专题03 直角三角形与二次函数的分类讨论问题-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题03 直角三角形与二次函数的分类讨论问题

1、已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．

（1）求直线AC的解析式；

（2）如图2，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP面积最大时，求|PM﹣OM|的最大值．

（3）如图3，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．

2、已知抛物线:的项点为，交轴于、两点(点在点左侧)，且．

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)过点的直线交抛物线于点,交轴于点,若的面积被轴分为1: 4两个部分，求直线的解析式；

(3)在(2)的情况下，将抛物线绕点逆时针旋转180°得到抛物线,点为抛物线上一点，当点的横坐标为何值时，为直角三角形？

3、已知：如图，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）

（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEC的面积S；

（3）在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在点P使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动的时间t的值，若不存在，请说明理由．

（4）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．

4、已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．

5、如图，动直线 y＝kx+2（k＞0）与 y 轴交于点 F，与抛物线 y＝ 相交于A，B 两点，过点 A，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C，D，连接 CF，DF，请你判断△CDF 的形状，并说明理由．

6、如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

（1）若抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．

①求点M、N的坐标；

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；

（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

7、如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0)，抛物线经过点A、C，与AB交于点D．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．

①求S关于m的函数表达式；

②当S最大时，在抛物线的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

8、如图1，对称轴为直线 的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；

（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

9、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x−3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，连接AC、BC，点D(0，2)在y轴上，连接BD．

（1）请求出直线AC、BD的解析式；

（2）如图1，点P为第三象限内抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E，连接OE．当∠AOE=∠BDO时，点M为直线x轴上一点，点N为y轴上一点，连接EM、NP，当四边形MNPE周长最小时，请求出点N的坐标并直接写出此时四边形MNEP的周长；

（3）如图2，在（2）的结论下，连接OP，将△OEP绕点O旋转，点E旋转后对应点为E1，点P旋转后对应点为P1，直线E1P1与y轴交于点F，与直线BD交于点Q．在旋转过程中，△DQF能否为直角三角形，若能，请求出DF的长度；若不能，请说明理由．

10、如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；

（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

11、在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．