专题03 以正方形为基础的图形的旋转变换问题-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

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专题03 以正方形为基础的图形的旋转变换问题
【例题精讲】
根据图形回答问题：

（1）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作等边三角形，试回答△ACE可看作哪个三角形怎么样旋转得到．（不用说明理由）
（2）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作正方形，连接DG，M为DG中点，连接EM并延长交FG于N，连接FM，猜测FM和EM的关系，并说明理由．
（3）在（2）的基础上将正方形CBGF绕C点旋转，其它条件不变，猜测FM和EM的关系，并说明理由．


解：（1）将△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到△DCB，所以可得△ACE可以由△DCB以C点为轴逆时针旋转60度得到．

（2）FM⊥ME，FM=ME，连接GN和DE， 在△DME和△GMN中，，
∴△DME≌△GMN（AAS），∴DM=MN，DE=NG，∴FN=FG-NG=FG-DE=FC-EC=FE，
∴△NFE是等腰直角三角形，
∴FM⊥ME，并且FM=ME（等腰三角形中线就是垂线，直角三角形中线等于斜边的一半）





（3）延长EM至N点，使EM=MN，连接NG、EF、FN．（EC与DM的交点标为P，FC与DM交点标为Q）
在△DME和△GMN中，，∴△DME≌△GMN．∴DE=NG，∠EDM=∠NGM，
∴EC=NG，∵∠ECF=180°-∠CPQ-∠CQP=180°-∠DPE-∠FQG=180°-（90°-∠MDE）-（90°-∠FGM）=∠EDM+∠FGM，∵∠NGM+∠FGM=∠NGF，∴∠ECF=∠NGF，∵EC=DE=NG，
在△ECF和△NGF中，，∴△ECF≌△NGF，∴EF=NF，∠EFC=∠NFG，
∴∠EMN=∠EFC+∠CFN=∠NFG+∠CFN=∠CFG=90°，∴△EFN是等腰直角三角形，∴FM⊥EM，并且FM=EM。
【针对训练】
1、如图（1），将正方形ABCD与正方形GECF的顶点C重合，当正方形GECF的顶点G在正方形ABCD的对角线AC上时，的值为　 　．
如图（2），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0°＜a＜45°），猜测AG与BE之间的数量关系，并说明理由．
如图（3），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（45°＜a＜90°）使得B、E、G三点在一条直线上，此时tan∠GAC＝，AG＝6，求△BCE的面积．

解：（1）如图①中，
∵AC＝BC，CG＝EC，
∴AG＝AC﹣CG＝BC﹣EC＝BE，
∴＝，
故答案为：．

（2）结论：＝．
如图②中，所示，连接CG．

∵∠ACG＝∠BCE，＝＝，
∴△ACG∽△BEC，
∴＝，

（3）如图③中，连接CG，、

∵△ACG∽△BEC，
∴∠GAC＝∠EBC∠AGC＝∠BEC＝90°，
∵AG＝6，
∴BE＝，
∵tan∠EBC＝tan∠GAC＝，
∴∠EBC＝30°，
在Rt△BEC中，tan∠EBC＝
∴EC＝，
∴，

2、如图（1），折叠平行四边形ABCD，使得B，D分别落在BC，CD边上的B′，D′点，AE，AF为折痕．
（1）若AE＝AF，证明：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若∠BCD＝110°，求∠B'AD'的大小；
（3）如图（2），以AE，AF为邻边作平行四边形AEGF，若AE＝EC，求∠CGE的大小．


（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴S平行四边形ABCD＝BC•AE＝CD•AF，
∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．

（2）解：如图1中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠BAD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝∠D＝70°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD．
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF＝20°，
由翻折变换的性质可知：∠BAB′＝2∠BAE＝40°，∠DAD′＝2∠DAF＝40°，
∴∠B′AD′＝110°﹣80°＝30°．

