备战中考初中数学导练学案50讲—第27讲锐角三角函数（讲练版）

这是一份备战中考初中数学导练学案50讲—第27讲锐角三角函数（讲练版），共26页。学案主要包含了疑难点拨等内容，欢迎下载使用。

【疑难点拨】
1. 理解三角函数的表达式向方程的转化
锐角三角函数的定义：
实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中。
当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素。
2. 浅谈锐角三角函数的求值策略
（1）准确根据三角函数的概念求值
在直角三角形中求解三角函数值或运用三角函数值时，都须准确根据三角函数的概念来进行，决不能张冠李戴．
（2）运用参数法求三角函数值
由于三角函数值实质上就是直角三角形两边的比值，所以有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式来表示出直角三角形各边长，然后结合相关条件解决问题。
（3）运用转化手段求三角函数值
三角函数值的大小与角的大小有关，与边的长短无关，故当一个锐角的三角函数值不能直接求解时，往往采用转化手段，通过求其等角的三角函数值来达到目的。
（4）通过构造直角三角形求三角函数值
对于一般的锐角，其三角函数值可以用计算器求出，这样既方便快速，又准确无误。
3. 利用特殊角的三角函数解三角形：解三角形时，可以利用特殊角的三角函数求解，比如、、、。一般满足条件：SSS、SAS、ASA、AAS，就可以利用作辅助线互相求解。
（1）满足SSS条件，求角；（2）满足SAS条件，求面积；（3）满足AAS条件，求边。可解三角形的解题方法是恰当作垂线，使特殊角（、、、）尽量多地含在所作的三角形中，采用特殊角的三角函数易于求解。
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（ ）
A．B．C．D．
2. （2018·云南省·4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A．3B．C．D．
3. （2018•山东淄博•4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
4. （2018•贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A．B．1C．D．
5. （2018•金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：
6. （2018·山东青岛·3分）计算：2﹣1×+2cs30°= 2 ．
7. （2018·辽宁省阜新市）如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为 m（结果保留根号）．
8. 如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO=____
三、解答与计算题：
9. 计算：|-4|+()-1-(-1)0-cs45°．
10. 如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：AB=DF；
（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•山东枣庄•3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A．B．C．D．
12. 图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）
A. B. C. D.
13. 已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
14. （2018·四川宜宾·3分）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若=，则= ．
15. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____
三、解答与计算题：
16. 已知⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，点E在CD上，且AE=CE．
（1）求证：CA2=CE CD；
（2）已知CA=5，EA=3，求sin∠EAF．
17. （2018·湖北荆州·10分）问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数．
探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．
18. （2018·新疆生产建设兵团·12分）如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．
【探究篇】
19. 如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．
（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；
（2）求证：；
（3）若BC=AB，求tan∠CDF的值．
20. （2018•江苏扬州•12分）问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为 2 ；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cs∠CPN的值；
思维拓展
（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．
第27讲 锐角三角函数
【疑难点拨】
1. 理解三角函数的表达式向方程的转化
锐角三角函数的定义：
实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中。
当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素。
2. 浅谈锐角三角函数的求值策略
（1）准确根据三角函数的概念求值
在直角三角形中求解三角函数值或运用三角函数值时，都须准确根据三角函数的概念来进行，决不能张冠李戴．
（2）运用参数法求三角函数值
由于三角函数值实质上就是直角三角形两边的比值，所以有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式来表示出直角三角形各边长，然后结合相关条件解决问题。
（3）运用转化手段求三角函数值
三角函数值的大小与角的大小有关，与边的长短无关，故当一个锐角的三角函数值不能直接求解时，往往采用转化手段，通过求其等角的三角函数值来达到目的。
（4）通过构造直角三角形求三角函数值
对于一般的锐角，其三角函数值可以用计算器求出，这样既方便快速，又准确无误。
3. 利用特殊角的三角函数解三角形：解三角形时，可以利用特殊角的三角函数求解，比如、、、。一般满足条件：SSS、SAS、ASA、AAS，就可以利用作辅助线互相求解。
（1）满足SSS条件，求角；（2）满足SAS条件，求面积；（3）满足AAS条件，求边。可解三角形的解题方法是恰当作垂线，使特殊角（、、、）尽量多地含在所作的三角形中，采用特殊角的三角函数易于求解。
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先利用勾股定理计算出AB长，再计算sinB即可．
【解答】解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=5，
∴sinB==，
故选：A．
2. （2018·云南省·4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A．3B．C．D．
【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为==3，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
3. （2018•山东淄博•4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．
【解答】解：sinA===0.15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
4. （2018•贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A．B．1C．D．
