x+1）≥5x﹣3的解集是x≤3，

∴正整数解是1，2，3．

【点评】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

8．若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，则k的范围是　k＜﹣　．

【考点】解一元一次不等式．

【专题】计算题．

【分析】本题中不等式的解的不等号与原不等式的不等号正好相反，所以，2k+1＜0，据此即可求得k的取值范围．

【解答】解：∵不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，

∴2k+1＜0，

∴k＜﹣．

【点评】本题考查的是不等式两边同除以一个负数时不等号的方向改变．

9．解不等式：2（x+1）﹣3（x+2）＜0；并把解集在数轴上表示出来．

【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】去括号整理后，应把含x的项移到不等号的左边，移项及合并后两边都除以不等号的系数即可．

【解答】解：去括号得，2x+2﹣3x﹣6＜0，

移项及合并得，﹣x＜4，

系数化为1，得x＞﹣4．

解集在数轴上表示为：

【点评】本题需注意的知识点是：在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下该怎么除还怎么除．

二、选择

10．下列不等式变形正确的是（　　）

A．由4x﹣1＞2，得4x＞1 B．由5x＞3，得x＞

C．由＞0，得y＞2 D．由﹣2x＜4，得x＞﹣2

【考点】不等式的性质．

【分析】根据不等式的性质1，可判断A，根据不等式的性质2，可判断B、C，根据不等式的性质3，可判断D．

【解答】解：A 4x﹣1＞2，4x＞3，故A错误；

B 5x＞3，x＞，故B错误；

C  ，y＞0，故C错误；

D﹣2x＜4，x＞﹣2，故D正确；

故选：D．

【点评】本题考查了不等式的性质，注意不等式的性质3，两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．

11．若a＜b＜0，则下列式子：①a+1＜b+2；②＞1；③a+b＜ab；④＜中，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】不等式的性质．

【分析】根据不等式的基本性质判断．

【解答】解：∵a＜b∴a+1＜b+1＜b+2因而①一定成立；

a＜b＜0即a，b同号．并且|a|＞|b|因而②＞1一定成立；

④＜一定不成立；

∵a＜b＜0即a，b都是负数．∴ab＞0  a+b＜0∴③a+b＜ab一定成立．

正确的有①②③共有3个式子成立．

故选C．

【点评】本题比较简单的作法是用特殊值法，如令a=﹣3 b=﹣2代入各式看是否成立．

12．若不等式ax＞b的解集是x＞，则a的范围是（　　）

A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0

【考点】解一元一次不等式．

【专题】常规题型．

【分析】根据不等式的性质2，不等式的两边同时除以一个正数，不等号的方向不改变，即a＞0．

【解答】解：∵不等式ax＞b的解集是x＞，

∴a＞0，

故选C．

【点评】本题考查了利用不等式的基本性质解不等式的能力，要熟练掌握．

三、解答

13．根据不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式，并说出每次变形的依据．

（1）x+3＜﹣2；

（2）x＞﹣1；

（3）7x＞6x﹣4；

（4）﹣x﹣1＜0．

【考点】不等式的性质．

【分析】（1）先移项，再合并即可；

（2）不等式的两边都乘以3即可；

（3）先移项，再合并即可；

（4）先移项，再不等式的两边都乘以﹣1即可．

【解答】解：（1）∵x+3＜﹣2，

∴x＜﹣2﹣3（不等式的基本性质1），

∴x＜﹣5（合并同类项）；

（2）∵x＞﹣1，

∴x＞﹣3（不等式的基本性质2）；

（3）∵7x＞6x﹣4，

∴7x﹣6x＞﹣4（不等式的基本性质1），

x＞﹣4（合并同类项）；

（4）﹣x﹣1＜0，

﹣x＜1（不等式的基本性质1），

x＞﹣1（不等式的基本性质3）．

【点评】本题考查了不等式的基本性质的应用，注意：不等式的基本性质是：①不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等式的符号不改变；②不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不改变；③不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变．

14．（1）甲在不等式﹣10＜0的两边都乘﹣1，竟得到10＜0！为什么？

（2）乙在不等式2x＞5x两边同除以x，竟得到2＞5！又是为什么？

（3）你能利用不等式的性质将不等式“a＞b”变形为“b＜a”吗？试试看．

【考点】不等式的性质．

【分析】（1）根据不等式的基本性质3判断即可；

（2）根据已知求出x是负数，根据不等式的基本性质3判断即可；

（3）移项，再两边都除以﹣1即可．

【解答】解：（1）不对，不等式的两边都乘以﹣1，不等式的符号要改变，即10＞0；

（2）2x＞5x

∴2x﹣5x＞0，

﹣3x＞0，

∴x＜0，

即不等式的两边都除以一个负数x，不等式的符号要改变，即2＜5；

（3）能，如∵a＞b，

∴﹣b＞﹣a，

∴b＜a．

【点评】本题考查了不等式的基本性质的应用，注意：不等式的基本性质是：①不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等式的符号不改变；②不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不改变；③不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变．