（3）解：如图2中，延长AE到H，使得EH＝EA，连接CH，HG，EF，AC．

∵EA＝EC，∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∵∠AEC+∠AFC＝180°，
∴A，E，C，F四点共圆（利用取斜边的中点T，连接TE，TF，证明TE＝TA＝TC＝TF）
∴∠AFE＝∠ACE＝45°，
∵四边形AEGF是平行四边形，
∴AF∥EG，AE＝FG，
∴∠AFE＝∠FEG＝45°，
∴EH＝AE＝FG，EH∥FG，
∴四边形EHGF是平行四边形，
∴EF∥HG，
∴∠FEG＝∠EGH＝45°
∵EC＝AE＝EH，∠CEH＝90°，
∴∠ECH＝∠EHC＝45°，
∴∠ECH＝∠EGH，
∴E，H，G，C四点共圆，
∠EGC＝∠EHC＝45°（可以用相似三角形转化得到）．

3、如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．
（1）求证：四边形BFGH是正方形；
（2）求证：ED平分∠CEI；
（3）连接IE，若正方形ABCD的边长为3，则△BEI的周长为　 　．


（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠DCE＝∠ABC＝∠ABF＝90°，
∵GF⊥CF，GH⊥AB，
∴∠F＝∠GHB＝∠FBH＝90°，
∴四边形FBHG是矩形，
∵ED＝EG，∠DEG＝90°，
∵∠DEC+∠FEG＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEG＝∠EDC，
∵∠F＝∠DCE＝90°，
∴△DCE≌△EFG（AAS），
∴FG＝EC，EF＝CD，
∵CB＝CD，
∴EF＝BC，
∴BF＝EC，
∴BF＝GF，
∴四边形FBHG是正方形．

（2）证明：延长BC到J，使得CJ＝AI．
∵DA＝DC，∠A＝∠DCJ＝90°，AI＝CJ，
∴△DAI≌△DCJ（SAS），
∴DI＝DJ，∠ADI＝∠CDJ，
∴∠IDJ＝∠ADC＝90°，
∵∠IDE＝45°，
∴∠EDI＝∠EDJ＝45°，
∵DE＝DE，
∴△IDE≌△JDE（SAS），
∴∠DEI＝∠DEJ，
∴DE平分∠IEC．

（3）解：∵△IDE≌△JDE，
∴IE＝EJ，
∵EJ＝EC+CJ，AI＝CJ，
∴IE＝EC＝AI，
∴△BIE的周长＝BI+BE+IE＝BI+AI+BE+EC＝2AB＝6．
故答案为6．


4、在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．连接QP并延长，分别交AB、CD于点M，N．
（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图2，已知PM＝QN；若MN的最小值为，求菱形ABCD的面积．

（1）证明：四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB∥CD，
∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°
由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，
∴∠BCD＝∠DCQ，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
（2）解：过点C作CG⊥PQ于点G，连接AC，

∵PC＝QC，∠PCQ＝120°，
∴∠PCG＝60°，PG＝QG，
∴PG＝PC，
∴PQ＝PC．
∵PM＝QN，
∴MN＝PQ＝PC，
∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，
∴PC＝2，BC＝2PC＝4，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴＝4，
∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC＝2×4＝8；

6、四边形ABCD是正方形，PA是过正方形顶点A的直线，作DE⊥PA于E，将射线DE绕点D逆时针旋转45°与直线PA交于点F．
（1）如图1，当∠PAD＝45°时，点F恰好与点A重合，则的值为　 　；
（2）如图2，若45°＜∠PAD＜90°，连接BF、BD，试求的值，并说明理由．

解：（1）∵∠PAD＝45°，DE⊥AP，
∴∠DAE＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∴AD＝AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BF＝AE，
∴＝；
（2）过点B作BH⊥AP于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAH+∠DAE＝90°，
又∵∠BAH+∠ABH＝90°，
∴∠ABH＝∠DAE，
又∵AD＝AB，∠DEA＝∠AHB＝90°，
∴△ADE≌△BAH（AAS），
∴AE＝BH，
∵将射线DE绕点D逆时针旋转45°与直线PA交于点F，
∴∠EDF＝45°，
∴∠EFD＝45°＝∠ABD，
∴点A，点F，点B，点D四点共圆，
∴∠BFH＝∠ADB＝45°，
又∵BH⊥AP，
∴∠FBH＝∠BFH＝45°，
∴BH＝FH，
∴BF＝BH＝AE，
∴＝＝．