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【解答】解：连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选：B．
5. （2018•金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A．B．C．D．
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；
【解答】解：在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=： =，
故选：B．
二、填空题：
6. （2018·山东青岛·3分）计算：2﹣1×+2cs30°= 2 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值和有理数的乘法和加法可以解答本题．
【解答】解：2﹣1×+2cs30°
=
=
=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
7. （2018·辽宁省阜新市）如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为 10 m（结果保留根号）．
【解答】解：∵在点B处测得塔顶A的仰角为30°，∴∠B=30°．
∵BC=30m，∴AC=m．
故答案为：10．
8. 如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO=____
答案：．
知识点：特殊角的三角函数值
解析：
解答：∵△ABC是等边三角形，
∠ABC=60°，AB=BC，
∵BF⊥AC，
∴∠ABF=∠ABC=30°，
∵AB=AC，AE=AC，
∴AB=AE，
∵AO平分∠BAE，
∴∠BAO=∠EAO，
∵在△BAO和△EAO中
∵
∴△BAO≌△EAO，
∴∠AEO=∠ABO=30°，
∴tan∠AEO=tan30°=，
故答案为：．
分析：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等知识点的应用，关键是证出∠AEO=∠ABO，题目比较典型，难度适中．
根据等边三角形性质和三线合一定理求出∠BAF=60°，推出AB=AE，根据SAS证△BAO≌△EAO，推出∠AEO=∠ABO=30°即可．
三、解答与计算题：
9. 计算：|-4|+()-1-(-1)0-cs45°．
答案：3．
知识点：特殊角的三角函数值
解析：
解答：原式=4+2-1-2×=5-2=3．
分析：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、负整数指数幂、0指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值等考点的运算．
本题涉及绝对值、负整数指数幂、0指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
10. 如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：AB=DF；
（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．
知识点：锐角三角函数的定义
解析：
解答：（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB．
∵DF⊥AE，AE=BC，
∴∠AFD=90°，AE=AD．
∴△ABE≌△DFA；
∴AB=DF；
（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB=DF=6．
在Rt△ADF中，AF===8，
∴EF=AE-AF=AD-AF=2．
∴tan∠EDF=．
分析：本题综合考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义．熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；运用全等三角形的性质求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．
（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA；然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF；
（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•山东枣庄•3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF==2x，再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴=，
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF==2x，
∴tan∠BDE===；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
12. 图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
知识点：锐角的三角函数的定义
解析：解答：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB=
∴tanB′=tanB=．
故选B．
分析：本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
13. 已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（ ）
A. B. C. D.
答案：A
知识点：锐角的三角函数的定义
解析：解答：作DE⊥AB于点E．
∵∠CBD=∠A，
∴tanA=tan∠CBD==，
设CD=1，则BC=2，AC=4，
∴AD=AC-CD=3，
在直角△ABC中，AB=，
在直角△ADE中，设DE=x，则AE=2x，
∵AE2+DE2=AD2，
∴x2+（2x）2=9，
解得：x=，
则DE=，AE=．
∴BE=AB-AE==，
∴tan∠DBA=，
∴sin∠DBA=．
故选A．
分析：本题考查了三角函数的定义，以及勾股定理，正确理解三角函数就是直角三角形中边的比值是关键．
作DE⊥AB于点E，根据相等的角的三角函数值相等即可得到
，设CD=1，则可以求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得DE、AE的长，则BE可以求得，根据同角三角函数之间的关系即可求解．
二、填空题：
14. （2018·四川宜宾·3分）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若=，则= ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理．
【分析】由AB是直径，推出∠ADG=∠GCB=90°，因为∠AGD=∠CGB，推出cs∠CGB=cs∠AGD，可得=，设EF=3k，AE=4k，则AF=DF=FG=5k，DE=8k，想办法求出DG、AG即可解决问题；
【解答】解：连接AD，BC．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，又DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ABD，
∵D是 的中点，
∴∠DAC=∠ABD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴FA=FD；
∵∠ADE=∠DBC，∠ADE+∠EDB=90°，∠DBC+∠CGB=90°，
∴∠EDB=∠CGB，又∠DGF=∠CGB，
∴∠EDB=∠DGF，
∴FA=FG，
∵=，设EF=3k，AE=4k，则AF=DF=FG=5k，DE=8k，
在Rt△ADE中，AD==4k，
∵AB是直径，
∴∠ADG=∠GCB=90°，
∵∠AGD=∠CGB，
∴cs∠CGB=cs∠AGD，
∴=，
在Rt△ADG中，DG==2k，
∴==，
故答案为：．
【点评】本题考查的是圆的有关性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
15. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____
答案：m≥．
知识点：锐角三角函数的定义
