初中数学人教 版八年级下册 小结5教案

第17章 勾股定理复习课（一）教学设计

环节一:直角三角形三边长的特殊关系

问题1：本章我们学习了勾股定理，勾股定理主要揭示了直角三角形三边长的特殊数量关系，这就是两条直角边的平方和等于斜边的平方.

如图1，可以求出AB=？（做一个两直角边长为3和4的Rt△ACB，求斜边AB？）

（学生口答出5之后，找一个成绩较弱的学生说明过程，巩固勾股定理）

设计意图：复习课开课阶段，低起点起入，吸引学生全员参与，而这个特殊的数据为下一复习环节提供对照.

问题2：我们是如何证明勾股定理的呢？你学会了哪些方法？

设计意图：安排学生上台展示自己理解的勾股定理证明方法，对于不同的证明方法要求学生概述思路，并阐释这种证明方法的关键之处是什么？体现了怎样的数学思想方法？比如，赵爽弦图体现了中国古代数学家“出入相补原理”等.注意师生和生生之间的互动。

环节二：已知三角形三边长，如何判断直角三角形？问题3：我们在研究了勾股定理之后，还研究了它的逆命题；

如图2，已知一个三角形的三边，如何判断直角三角形呢？

（做一个三边长为3、4、5的△EFD）

（预设：根据勾股定理的逆定理，可以判定图2中的∠F是直角）

问题4：我们知道与勾股定理的证明方法众多相比，勾股定理逆定理的证法就少了很多，你学会了哪种证法呢？

设计意图：安排学生上台对照图1、图2进行讲解，即先构造一个直角三角形，使得两条直角边等于图2中的两条边长，这里在图1中利用勾股定理计算出斜边AB=5=DE，从而根据“SSS”证明△DEF≌△ABC，从而得出图2中的∠F=∠C=90°.

问题5：在学习这章过程中，有人认为需要积累很多勾股数，这对于提升解题效率很有帮助，你们积累了哪些勾股数组呢？（学生口答，追问补充）

拓展1：古希腊数学家、哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2-1，

c=m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为对吗？如果对，说明理由.

（独立处理，然后学生讲解）

拓展2：有人还把柏拉图上述结论进一步拓展，提出命题：如果m，n表示大于1的不等整数，a=2mn，b=m2-n2，c=m2+n2，那么a，b，c也为勾股数。（继续安排学生演算之后再汇报它们的证明过程，证明之后，安排学生利用这个规律，举例写出两组勾股数组）

拓展3：有人指出（3，4，5）可以看成是方程x2+y2=z2的一个正整数解，你能否再找出一个正整数解吗？（学生会受到勾股数组启示，写出很多）你能否写出这个三元二次方程的

“通解”吗？（预设：x=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2，其中m，n表示大于1的不等整数）

环节三：例题讲评

例1    如图3，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.

（1）连接AC，求AC的长；

（2）求证：AC⊥CD；

（3）求点C到AD的距离；

（4）请你再设计一个问题，同学间交流，上台演示。（见课本34页第5题图）

例2   如图4，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=1/4CD.

（1）若正方形的周长为16cm，求△AEF的周长；

（2）若正方形的边长为 a，求△AEF的周长（用含a的式子表示）；

（3）有人指出图4中，一共有4个直角三角形，你觉得呢？理由是什么？（见课本34页第6题图，希望一张PPT上连续呈现这三个问题，可以使得学生的思维有序的深入）

环节四：课堂小结

小结：从勾股定理全章来看，我们不仅学会了勾股定理的原命题、逆命题，也感受到原命题与逆命题之间的差异.

那么在几何学习时，是否原命题成立，逆命题也一定成立呢？请举例说说.（比如对顶角相等）

我们也学到了不少定理、逆定理，请举例说说.

（预设学生举例，比如等边对等角、等角对等边）

附：当堂检测题

（1）请写出方程x2+y2=z2的两个正整数解.

（2）在例2中，给出“新定义”：如果一个直角三角形的两条直角边之比为1∶2时，称该直角三角形为“半正切三角形”.请指出图4中所有的“半正切三角形”.

（3）设直角三角形的两条直角边、斜边、斜边上的中线和高分别为a，b，c，m，h.

①求证a2+b2=4m2；

②求证ab=ch；

③求证1/a2+1/b2=1/h2.(要画图)

整个教学过程基于课本37页的小结中的回顾与思考展开，借助课本练习题的拓展对本章的重点知识做了系统的复习！