7、如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．
（1）旋转至如图②位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL．EN、GM之间满足的数量关系，并说明理由：
（2）旋转至如图③位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L，连接BE，求BE的长．

解：（1）DL＝EN+GM．
证明：如图1，过点G作GK∥BM，

∵四边形EFGD是正方形，
∴∠DEF＝∠DGF＝∠EDG＝90°，DG＝DE，
∴∠EDN+∠NDG＝∠NDG+∠DGK＝90°，
∴∠EDN＝∠DGK，
∴△DKG≌△END（ASA），
∴EN＝DK，
在平行四边形DKMG中，GM＝KL，
∵DL＝DK+KL，
∴DL＝EN+GM；
（2）如图2，过点E作EP⊥BG于点P，

在Rt△DCG中，CD＝6，DG＝10，CG＝8，
∴tan∠CGD＝，
∵∠CDL＝∠CGD，
∴tan∠CDL＝，
在Rt△CDL中，LC＝，DL＝，
∴BL＝8﹣＝，EL＝10﹣＝，
同理，在Rt△ELP中，PE＝＝2，PL＝＝，
∴BP＝＝2，
∴在Rt△BPE中，BE＝＝＝2．

8、在矩形ABCD中，AD＞AB，连接AC，线段AC绕点A逆时针90°旋转得到线段AE，平移线段AE得到线段DF（点A与点D对应，点E与点F对应），连接BF，分别交AD，AC于点G，M，连接EF．
（1）依题意补全图形．
（2）求证：EG⊥AD．
（3）连接EC，交BF于点N，若AB＝2，BC＝4，设BM＝a，NF＝b，试比较（a+1）（b+1）与9+6之间的大小关系，并证明．

（1）解：图形如图1所示：


（2）证明：如图2中，过点A作AH⊥FE交FE的延长线于H．

∵EF∥AD，∠H＝90°，
∴∠HAD＝180°﹣∠H＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝CD，BC＝AD，
∵∠CAE＝∠DAH＝90°，
∴∠HAE＝∠DAC，
∵∠H＝∠ADC＝90°，AE＝AC，
∴△AHE≌△ADC（AAS），
∴EH＝CD＝AB，AH＝AD＝EF，
∵∠DAH+∠BAD＝180°，
∴B，A，H共线，
∵AH＝EF，EH＝AB，
∴HB＝HF，
∴∠HBF＝∠HFB＝45°，
∴∠AGB＝∠ABG＝45°，
∴AB＝AG，
∴EH＝AG，
∵EH∥AG，
∴四边形AHEG是平行四边形，
∵∠H＝90°，
∴四边形AHEG是矩形，
∴∠AGE＝90°，
∴EG⊥AD．


（3）解：如图3中，过点A作AH⊥FE交FE的延长线于H．

由（2）可知，AB＝BG＝2，
∵∠BAG＝90°，
∴BG＝AB＝2，
∵AG∥BC，
∴＝＝，
∴a＝BM＝BG＝，
由（2）可知，BH＝HF＝2+4＝6，
∵∠H＝90°，
∴BF＝6，
∵EF∥BC，
∴∠NEF＝∠NCB，
∵∠ENF＝∠CNB，EF＝BC，
∴△ENF≌△CNB（AAS），
∴b＝NF＝BF＝3，
∴（a+1）（b+1）＝（+1）（3+1）＝8++3+1＝9+＜9+6，
∴（a+1）（b+1）＜9+6．
9、如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F．
（1）求的值；
（2）四边形EFDB′的面积为　 　；
（3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离．


