专题03 一元二次方程根与系数关系的四种用法-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

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专题03  一元二次方程根与系数关系的四种用法【专题说明】利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0.一、利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值．(1)(x1－3)(x2－3)；(2)＋；(3)x1－x2.解：根据一元二次方程根与系数的关系，有x1＋x2＝，x1x2＝－.(1)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－－3×＋9＝3.(2)＋＝＝＝＝＝.(3)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝，∴x1－x2＝±＝±.   二、利用根与系数的关系构造一元二次方程2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数．解：设方程5x2＋2x－3＝0的两根为x1，x2，[来源:学科网ZXXK]则x1＋x2＝－，x1x2＝－.设所求方程为y2＋py＋q＝0，其两根为y1，y2，令y1＝－，y2＝－.∴p＝－(y1＋y2)＝－＝＋＝＝，q＝y1y2＝＝＝－.∴所求的方程为y2＋y－＝0，即3y2＋2y－5＝0.三、利用根与系数的关系求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值．解：(1)∵方程x2－4x＋m＝0有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4m≥0，∴m≤4.(2)∵方程x2－4x＋m＝0的两实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝4，①又∵5x1＋2x2＝2，②联立①②解方程组得∴m＝x1·x2＝－2×6＝－12.四、巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，∴k≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k≥0，∴k＜0.∵x1，x2是方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，x1x2＝.∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－.又∵(2x1－x2)(x1－2x2)＝－，∴－＝－.∴k＝.经检验，k＝是该分式方程的根．又∵k<0，∴不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立．