专题44 以三角形为基础的图形的旋转变换问题-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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1、如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．
（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系： BE=CD ；
（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），
①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，
∴AE-AB=AD-AC，∴BE=CD；
（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，
由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，，
∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；
②∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=ED，∴AC=CD，∴∠CAD=45°，或360°-90°-45°=225°，
∴角α的度数是45°或225°．
等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强
2、如图①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
（1）求证：CF=CH；
（2）如图②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM的形状，并证明你的结论．
（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE，∴∠1=∠2=90°-∠BCE，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，
在△ACF和△DCH中，，∴△ACF≌△DCH，∴CF=CH；
（2）四边形ACDM是菱形，证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°-45°=45°，
∵∠A=∠D=45°，∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，同理∠D+∠ACD=180°，∴AM∥DC，AC∥DM，
∴四边形ACDM是平行四边形，∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．
【教师总结】三角形从一个位置旋转到另一个位置，除去对应线段和对应角相等外，里面也存在着相等的角，和全等三角形，在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。
【针对训练】
1、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，AD＝2，将△ABD绕点A逆时针方向旋转得到△ACE，点B，D的对应点分别为C，E．连接DE，BD的延长线与CE相交于点F．
①求DE的长；
②证明：BF⊥CE．
（Ⅲ）如图③，将（Ⅱ）中的△ADE绕点A在平面内旋转一周，在旋转过程中点D，E的对应点分别为D1，E1，点N，P分别为D1E1，D1C的中点，请直接写出△OPN面积S的变化范围．
解：（Ⅰ）∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠ABO＝45°．
∴∠DAO＝∠OAB﹣∠DAB＝30°．
如图①中，过点D作DG⊥OA，垂足为G．
在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，
∴，，
∴，
∴点D的坐标为．
（Ⅱ）①如图②中，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE＝2，
∴在Rt△DAE中，，
②∵OA＝OB＝OC＝4，∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠OAB＝∠ABO＝∠ACO＝∠OAC＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∵△ABD旋转得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
在△BFC中，则有∠FBC+∠FCB＝∠FBC+∠BCA+∠ACE＝∠FBC+∠BCA+∠ABD＝∠ABC+∠BCA＝90°，
∴BF⊥CE．
（Ⅲ）如图③中，
∵OB＝OC，PC＝PD1，NE1＝ND1，
∴OP＝BD1，PN＝E1C，OP∥BD1，PN∥CE1
∵BD1⊥E1C，BD1＝E1C，
∴OP⊥PN，OP＝PN，
∴△OPN是等腰直角三角形，
∵AB＝4，AD1＝2，
∴4﹣2≤BD1≤4+2，
∴2﹣1≤OP≤2+1，
∴△OPN面积的最小值＝（2﹣1）2＝﹣2，△OPN的面积的最大值＝+2，
∴．
2、如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为 ，BH与AE的数量关系为 ；
问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；
拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．
解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．
理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，
∴AE＝2BC＝12，
在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，
∴CD＝＝4，
∵CH＝DH，
∴BH＝CD＝2，
∴＝＝2，
∴AE＝2BH．
故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．
问题证明：如图2中，（1）中结论成立．
理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．
∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，
∴△CHF≌△DHB（SAS），
∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，
∴CF∥BD，
∵AB＝BC，BE＝BD，
∴BE＝CF，
∴＝＝，
∵CF∥BD，
∴∠BCF+∠CBD＝180°，
∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE∽△BCF，
∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，
∴AE＝BF＝2BH，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴BH⊥AE．
拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．
∵DE∥BC
∴∠ABC＝∠BFD＝90°，
由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，
∵•BD•BE＝•DE•BF，
∴BF＝＝3，
∴EF＝BF＝3，
∴AF＝6+3，
∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．
∵AE＝2BH，
∴AE2＝12BH2，
∴BH2＝12+3
如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，
∴BH2＝＝（＝12﹣3．
3、已知△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置．
（1）如图，旋转中心是 ，∠DAE＝ °；
（2）如图，如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转动了 度；
（3）如果点D为BC边上的三等分点，且△ABD的面积为3，那么四边形ADCE的面积为 ．
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°
∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，
∴旋转中心是点A，∠DAE＝∠BAC＝60°；
（2）∵AB和AC为对应边，
∴经过上述旋转后，点M转到了AC的中点位置，如图，
∴∠MAM′＝60°，
∴点M转动了60°；
（3）∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，
∴△ABD≌△ACE，
∵BD＝BC，或BD＝BC，
∴CD＝2BD，或CD＝BD，
∴S△ABC＝3S△ABD＝3×3＝9，或S△ABC＝S△ABD＝3×＝，
∴S四边形ADCE＝S△ABC＝9或．
故答案为点A，60；60；9或．
4、如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．
解：（1）如图1中，延长AE交BD于H．
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为AE＝BD，AE⊥BD．
（2）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．
（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．
∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，
∴EH＝DH，CH＝DE＝5，
在Rt△ACH中，∵AC＝13，CH＝5，
∴AH＝＝12，
∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．
②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．
同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，
综上所述，满足条件的AD的值为17或7．
5、如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个 ．（回答直接写序号）
①BD＝CE； ②BD⊥CE； ③∠ACE+∠DBC＝45°； ④BE2＝2（AD2+AB2）
（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：
①当∠CAE＝90°时，求PB的长；
②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．
（1）解：如图甲：