15．一辆12个座位的汽车上已有4名乘客，到一个站后又上来x个人，车上仍有空位，可以得到怎样的不等式？并判断x的取值范围．

【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．

【分析】根据题意可得：车上的原有人数+上来x个人＜12，再解不等式即可．

【解答】解：由题意得：4+x＜12，

解得：x＜8．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式．

16．比较两个数的大小可以通过它们的差来判断．例如要比较a和b的大小，那么：

当a﹣b＞0时，一定有a＞b；

当a﹣b=0时，一定有a=b；

当a﹣b＜0时，一定有a＜b．

反之也成立．

因此，我们常常将要比较的两个数先作差计算，再根据差的符号来判断这两个数的大小．根据上述结论，试比较x4+2x2+2与x4+x2+2x的大小关系．

【考点】不等式的性质．

【分析】先作差：（x4+2x2+2）﹣（x4+x2+2x），然后根据差的符号来判断这两个数的大小．

【解答】解：∵（x4+2x2+2）﹣（x4+x2+2x），

=x4+2x2+2﹣x4﹣x2﹣2x

=x2﹣2x+2

=（x﹣1）2+1．

在实数范围内，无论x取何值，（x﹣1）2+1＞0总成立，

∴∵（x4+2x2+2）﹣（x4+x2+2x）＞0，

∴x4+2x2+2＞x4+x2+2x．

【点评】本题考查了不等式的性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

17．下面是解不等式的部分过程，如果错误，说明错误原因并改正；如果正确，说明理由．

（1）由2x＞﹣4，得x＜﹣2；

（2）由16x﹣8＞32﹣24x，得2x﹣1＞4﹣3x；

（3）由﹣3x＞12，得x＜﹣4．

【考点】不等式的性质．

【专题】计算题．

【分析】（1）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变进行判断；

（2）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变进行判断；

（3）根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行判断．

【解答】解：（1）错误．等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，所以由2x＞﹣4，得x＞﹣2；

（2）正确．等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，所以把16x﹣8＞32﹣24x两边都除以8得到2x﹣1＞4﹣3x；

（3）正确．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，所以﹣3x＞12两边都除以﹣3，得到x＜﹣4．

【点评】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

18．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：

（1）7+x＞3；

（2）x＜1；

（3）4+3x＞6﹣2x．

【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】（1）通过移项可以求得x的取值范围；

（2）化未知数系数为1来求x的取值范围；

（3）通过移项、合并同类项，化系数为1来求x的取值范围

【解答】解：（1）移项，得

x＞﹣4．

表示在数轴上为：

；

（2）不等式的两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变，即x＞﹣2，表示在数轴上是：

；

（3）移项、合并同类项，得

5x＞2，

化系数为1，得

x＞2.5．表示在数轴上为：

【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．

不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

19．解答下列各题：

（1）x取何值时，代数式3x+2的值不大于代数式4x+3的值？

（2）当m为何值时，关于x的方程x﹣1=m的解不小于3？

（3）求不等式2x﹣3＜5的最大整数解．

【考点】解一元一次不等式；一元一次不等式的整数解．

【分析】（1）先根据代数式3x+2的值不大于代数式4x+3的值列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可；

（2）先把m当作已知条件求出x的值，再根据x的值不小于3得出关于m的不等式，求出m的值即可；

（3）先求出不等式的解集，再得出x的最大整数解即可．

【解答】解：（1）∵代数式3x+2的值不大于代数式4x+3的值，

∴3x+2≤4x+3，解得x≥﹣1．

（2）解方程得，x=2m+2，

∵方程的解不小于3，

∴2m+2≥3，即2m≥1，解得m≥；

（3）移项得，2x＜5+3，

合并同类项得，2x＜8，

x的系数化为1得，x＜4．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．

20．某辆汽车油箱中原有油60L，汽车每行驶1km耗油0.08L，请你估计行驶多少千米后油箱中的油少于20L．

【考点】一元一次不等式的应用．

【分析】读出题意，根据关系式，剩余油量=总油量﹣耗油量，列出关系式解答即可．

【解答】解：设估计行驶x千米后油箱中的油少于20L．依题意，得

60﹣0.08x＜20，

解得，x＞500．

答：估计行驶500千米后油箱中的油少于20L．

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．

21．小丽在学了这节内容后，总结出：解一元一次不等式，就是利用不等式的性质把所要求的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式．你同意小丽的观点吗？请自编、自解一个一元一次不等式，再体会小丽的说法．

【考点】解一元一次不等式．

【分析】根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．

【解答】解：同意小丽的观点．

如2x≥x+2，

移项得2x﹣x≥2，

解得x≥2．

【点评】考查了解一元一次不等式，在解一元一次不等式的步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．