解：（1）∵将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，
∴AB＝AB'，∠BAE＝∠B'AE，∠B＝∠B'＝90°，
∴四边形ABEB'为正方形，
∴△AB'E为等腰直角三角形，
∵AB＝6，AD＝8，
∴B'D＝AD﹣AB'＝8﹣6＝2，
∵将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，
∴AB'＝A'B'＝6，∠A'＝∠A＝45°，
∴A'D＝DF＝6﹣2＝4，
∵CD＝AB＝6，
∴CF＝6﹣4＝2，
∴．
（2）由（1）可知B'D＝2，DF＝4，B'E＝6，
∴四边形EFDB′的面积＝×（B'E+DF）×B'D＝＝10．
故答案为：10．
（3）∵将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，
∴DF＝DN＝4，∠NDM＝90°，
∵B'D＝2，∠NB'D＝90°，
∴∠B'ND＝30°，
∴∠B'DN＝60°，
∴∠A'DM＝90°﹣∠B'DN＝90°﹣60°＝30°，
∵△A′DF在绕点D旋转过程中，点A'到达点M所经过的路径是圆弧A'M，
∴的长为．
即点A'到达点M所经过的距离为．


10、（1）问题感知 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC，点P是边AC的中点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．连接AD．过点P作PE∥AB交BC于点E，则图中与△BEP全等的三角形是　 　，∠BAD＝　 　°；
（2）问题拓展 如图2，在△ABC中，AC＝BC＝AB，点P是CA延长线上一点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转到线段PD，使得∠BPD＝∠C，连接AD，则线段CP与AD之间存在的数量关系为CP＝AD，请给予证明；
（3）问题解决 如图3，在△ABC中，AC＝BC＝AB＝2，点P在直线AC上，且∠APB＝30°，将线段PB绕点P顺时针旋转60°到线段PD，连接AD，请直接写出△ADP的周长．


证明：（1）∵点P是边AC的中点，PE∥AB，
∴点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AC＝BC，
∴BE＝AP，
∵将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．
∴PB＝PD，
∵∠APD+∠BPC＝90°，∠BPC+∠APD＝90°，
∴∠EBP＝∠APD，
又∵PB＝PD，
∴△PAD≌△BEP（SAS），
∴∠PAD＝∠BEP，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵PE∥AB，
∴∠ABC＝∠PEC＝45°，
∴∠BEP＝135°，
∴∠BAD＝∠PAD﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，
故答案为：△PAD，90；
（2）如图，过点P作PH∥AB，交CB的延长线于点H，

∴∠CBA＝∠CHP，∠CAB＝∠CPH，
∵CB＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴∠CHP＝∠CPH，
∴CH＝CP，
∴BH＝AP，
∵将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．
∴PB＝PD，
∵∠BPD＝∠C，
∴∠BPD+∠BPC＝∠C+∠BPC，
∴∠PBH＝∠APD，
∴△APD≌△HBP（SAS），
∴PH＝AD，
∵PH∥AB，
∴△CAB∽△CPH，
∴，
∴，
∵AC＝BC＝AB，
∴，
∴CP＝PH＝AD；
（2）当点P在CA的延长线上时，
∵AC＝BC＝AB＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵将线段PB绕点P顺时针旋转60°到线段PD，
∴BP＝PD，∠BPD＝60°＝∠ACB，
过点P作PE∥AB，交CB的延长线于点E，

∵∠ACB＝∠APB+∠ABP，
∴∠ABP＝∠APB＝30°，
∴AB＝AP＝2，
∴CP＝4，
∵AB∥PE，
∴，
∴CP＝PE＝4，
由（2）得，PE＝AD＝4，
∵∠APD＝∠APB+BPD＝90°，
∴DP＝＝＝2，
∴△ADP的周长＝AD+AP+DP＝2+6，
当点P在AC延长线上时，如图，

同理可求△ADP的周长＝6+2，
综上所述：△ADP的周长为6+2．



11、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A （0，4）、B（3，0）．
（Ⅰ）把图中的△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA'B'．旋转角为α，且0°＜α＜180°．
（i）如图（1），在旋转过程中，当α＝60°时，求点B'的坐标；
（ii）如图（2），当点O到AA'的距离等于AO的一半时，求α的度数．
（Ⅱ）点D是OA的中点．将OD绕着点O逆时针旋转，在旋转过程中，点D的对应点为M．连接AM、BM，S为△ABM的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．


解：（Ⅰ）（i）如图（1）中，过点B′作B′E⊥OB于E．

∵OB＝OB′＝3，∠BOB′＝60°，∠OEB′＝90°，
∴OE＝OB′•cos60°＝，EB′＝OB′•sin60°＝，
∴B′（，）．

（ii）如图（2）中，过点O作OF⊥AA′于F．

∵OF＝OA，
∴在Rt△AOF中，sin∠OAF＝＝，
∴∠OAF＝30°，
∵OA＝OA′，
∴∠OAF＝∠OA′F＝30°，
∴∠AOA′＝120°，即α＝120°．

