初中数学人教 版八年级下册 小结4教案

在勾股定理的复习课中培养学生的数学思想

天津市滨海新区大港第五中学

王   涛

数学思想是数学教学中非常重要的组成部分，对学生的数学思想的教育应该是在日常的课堂学习中潜移默化的。冰冻三尺非一日之寒。下面就以笔者的一次八年级的复习课来说明笔者在平时是如何进行数学思想的渗透的。

授课内容是人教社八年级下册第十七章勾股定理的复习课。授课中主要涉及到了数形结合的思想、分类讨论的思想、化归的思想和方程的思想。

一、教学过程

    笔者先从直角三角形的角的性质引入，对于直角三角形两锐角互余和有两个角互余的三角形是直角三角形进行了回顾，继而引出了直角三角形边上的性质。带领学生一起复习了勾股定理和逆定理的内容、证明、应用以及勾股定理的历史。

对于勾股定理的证明的复习时带着学生一起赵爽弦图的证法进行回忆。体会这种证法中数形结合的思想，他用几何图形的割、补、拼来证明数之间的恒等关系，既严密又直观。稍晚的刘徽在证明时也是用的以形证数的方法。这是第十七章中第一次数形结合思想的体现。以形证数。

在接下来是实际应用环节。笔者根据本节课想要传达给学生的数学思想，设计了如下四组练习。

    练习一：

1、如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是(　　)

A．12米    B．8米    C．5米     D．5或7米

找学生回答并讲解。

2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，

则△ABC（   ）直角三角形。（填“是”或“不是”）

教师提问：这道题目如何思考呀？

生：通过构造直角三角形先利用勾股定理求出AB,BC,CA三边的长度、再利用勾股定理的逆定理来判断三角形ABC的形状。

师：斜边是谁？

生：BC

师：直角是谁？

生：∠A

师：你会求三角形ABC的面积吗？有几种方法？

生：1、直角边乘积的一半，2、构造一个长方形，用长方形的面积减去三个三角形的面积。

师：这就是我们常说的求面积的常用方法—割补法，此题用的是补的方法。

师：总结：这组练习实际上是数形结合的思想的体现：数形结合是数学中基本的思想，也是代数与几何的密切联系所在。

练习二：

3、已知一个三角形的两边分别为6和8，若想成为直角三角形,则它的第三边

    为          

4、 在△ABC中，AB=13，AC=20，高AD=12， 则BC的长为           

学生单独完成，找学生讲解。

教师总结：这组联系实际是分类讨论的思想的体现：在某些问题尤其是没有给出图形的问题的解决中，一定要注意题目可能存在的多种情况。

练习三：

5、如图，已知在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13.求四边形ABCD的面积．

师：如何添加辅助线？

生：连接AC.

师：为什么要连接AC？你是如何想到的？

生：∠B＝90°，AB＝3，BC＝4由此想到了勾股定理勾股数，所以链接AC。

师：连接AC的好处是什么？

生：既构造了直角三角形又把四边形分割成了两个两个直角三角形。

师：这道题是面积的那种求法？割补法的分割法，与第二题是一补一割。

师：总结：勾股定理是解决直角三角形中线段问题有效的方法，有时为了需要，作垂线构建直角三角形模型是行之有效的办法。通过构造直角三角形化非直角三角形的问题为直角三角形并利用勾股定理来解决问题，是本章化归思想的体现。既可以把数量关系的问题转化为图形的问题来解决也可以把图形的问题转化为数量关系的问题来处理。

练习四：

6、已知直角三角形的纸片ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC上，现将AC沿直线AD折叠，使它可以落在斜边AB上，求此时CD的长。

师：由∠C=90°，AC=6，BC=8，这三个已知条件可以得到什么？

生：AB是斜边，为10.        

师：什么是折叠？

生：轴对称。

师：轴对称可以得到什么结论？

生：全等。

师：由全等三角形可以得到什么结论？

生：对应边相等或对应角相等。

师：对应边有谁、对应角有谁？

生：AC=AC ’,CD=DC’.∠C=∠C’.

师：图中一共有几个直角三角形？

生：四个。

师：条件可以集中到那个三角形中？

生：Rt△BDC’

师：如何列方程？

生：根据勾股定理来列方程。

师总结：方程的思想：设未知的边或角为X，通过勾股定理列方程从而使问题得到解答。是本章方程思想的体现。

7、如图,长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C’处，BC与AD交于点E，AD=8，AB=4，求①DE的长.

②重叠部分△EBD的面积

这道题的设计思路是让学生通过实际练习再次体会方程思想的应用。

课堂小结：

在小结部分，老师再次强调

1、本章的内容不论是勾股定理还是逆定理都是研究的直角三角形三遍之间的关系。

2、由数推形和由形倒数都是数学中数形结合思想的体现也是本章中最明显的特色之一。

第十七章勾股定理及其逆定理在初中数学的几何部分中有着非常重要的地位。首先说它是直角三角形中所独有的一个非常重要的三边之间的数量关系，我们也可以利用它去判断两条直线间的垂直的位置关系，这本身就是数学中数形结合的思想的重要体现。其次，它与之后要研究的平行四边形、圆等知识都有着非常密切的联系，同时也是二次根式的一个最直接的应用。所以在复习时要把它在初中数学中的地位与学生交代清楚（因为课时有限，这个工作也可以放在下节课完成）。那么本章中所蕴含的数学思想是什么，是我们老师要在平时的授课中尤其是复习课中所一定要注意渗透的，润物细无声在授课时潜移默化的影响学生，使学生慢慢地对这些数学思想进行体会。让学生不仅仅是学会做题，更要学会分析。授之以鱼，不如授之以渔。本节课的几组练习题目就是本着这个思想进行设计的。由浅入深先练习后点题。实际的授课结果也是非常的理想，达到了预期的效果。在本章中涉及到了许多的数学思想，由于时间有限在一节课里不能都复习到，所以笔者只是选择了比较重要的四类思想。并留下可后作业，以小组为单位继续研究本章体现的数学思想并配相应的典型题目。