解析：解答：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，
AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，
∵∠BOA=∠ACO=90°，
∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，
∴∠BOC=∠OAC，
tan∠BOC=tan∠OAC=，
随着C的移动，∠BOC越来越大，
∵C在第一象限，
∴C不到x轴点，
即∠BOC＜90°，
∴tan∠BOC≥，
故答案为：m≥．
分析：本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定∠BOC的变化范围是解此题的关键，题型比较好，但是有一定的难度．
C在以A为圆心，以2为半径的圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，根据勾股定理求出此时的OC，求出∠BOC=∠CAO，根据解直角三角形求出此时的值，根据tan∠BOC的增减性，即可求出答案．
三、解答与计算题：
16. 已知⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，点E在CD上，且AE=CE．
（1）求证：CA2=CE CD；
（2）已知CA=5，EA=3，求sin∠EAF．
知识点：锐角三角函数的定义
解析：
解答：（1）证明：在△CEA和△CAD中，
∵弦CD⊥直径AB，
∴，
∴∠D=∠C，
又∵AE=EC，
∴∠CAE=∠C，
∴∠CAE=∠D，
∵∠C是公共角，
∴△CEA∽△CAD，
∴
即CA2=CECD；
（2）解：∵CA2=CECD，AC=5，EC=3，
∴52=CD3，
解得：CD=，
又∵CF=FD，
∴CF=CD=×=，
∴EF=CF-CE=-3=，
在Rt△AFE中，sin∠EAF=．
分析：此题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）由⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，根据垂径定理，易证得∠C=∠D，又由AE=CE，根据等边对等角，可得∠C=∠CAE，即可得∠CAE=∠D，又由∠C是公共角，即可证得△CEA∽△CAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（2）由CA2=CE CD；CA=5，EA=3，可求得CD的长，然后由垂径定理，求得CF的长，继而求得EF的长，然后由正弦函数的定义，求得答案．
17. （2018·湖北荆州·10分）问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数．
探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．
【解答】解：（1）连结AM、MH，则∠MHP=∠α．
∵AD=MC，∠D=∠C，MD=HC，
∴△ADM≌△MCH．
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC．
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠HMC=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，即α+β=45°．
（2）由勾股定理可知MH==．
∵∠MHR=45°，
∴==．
18. （2018·新疆生产建设兵团·12分）如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．
【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OBB，证明OB⊥PE即可．
（2）要求sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题
【解答】（1）证明：连接OB∵PO⊥AB，
∴AC=BC，
∴PA=PB
在△PAO和△PBO中
∴△PAO和≌△PBO
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB是⊙O的切线．
（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6
在Rt△ACO中，OC=3，AC=4
∴AO=5
在Rt△ACO与Rt△PAO中，
∠APO=∠APO，
∠PAO=∠ACO=90°
∴△ACO∼△PAO
=
∴PO=，PA=
∴PB=PA=
在△EPO与△EBD中，
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴=，
解得EB=，
PE=，
∴sinE==
【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．
【探究篇】
19. 如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．
（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；
（2）求证：；
（3）若BC=AB，求tan∠CDF的值．
知识点：锐角三角函数定义
解析：
解答：∠CBD与∠CEB相等，
证明：∵BC切⊙O于点B，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，
（2）证明：∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴∠EBC=∠BDC，
∴△EBC∽△BDC，
∴
（3）解：∵AB、ED分别是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，即∠ADB=90°，
∵BC切⊙O于点B，
∴AB⊥BC，
∵BC=AB，
∴
设BC=3x，AB=2x，
∴OB=OD=x，
∴OC=x，
∴CD=（-1）x，
∵AO=DO，
∴∠CDF=∠A=∠DBF，
∴△DCF∽△BCD，
∴==，
∵tan∠DBF==，
∴tan∠CDF=．
分析：本题主要考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数定义等知识点，关键在于：（1）熟练运用圆周角定理，切线的性质；（2）根据（1）的结论和已知条件推出△EBC∽△BDC；（3）关键在于通过求证△DCF∽△BCD，根据对应边成比例的性质求出tan∠DBF的值．
（1）根据题意即可推出∠CBD=∠BAD，由∠BAD=∠CEB，即可推出∠CBD与∠CEB相等；
（2）根据（1）所推出的结论，通过求证△EBC∽△BDC，即可推出结论；
（3）通过设BC=3x，AB=2x，根据题意，推出OC和CD的长度，然后通过求证△DCF∽△BCD，即可推出DF：BD的值，即∠DBF的正切值，由∠DBF=∠CDF，即可推出∠CDF的正切值．
20. （2018•江苏扬州•12分）问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为 2 ；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cs∠CPN的值；
思维拓展
（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．
【分析】（1）连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．那么∠CPN就变换到等腰Rt△DMC中．
（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；
【解答】解：（1）如图1中，
∵EC∥MN，
∴∠CPN=∠DNM，
∴tan∠CPN=tan∠DNM，
∵∠DMN=90°，
∴tan∠CPN=tan∠DNM===2，
故答案为2．
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．
∵CD∥AN，
∴∠CPN=∠DCM，
∵△DCM是等腰直角三角形，
∴∠DCM=∠D=45°，
∴cs∠CPN=cs∠DCM=．
（3）如图3中，如图取格点M，连接AN、MN．
∵PC∥MN，
∴∠CPN=∠ANM，
∵AM=MN，∠AMN=90°，
∴∠ANM=∠MAN=45°，
∴∠CPN=45°．
【点评】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．