（Ⅱ）如图（3）中，过点O作OH⊥AB于H．

∵∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵•OA•OB＝•AB•OH，
∴OH＝，
∵OM＝OA＝2，
∴当点M落在线段OH上时，△ABM的面积最小，最小值＝×5×（﹣2）＝1，
当点M落在线段OH上时，△ABM的面积最大，最大值＝×5×（+2）＝11，
∴1≤S≤11．








12、如图，在△ABC中，高AD＝3，∠B＝45°，tanC＝，动点F从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，当点F与点A、D不重合时，过点F作AB、AC的平行线，与BC分别交于点E、G，将△EFG绕FG的中点旋转180°得△HGF，设点F的运动时间为t秒，△HGF与△ABC重叠部分面积为S．
（1）当t＝　 　秒时，点H落在AC边上；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）当直线FG将△ABC分为面积比为1：3的两部分时，直接写出t的值．


解：（1）如图，当点H落在AC边上时，

∵AD⊥BC，AD＝3，∠B＝45°，tanC＝＝，
∴BD＝3，CD＝6，
∴BC＝9，
∵EF∥AB，FG∥AC，
∴，，
∴，，
∴DE＝t，DG＝2t，
∴EG＝3t，
∵将△EFG绕FG的中点旋转180°得△HGF，
∴EF＝GH，EG＝FH，
∴四边形EFHG是平行四边形，
∴FH＝EG＝3t，FH∥EC，
若点H落在AC边上，
∴∠AHF＝∠C，
∴tan∠AHF＝＝，
∴，
∴t＝，
故答案为：；
（2）当0＜t＜时，S＝×FH×DF＝×3t×t＝t2，
当≤t≤3时，如图，设FH与AC交于点N，HG与AC交于点P，过点F作FM⊥AC于M，

∵四边形EFHG是平行四边形，
∴FH∥BC，
又∵FG∥AC，
∴四边形FNCG是平行四边形，
∴FN＝GC＝6﹣2t，
∴NH＝3t﹣（6﹣2t）＝5t﹣6，
∵FD＝t，DG＝2t，
∴FG＝＝＝t，
∵FG∥AC，
∴△HNP∽△HFG，
∴，
∴NP＝，
∵FG∥AC，
∴∠DAC＝∠DFG，
∴sin∠DAC＝sin∠DFG，
∴，
∴FM＝＝（3﹣t），
∴S＝×FM×（NP+FG）＝×（3﹣t）×（t+）＝﹣t2+10t﹣6；
（3）如图，延长GF交AB于R，过点R作RO⊥BD于O，

∵S△ABC＝×BC×AD，
∴S△ABC＝×9×3＝，
∵∠FGD＝∠C，
∴tanC＝tan∠FGD＝＝，
∴OG＝2RO，
∵BD＝AD＝3，AD⊥BC，
∴∠B＝45°，
又∵RO⊥BD，
∴△BRO是等腰直角三角形，
∴RO＝BO，
∴BG＝3RO，
∵直线FG将△ABC分为面积比为1：3的两部分，
∴S△BRG＝S△ABC或S△BRG＝S△ABC，
当S△BRG＝S△ABC，
∴×BG×RO＝×，
∴RO＝，
∴BG＝3×＝3+2t，
∴t＝，
当S△BRG＝S△ABC，
∴×BG×RO＝×，
∴RO＝，
∴BG＝3×＝3+2t，
∴t＝．


13、如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于E．
（1）如图1，猜想∠QEP＝　 　；
（2）如图2，若当∠DAC是锐角时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并证明；
（3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长．



解：（1）∠QEP＝60°；
证明：如图1，QE与CP的交点记为M，

∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，
则△CQB和△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（SAS），
∴∠CQB＝∠CPA，
在△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ，
∴∠QEP＝∠QCP＝60°．
故答案为：60°；