①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∴①正确．
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABD+∠AFB＝90°，
∴∠ACE+∠AFB＝90°．
∵∠DFC＝∠AFB，
∴∠ACE+∠DFC＝90°，
∴∠FDC＝90°．
∴BD⊥CE，∴②正确．
③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°．
∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正确．
④∵BD⊥CE，
∴BE2＝BD2+DE2，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，
∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，
∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，
∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，
∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④错误．
故答案为①②③．
（2）①解：a、如图乙﹣1中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝3．
∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝＝3，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA＝∠ECA．
∵∠PEB＝∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．
b、如图乙﹣2中，当点E在BA延长线上时，BE＝9．
∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝＝3，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA＝∠ECA．
∵∠BEP＝∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．
综上，PB＝或．
②解：a、如图乙﹣3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．
理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）
∵AE⊥EC，
∴EC＝＝＝3，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，
∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD＝AE＝2，
∴PB＝BD+PD＝3+3．
综上所述，PB长的最大值是3+3．
b、如图乙﹣4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．
理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）
∵AE⊥EC，
∴EC＝＝＝3，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，
∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD＝AE＝4，
∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．
综上所述，PB长的最小值是3﹣3．
6、已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC（包含边界）平面内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点P．
（1）观察填空：当点D在图1所示的位置时，填空：
①与△ACD全等的三角形是 ．
②∠APB的度数为 ．
（2）猜想证明：在图1中，猜想线段PD，PE，PC之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
（3）拓展应用：如图2，当△ABC边长为4，AD＝2时，请直接写出线段CE的最大值．
解：（1）①如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵将线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE，
∴CE＝CD，∠DCE＝60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠DCE═60°，
∵∠ACD+∠DCB＝60°，∠BCE+∠DCB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
故答案为：△BCE．
②如图1中，∵△ACD≌△BCE，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠DAC+∠BAD＝∠BAC＝60°，
∴∠PBC+∠BAD＝60°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABC+∠PBC+∠BAP＝180°﹣60°﹣60°＝60°；
故答案为60°．
（2）结论：PD+PE＝PC．
理由：如图1中在PC上取一点H，使得EP＝EH，
∵∠APB＝60°，
∴∠DPE＝120°，
∴∠DPE+∠DCE＝180°，
∴C，D，P，E四点共圆，
∴∠CPE＝∠CDE＝60°，
∵EP＝EH，
∴△EPH是等边三角形，
∴PH＝EP＝EH，∠PEH＝∠DEC＝60°，
∴∠PED＝∠HEC，
∵EP＝EH，ED＝EC，
∴△PED≌△HEC（SAS），
∴PD＝CH，
∴PC＝PH+CH＝PE+PD．
（3）如图2中，∵AC＝4，AD＝2，
∴4﹣2≤CD≤4+2，
∴2≤CD≤6．
由（1）可知，EC＝CD，
∴EC的最大值为6．
即当点D在CA的延长线上时，CE取最大值为6．
7、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）直线BD和CE的位置关系是 ；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）设直线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1时，直接写出PB的长．
解：（1）BD⊥CE，
理由：延长CE交BD于P，
∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∵∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝∠ABP+∠ABC+∠PCB＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD⊥CE；
（2）BD和CE的数量是：BD＝CE；
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE；
（3）①当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝1．
∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∵∠AEC＝∠BEP，
∴∠BPE＝∠EAC＝90°，
∵∠PBE＝∠ABD，
∴△BPE∽△BAD，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝．
②当点E在BA延长线上时，BE＝3，
∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝，
由△BPE∽△BAD，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝，
综上所述，PB的长为或．
8、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．
（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；
（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．
解：（1）∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，
∴AC＝BC＝4，AB＝AC＝4，DE＝BE，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，
∵AB＝2BD，
∴AD＝BD＝2，
∴BE＝2，
∵∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝90°，
∴CE＝＝＝2，
∵点F是CE的中点，
∴BF＝CE＝；
（2）如图，连接AN，设DE与AB交于点H，
∵点M是AD中点，
∴AM＝MD，
又∵MN＝ME，∠AMN＝∠DME，
∴△AMN≌△DME（SAS），
∴AN＝DE，∠MAN＝∠ADE，
∴AN∥DE，
∴∠NAH+∠DHA＝180°，
∵∠NAH＝∠NAC+∠CAB＝∠NAC+45°，∠DHA＝∠EDB+∠DBH＝45°+∠DBH，
∴∠NAC+45°+45°+∠DBH＝180°，
∴∠NAC+∠DBH＝90°，
∵∠CBA+∠DBE＝45°+45°＝90°，
∴∠CBE+∠DBH＝90°，
∴∠CBE＝∠NAC，
又∵AC＝BC，AN＝DE＝BE，
∴△ACN≌△BCE（SAS），
∴∠ACN＝∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACN+∠ACE＝90°＝∠NCE，
∴CN⊥CE．
9、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；
（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．
解：（1）由旋转可得EC＝DC，∠ECD＝90°＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE，
又∵AC＝BC，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）由（1）可知AE＝BD＝1，∠CAE＝∠B＝45°＝∠CAB，
∴∠EAD＝90°，
∴，
∴．
∴；
（3）如图，过C作CG⊥AB于G，则AG＝AB，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴CG＝AB，即＝，
∵点F为AD的中点，
∴FA＝AD，
∴FG＝AG﹣AF
＝AB﹣AD＝（AB﹣AD）＝BD，
由（1）可得：BD＝AE，
∴FG＝AE，即＝，
∴＝，
又∵∠CGF＝∠BAE＝90°，
∴△CGF∽△BAE，
∴∠FCG＝∠ABE，
∵∠FCG+∠CFG＝90°，
∴∠ABE+∠CFG＝90°，
∴CF⊥BE．