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专题13 反比例函数经典-2022年决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）
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这是一份专题13 反比例函数经典-2022年决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用），文件包含专题13反比例函数经典解析版docx、专题13反比例函数经典原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
P
y
M
x
0
N
图1
专题12 反比例函数经典 (解析版）
反比例函数经典考点：
一、K的妙用(注意符号)
1、反比例函数与矩形面积：
若P(x，y)为反比例函数(k≠0)图像上的任意一点，则
O
B
y
x
A
Q
图2
S矩形=k（图1）
2、反比例函数与矩形面积：
若Q(x，y)为反比例函数(k≠0)图像上的任意一点
如图2所示，过Q作QA⊥x轴于A(或作QB⊥y轴于B)，
图3
连结QO，则所得三角形的面积为：S△QOA=（或S△QOB=）
二、对称性
对称性：（1）对于双曲线本身来说，
它的两个分支关于直角坐标系原点中心对称；(图3)
（2）对于k取互为相反数的两个反比例函数
图4
（如：y = 和y = 图4）它们是关于x轴，y轴对称。
图5
(3)关于y=x与y=-x成轴对称。（图5）
一．选择题
1．如图，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y=4x B．y=-4x C．y=2x D．y=-2x
【分析】先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO＝3BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式．
答案详解:∵直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），即OA＝3，
∵AO＝3BO，
∴OB＝1，
∴点C的横坐标为﹣1，
∵点C在直线y＝﹣x+3上，
∴点C（﹣1，4），
∴反比例函数的解析式为：y=-4x．
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y=1x的图象有唯一公共点，若直线y＝﹣x+b与反比例函数y=1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．b＞2 B．﹣2＜b＜2 C．b＞2或b＜﹣2 D．b＜﹣2
【分析】利用图象法结合对称性解决问题即可．
答案详解:由题意，当b＞2时，直线y＝﹣x+b与反比例函数有两个交点，
根据对称性，b＜﹣2时，直线y＝﹣x+b与反比例函数也有两个交点，
故满足条件的b的值为b＜﹣2或b＞2，
故选：C．
3．如图，在直角坐标系中，直线y1＝2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=kx（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA＝AD，则以下结论：
①S△ADB＝S△ADC；
②当0＜x＜3时，y1＜y2；
③如图，当x＝3时，EF=83；
④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，利用AAS得到三角形OBA与三角形CDA全等，利用全等三角形对应边相等得到CD＝OB，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，由图象判断y1＜y2时x的范围，以及y1与y2的增减性，把x＝3分别代入直线与反比例解析式，相减求出EF的长，即可做出判断．
答案详解:对于直线y1＝2x﹣2，
令x＝0，得到y＝﹣2；令y＝0，得到x＝1，
∴A（1，0），B（0，﹣2），即OA＝1，OB＝2，
在△OBA和△CDA中，
∠AOB=∠ADC=90°∠OAB=∠DACOA=AD，
∴△OBA≌△CDA（ASA），
∴CD＝OB＝2，OA＝AD＝1，
∴S△ADB＝S△ADC（同底等高三角形面积相等），选项①正确；
∴C（2，2），
把C坐标代入反比例解析式得：k＝4，即y2=4x，
由函数图象得：当0＜x＜2时，y1＜y2，选项②错误；
当x＝3时，y1＝4，y2=43，即EF＝4-43=83，选项③正确；
当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，选项④正确，
故选：C．
4．如图，点A是双曲线y=-6x在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=kx上运动，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出ADEO=DOEC=AOCO，即可得出k＝EC×EO＝2．
答案详解:连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，
∴CO⊥AB，∠CAB＝30°，
则∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠DAO+∠AOD＝90°，
∴∠DAO＝∠COE，
又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴ADEO=DOEC=AOCO=tan60°=3，则S△ADOS△COE=3，
∵点A是双曲线y=-6x在第二象限分支上的一个动点，
∴12|xy|=12AD•DO=12×6＝3，
∴12k=12EC×EO＝1，
则EC×EO＝2．
故选：B．
5．已知函数y=-x+1(x＜2)-2x(x≥2)，当函数值为3时，自变量x的值为（ ）
A．﹣2 B．-23 C．﹣2或-23 D．﹣2或-32
【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．
答案详解:若x＜2，当y＝3时，﹣x+1＝3，
解得：x＝﹣2；
若x≥2，当y＝3时，-2x=3，
解得：x=-23，不合题意舍去；
∴x＝﹣2，
故选：A．
6．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，点E（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，连接DF，DF∥x轴，则k的值为（ ）
A．22 B．3 C．4 D．42
【分析】过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，得矩形OFDH，根据点E（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，可以求出EG和DH的长，进而可得OH的长，所以得点D的坐标，即可得k的值．
答案详解:如图，过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，
∵DF∥x轴，
∴得矩形OFDH，
∴DF＝OH，DH＝OF，
∵E（1，0）和点F（0，1），
∴OE＝OF＝1，
∴∠OEF＝45°，
∴AE＝EF=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠AEG＝∠OEF＝45°，
∴AG＝AE=2，
∴EG＝2，
∵DH＝OF＝1，
∠DHG＝90°，∠DGH＝∠AGE＝45°，
∴GH＝DH＝1，
∴DF＝OH＝OE+EG+GH＝1+2+1＝4，
∴D（4，1），
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∵k＝4．
则k的值为4．
故选：C．
7．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是152，则点B的坐标为（ ）
A．（4，83） B．（92，3） C．（5，103） D．（245，165）
【分析】求出反比例函数y=6x，设OB的解析式为y＝mx，由OB经过D（3，2），得出OB的解析式为y=23x，设C（a，6a），且a＞0，由平行四边形的性质得BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，则B（9a，6a），BC=9a-a，代入面积公式即可得出结果．
答案详解:∵反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），
∴2=k3，
∴k＝6，
