专题04 巧用一元二次方程根的判别式解图象的公共点问题-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

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专题04  巧用一元二次方程根的判别式解图象的公共点问题【专题说明】解反比例函数与一次函数的图象的公共点问题，可转化为一元二次方程根的情况 ，用判别式来辅助计算．判别式大于0，则有两个公共点；判别式等于0，则有一个公共点；判别式小于0，则没有公共点．一、无公共点(Δ＜0)1．反比例函数y＝的图象如图所示，A，P为该图象上的点，(第1题)且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B.若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋＝0的根的情况是________________．没有实数根　点拨：设P点坐标为(m，n)，则A点坐标为(－m，－n)，B点坐标为(m，－n)．由题意得S△PAB＝·2m·2n＝2mn＝2(a＋4)＞12，解得a＞2.∴Δ＝(－1)2－4(a－1)×＝2－a＜0.　∴关于x的方程(a－1)x2－x＋＝0无实数根．2．若反比例函数y＝与一次函数y＝x＋2的图象没有公共点，则k的取值范围是________．[来源:学&科&网k＜－1　点拨：∵反比例函数y＝与一次函数y＝x＋2的图象没有公共点，∴无解，即＝x＋2无解．整理得x2＋2x－k＝0，∴Δ＝4＋4k＜0.解得k＜－1.  二、有唯一公共点(Δ＝0)3．若反比例函数y＝的图象经过点P(a，b)，且a，b为一元二次方程x2＋kx＋4＝0的两根，那么点P的坐标是________，到原点的距离为________．(－2，－2)；2　点拨：∵点P(a，b)在反比例函数y＝的图象上，[来源:Z。xx。k.Com]∴ab＝k.∵a，b为一元二次方程x2＋kx＋4＝0的两根，∴ab＝4.∴k＝4.∴a＝b＝－2.∴P点坐标为(－2，－2)，到原点的距离为2. 4．如图，将直线y＝x沿x轴负方向平移4个单位长度后，恰好与双曲线y＝(x＜0)有唯一公共点A，并交双曲线y＝(x＞0)于B点，若y轴平分△AOB的面积，求n的值．(第4题)解：直线y＝x沿x轴负方向平移4个单位长度后可得直线y＝x＋4，由题意可得整理得x2＋4x－m＝0.∵Δ＝0，∴42－4·(－m)＝0，即m＝－4.[来源:学#科#网]∴反比例函数y＝的表达式是y＝－.将m＝－4代入x2＋4x－m＝0，解得x1＝x2＝－2，∴A点坐标为(－2，2)．∵直线y＝x沿x轴负方向平移4个单位长度后与双曲线y＝(x＞0)交于B点且y轴平分△AOB的面积，∴B点坐标为(2，6)．∴6＝.∴n＝12.  三、有两个公共点(Δ＞0)5．若，则在同一直角坐标系中，直线y＝x－a与双曲线y＝的交点个数为(　　)　A．0  B．1  C．2  D．3C　点拨：由不等式组可求得不等式组的解集为a≤－2.令x－a＝，整理得x2－ax－2a－1＝0，∴Δ＝a2＋2a＋1＝(a＋1)2＞0，即直线与双曲线有两个交点．三、有公共点(Δ≥0)6．若一次函数y＝mx＋6的图象与反比例函数y＝在第一象限的图象有公共点，则有(　　)A．mn≥－9  B．－9≤mn≤0C．mn≥－4  D．－4≤mn≤0A　点拨：本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，根据题中条件，交点在第一象限，对m进行分类讨论，当m>0时，如图①，一定有交点；当m＝0时，如图②，也一定有交点；当m<0时，如图③，把函数图象的交点问题转化为解方程的问题，可列方程为mx＋6＝，转化为一元二次方程，要使方程有解，根的判别式要大于或等于0，求出mn的取值范围，综合上面三点，即可得出答案．(第6题) 7．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，　(第7题)A点的坐标为(a，a)．如图，若双曲线y＝(x＞0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是____________． 【答案】≤a≤＋18．如图，过点C(1，2)分别作x轴，y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于点A，B，若反比例函数y＝(x＞0)的图象与△ABC有公共点，求k的取值范围．(第8题)解：当点C(1，2)在反比例函数y＝的图象上时，k＝2.由＝－x＋6，得x2－6x＋k＝0，当(－6)2－4k＝0，即k＝9时，直线与双曲线有且只有一个公共点(3，3)，点(3，3)在线段AB上．因此反比例函数y＝(x＞0)的图象与△ABC有公共点时，k的取值范围是2≤k≤9.