高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.2 平面教学设计

平面与平面平行

【教学目标】

1、理解并掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理及其应用；

2、进一步培养学生观察、发现和解决问题的能力和空间想象能力；

【教学重点、难点】

教学重点：掌握两个平面的位置关系；掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理．

教学难点：平面与平面平行的判定定理、性质定理的证明及其应用．

【教学方法】

借助实物，让学生通过观察、思考、交流、讨论等理解平面与平面平行的判定定理、性质定理.

【教学过程】

第一部分  平面与平面平行的判定定理

（一）创设情境、引出课题

问题1：根据日常生活的观察，你能感知到并举出平面与平面平行的具体事例吗？  

问题2：木工师傅用水准器在桌面上交叉放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个桌面和水平面平行。为什么？

问题3：平面α内有一条直线 a 平行平面β，则α∥β吗?

问题4：平面α内有两条直线 a , b 平行平面β,则α∥β吗?

问题5：平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β吗？

问题6：平面α内任意直线都平行于β, 则α∥β吗？

问题:7：平面α内有两条相交直线 a , b平行平面β,则α∥β吗?

你能得出什么结论？

（二）探索研究、推出定理

平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

符号表示：a，b，a∩b＝A，且a∥，b∥，则∥．

注意：利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：

　　①有两条直线平行于另一个平面；

　　②这两条直线必须相交．

 （三） 例题剖析，巩固新知

例1、如图，A、B、C为不在同一直线上的三点，AA′BB′CC′．求证：平面ABC∥平面A′B′C′．

　　证明：因AA′BB′，

　　所以有是平行四边形．

　　那么∥AB,则

同理∥AC，则 , 

又∩＝A′，

　　故面ABC∥面．

例2、已知正方体ABCD –A1B1C1D1 证：平面AB1D1∥平面C1BD.

证明：因为ABCD–A1B1C1D1为正方体，

所以D1C1∥A1B1，D1C1 = A1B1

又AB∥A1B1，AB = A1B1

所以D1C1BA 为平行四边形.

所以D­1A∥C1B.

又平面C1BD，平面C1BD

由直线与平面平行的判定定理得

D1A∥平面C1BD

同理D1B1∥平面C1BD

又

所以 平面AB1D1∥平面C1BD.

点评：线线平行线面平行面面平行.

第二部分  平面与平面平行的性质定理

（一）创设情境、引出课题

 请思考：1、两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个面具有什么关系?

2、两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么关系？

3、两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一平面内的直线在什么条件下平行？

观察任何一个长方体,我们可发现若两个平行平面内的两条直线还在同一个平面内则它们平行.

下面我们来证明上述结论。

（二）探索研究、推出定理

 如图，已知平面，，满足，，，证：a∥b.

证明：因为，，

所以，. 又因为，

所以a、b没有公共点，

又因为a、b同在平面内，

所以a∥b.

由上可得平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。

用符号语言描述上述定理，即为

若，，，则a∥b.

点评：面面平行线线平行.

（三） 例题剖析，巩固新知

例3、夹在两个平行平面间的平行线段相等，

如图∥，AB∥CD，且A∈，C∈，B∈，D∈，求证：AB = CD.

证明：如图，AB∥CD，AB、CD确定一个平面

，

∵∥ ，∴AC∥BD

又AB∥CD，∴得平行四边形ABCD

∴AB = CD.

例4、如图，已知平面，AB、CD是异面直线，且AB分别交于A、B两点，CD分别交于C、D两点.M、N分别在AB、CD上，且.

求证：MN∥

证明：如图，过点A作AD′∥CD，交于D′，再在平面ABD′内作ME∥B D′，交AD′于E.则， 

又

∴.

连结EN、AC、，平行线AD′与CD确定的平面与、的交线分别是AC、.

∵，∴AC∥

又

∴EN∥AC∥

∵，

∴EN∥，又MN∥.

∴平面MEN∥

∴MN∥.

（四） 当堂检测

 1、判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明：

（1）已知平面，和直线m，n，若则；

（2）一个平面内两条不平行直线都平行于另一平面，则；

2、判断下列命题正确的是_________。

（1）如果a，b是两条直线，且a // b，那么a平行于经过b的任何平面。

（2）如果直线a和平面α满足a // α，那么a与α内的任何直线平行。

（3）如果直线a，b和平面α满足a // α，b // α，那么a // b。

（4）如果直线a，b和平面α满足a // b，a // α，，那么b // α。

3、平面与平面平行的条件可以是（   ）

A．内有无穷多条直线都与平行.

B．直线a∥，a∥，E且直线a不在内，也不在内.

C．直线，直线，且a∥，b∥

D．内的任何直线都与平行.

4、如图，正方体ABCD – A1B1C1D1 中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点. 求证：平面AMN∥平面EFDB.

5、如图，正方体ABCD – A′B′C′D′中，AE = A1E1，AF =A1F1，求证EF∥E1F1，且EF = E1F1.

【课堂小结】

本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？用到的数学方法有哪些？

1．平面与平面平行的判定和性质

2．线线平行线面平行面面平行

【课后作业】

【教学反思】