（2）∠QEP＝60°．
理由如下：如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，
∴∠ACB+∠BCP＝∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP＝∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠APC＝∠Q，
∵∠BOP＝∠COQ，
∴∠QEP＝∠PCQ＝60°；
（3）作CH⊥AD于H，如图3，

与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，
∴AP＝BQ，
∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，
∴∠APC＝30°，∠PCB＝45°，
∴∠HAC＝45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH＝CH＝AC＝3，
在Rt△PHC中，PH＝CH＝3，
∴PA＝PH﹣AH＝3﹣3，
∴BQ＝3﹣3．

14、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，点D在AB上，连接CD，并将CD绕点D逆时针旋转60°得到DE，连接AE．
（1）如图1，当点D为AB中点时，直接写出DE与AE长度之间的数量关系；
（2）如图2，当点D在线段AB上时，
①根据题意补全图2；
②猜想DE与AE长度之间的数量关系，并证明．


解：（1）结论：DE＝AE．
理由：如图1中，

∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，∠B＝60°，
∵AD＝DB，
∴CD＝AD＝DB，
∴△CDB是等边三角形，
∴∠CDB＝60°，
∵DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ED﹣∠CDB＝60°，
∵DA＝DC，DC＝DE，
∴AD＝DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE．

（2）①图形如图2所示：


②如图2﹣1中，结论：DE＝AE．

理由：取AB的中点F，连接CE，CF，EF．
∵∠ACB＝90°，AF＝BF，
∴CF＝AF＝BF，
∵∠B＝60°，
∴△BCF是等边三角形，
∵DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△ECD是等边三角形，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝60°，CE＝CD，CF＝CB，
∴∠1＝∠3，
∴△ECF≌△DCB（SAS），
∴∠5＝∠B＝60°，
∵∠6＝60°，
∴∠4＝∠5＝60°，
∵EF＝EF，FA＝FC，
∴△EFA≌△EFC（SAS），
∴AE＝EC，
∵EC＝ED，
∴AE＝ED．

15、△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD．作射线BD，点C关于射线BD的对称点为点E．连接AE，CE．
（1）依题意补全图形；
（2）若α＝20°，直接写出∠AEC的度数；
（3）写出一个α的值，使AE＝时，线段CE的长为﹣1，并证明．



解：（1）如图1，


（2）∠AEC＝135°，
证明：过A作AG⊥CE于G．连接AC、BE，如图2，

由题意，BC＝BE＝BA，
∴∠BCE＝∠BEC，∠BAE＝∠BEA，
∵∠BCE+∠BEC+∠BAE+∠BEA+∠ABC＝360°
∵∠ABC＝90°，
∴2（∠BEC+∠BEA）＝270°，
∴∠BEC+∠BEA＝135°，即∠AEC＝135°，
（3）α＝30°，
证明：∵∠AEC＝135°，
∴∠AEG＝45°，
∵AE＝，
∴AG＝GE＝1，
当α＝30°时，
∴∠EBC＝30°，
∵BC＝BE，
∴∠BCG＝75°，
∵∠BCA＝45°，
∴∠ACG＝30°，
∴，
∴．



16、已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：
（1）如图2，在正方形ABCD中，点　 　为线段BC关于点B的逆转点；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．
①补全图；
②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；
③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

解：（1）由题意，点A是线段AB关于点B的逆转点，
故答案为A．

（2）①图形如图3所示．


②结论：GF⊥x轴．
理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，
∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，
∴∠GEF＝∠PEO，
∴△GEF≌△PEO（SAS），
∴∠GFE＝∠EOP，
∵OE⊥OP，
∴∠POE＝90°，
∴∠GFE＝90°，
∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，
∴四边形EFHO是矩形，
∴∠FHO＝90°，
∴FG⊥x轴．

③如图4﹣1中，当0＜x＜5时，

∵E（0，5），
∴OE＝5，
∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，
∴四边形EFHO是正方形，
∴OH＝OE＝5，
∴y＝•FG•PH＝•x•（5﹣x）＝﹣x2+x．
如图4﹣2中，当x＞5时，

y＝•FG•PH＝•x•（x﹣5）＝x2﹣x．
综上所述，．