初中数学人教版八年级下册19.1.1 变量与函数教案设计

一、教材分析

1、教材所处的地位和作用 

本节是函数概念的第一节，在函数与图象这一章里，对函数概念的理解显得十分重要，是能否学好后面的一次函数，二次函数和反比例函数的图象与性质的重要环节之一。因此，如何使学生理解函数的概念是本节的关键。

2、 重点与难点

教学重点：理解函数概念并且能从实际问题中提炼出函数关系式。

教学难点：领悟函数概念；能把实际问题抽象概括为函数问题。

二、目标分析

    知识技能：掌握函数的概念，初步理解对应的思想，能正确地判断一些关系式是否是函数，能列出简单的函数关系式。

    数学思考：通过对实际问题的分析、对比，归纳函数的概念，并在此基础上理解掌握函数的概念。

    解决问题：理解函数概念并且能从实际问题中提炼出函数关系式。

    情感态度：学生通过对问题的分析，感受现实生活中函数的普遍性，体会事物之间的相互联系与制约。

三、教法分析

 因本节内容主要是函数的概念，以讲授为主，运用举例、分析、讲解的方法，使学生理解函数的概念，然后通过例题、练习，让学生加深对函数概念的理解。

四、 学法指导

 学生以听为主，在初步理解了函数的概念后，对相关的问题进行讨论、分析，然后回答教师提出的问题,巩固本节所学知识。

五、 教学过程

1、导入新课：

（1）复习变量、常量的概念；

（2）利用网络，了解当日天气情况。进入“南康整点天气实况”，从气温、湿度、风向风力和降水量等几个方面了解变化关系。

（3）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶里程为S千米，行驶时间为t时，其中变量是　　　．用含t的式子表示S ：　　　　　．

共同特征：1．两个变量；２．当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就　有唯一确定的对应值.

（设计意图：首先由学生分组讨论完成，然后相互交流。）

2、思考问题：

（1）下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x 表示时间，纵坐标 y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量，在心电图中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的对应值吗？

（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量 x 与 y ，对于表中每一个确定的年份(x)，都对应着一个确定的人口数(y)吗？

（设计意图：由学生独立完成，一个学生板演，然后相互交流，师生共同订正。）

    3、概念详解：

（1）函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯 一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量 ， y 是 x 的函数.

问学生对这个概念的理解要注意哪几个方面？

（2）如果y是x的函数, 当x=a时y=b，那么b叫做当自变量x的值为a时y的函数值。

（3）概念辨析：

1）指出下列变化关系中，哪些是y关于x的函数，哪些不是y关于x的函数？

①xy=8；② x2+y2=8；③ x+y=4；④ |y|=x+2；⑤ y=3x2-8x+6．

2）下面两个图中的曲线是表示y关于x的函数吗？

进一步加深对函数本质的认识：（1）函数不是一个数，而是反映两个变量之的一种对应关系；（2）一个变量会随着另一个变量的变化而变化；（3）自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的．

（设计意图：通过对这两个问题的研究，明确“给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共性。）

4、应用探究：

（1）在计算器上按照下面的程序进行操作：

问：1）显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么?

（分析：由计算结果可知，每输入一个x的值，操作后都有唯一的值与其对应，所以这两个变量中， x是自变量， y是x的函数.）

2）所按的第三、四两个键是哪两个键？ y是x 的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含x的式子表示y ）

（学生活动：学生分组讨论，交流以后，教师点评。）

理解函数概念应把握三点：

（1）一个变化过程；（2）两个变量；（3）对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应，即是一种对应关系。判断两个量是否具有函数关系就以这三点为依据。

（设计意图：相同点是：这三个问题中都研究了两个变量；不同点是：在第一个问题中，是以关系式表示两个变量之间的关系；第二个问题中是以图象的形式表示两个变量间的关系；第三个问题是以表格的形式表示两个变量间的关系的。）

5、例题讲解：

例1：一辆汽车油箱里原有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y（单位:L）随行驶里程x（单位:km）的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km.

（1）写出表示y与x的函数关系的式子.

（2）指出自变量x的取值范围.

（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？

（4）油箱中还有20L时，汽车行驶多少km ？

分析：(1) 函数关系式为:

我们把表示自变量与函数关系的式子叫做函数解析式.

(2)分析:若仅从式子y=50-0.1x看,x可以是任意实数，而结合实际意义,x就不能取负数，且耗油0.1x不能超过总油量50L，即0.1x≤50因此自变量取值范围是0≤x≤500

由x≥0及50－0.1x ≥0　得　0 ≤ x ≤ 500

∴自变量的取值范围是:   0 ≤ x ≤ 500

(3)当 x = 200时,函数 y 的值为: y =50－0.1×200=30

因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L.

(4)当y=20时，20= 50－0.1x   得x=300

因此 油箱中还有20L时，汽车行驶300km.

教师活动：提出问题，引导学生观察，应用函数的相关知识，提问个别学生。

学生活动：观察，交流，从中寻找出函数关系式、函数的取值范围及相关的测量、路程。

6、课堂巩固：

1）说出下列函数解析式中自变量的取值范围．

(1)y=x－2；；；

   （ 注意：确定自变量的范围时不仅要考虑函数关系式有意义而且还需要注意实际意义。）

2）已知等腰三角形的面积为30cm2，设它的底边长为xcm，底边上的高为ycm.问 (1)求底边上的高y随底边长x变化的函数解析式．并求自变量的取值范围． (2)当底边长为10cm时,底边上的高是多少cm? 

3）已知等腰三角形的周长为10cm,将底边长为ycm表示成腰长xcm的函数关系式是：_______，自变量x的取值范围___________.

7、小结提高：

    1、初步掌握函数的概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。

2、在一个函数关系式中，给定自变量的值，能相应地会求出函数的值。

3、函数的三种表达式：

（1）图象法；（2）表格法；（3）关系式（解析式或表达式）。

（设计意图：学生说一说课堂收获，教师作方法与数学思想方面的补充。）

8、课后思考：

如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　）

五、作业布置

1．课本第106页第2、3题；２．生活中许多问题的变量之间都存在函数关系，利用课余时间收集一些例子．

   六、板书设计

  七、教学反思

    自以为本节课的重点突出，对于函数的概念、应注意的问题都讲得比较清楚，但在讲课的过程中，本人为了使学生能更好地理解函数的概念，反反复复，一个问题多次强调，显得比较罗嗦，没有充分发挥学生的主体地位，不大符合现代教学的“三转五让”教学思想。在以后的教学中要多向其他有经验的教师学生，以便使自已的教学水平不断提高。