∴反比例函数y=6x，
∵OB经过原点O，
∴设OB的解析式为y＝mx，
∵OB经过点D（3，2），
则2＝3m，
∴m=23，
∴OB的解析式为y=23x，
∵反比例函数y=6x经过点C，
∴设C（a，6a），且a＞0，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，
∴点B的纵坐标为6a，
∵OB的解析式为y=23x，
∴B（9a，6a），
∴BC=9a-a，
∴S△OBC=12×6a×（9a-a），
∴2×12×6a×（9a-a）=152，
解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），
∴B（92，3），
故选：B．
解法2：∵反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），
∴2=k3，
∴k＝6，
∴反比例函数y=6x，
同上得：B（9a，6a），
∴BC=9a-a，
∵平行四边形OABC的面积是152，
∴（9a-a）×6a=152，
解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），
∴B（92，3），
故选：B．
8．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，OAOB=34．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=kx的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为27时，k的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【分析】设OA＝3a，则OB＝4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y＝x，OA的中垂线的解析式是x=32a，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为27，即CD2=27，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
答案详解:设OA＝3a，则OB＝4a，
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
则根据题意得：3ak+b=0b=4a，
解得：k=-43b=4a，
则直线AB的解析式是y=-43x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y＝x．
根据题意得：y=xy=-43x+4a，
解得：x=127ay=127a
则D的坐标是（127a，127a），
OA的中垂线的解析式是x=32a，则C的坐标是（32a，32a），则k=94a2．
∵以CD为边的正方形的面积为27，
∴2（127a-32a）2=27，
则a2=289，
∴k=94×289=7．
故选：D．
9．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=1x（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=k2x（x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连接AB，AA′，A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（ ）
A．8 B．10 C．310 D．46
【分析】过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，设A（a，1a），C（b，k2b），由△OAD∽△BCO，得到S△ADOS△BCO=(ODOB)2=a2b2，根据反比例函数的系数k的几何意义得到S△ADO=12，S△BOC=k22，求出k2=(ba)2，得到k=-ba，根据S△ABC＝S△AOB+S△BOC=12（-1a）•b+k22=6，列出关于k的方程k2+k﹣12＝0，求得k＝3，由于点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，得到OA′，OC′在同一条直线上，于是得到由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积＝S△OBC+S△OBC′+S△OAA′＝10．
答案详解:过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，
∵点A是函数y=1x（x＜0）图象上一点，
∴设A（a，1a），
∵点C在函数y=k2x（x＞0，k是不等于0的常数）的图象上，
∴设C（b，k2b），
∵AD⊥BD，BC⊥BD，
∴△OAD∽△OCB，
∴S△ADOS△BCO=(ODOB)2=a2b2，
∵S△ADO=12，S△BOC=k22，
∴k2=(ba)2，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC=12（-1a）•b+k22=6，
∴k2-ba=12，
①当k＞0时，
k=-ba，
∴k2+k﹣12＝0，
解得：k＝3，k＝﹣4（不合题意舍去），
②当k＜0时，
k=ba，
∴k2﹣k﹣12＝0，
解得：k＝﹣3，k＝4（不合题意舍去），
∴k2＝9
∵点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝90°，
∴OA′，OC′在同一条直线上，
∴S△OBC′＝S△OBC=k22=92，
∵S△OAA′＝2S△OAD＝1，
∴由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积＝S△OBC+S△OBC′+S△OAA′＝10．
故选：B．
二．填空题
10．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=kx（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=kx（k≠0）上，则a＝ 2 ．
【分析】对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，后根据三角形全等得出C点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定D点的坐标和D1点的坐标，即可确定出a的值．
答案详解:对于直线y＝﹣3x+3，
令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝1，即A（0，3），B（1，0），
过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF∥x轴，过D作DF垂直于AF于F，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠ABO+∠EBC＝90°，
∴∠OAB＝∠EBC，
在△AOB和△BEC中，
∠AOB=∠BEC=90°∠OAB=∠EBCAB=BC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝1，
∴C（4，1），
把C坐标代入反比例解析式得：k＝4，即y=4x，
同理得到△DFA≌△BOA，
∴DF＝BO＝1，AF＝AO＝3，
∴D（3，4），
把y＝4代入反比例解析式得：x＝1，即D1（1，4），
则将正方形ABCD沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=kx（k≠0）上的点D1处，即a＝2，
故答案为：2．
11．如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y＝x﹣1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y=-1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若a1＝﹣1，则a2015＝ 2 ．
【分析】首先根据a1＝﹣1，求出a2＝2，a3=12，a4＝﹣1，a5＝2，…，所以a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、2、12；然后用2015除以3，根据商和余数的情况，判断出a2015是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．
答案详解:∵a1＝﹣1，
∴B1的坐标是（﹣1，1），
∴A2的坐标是（2，1），
即a2＝2，
∵a2＝2，
∴B2的坐标是（2，-12），
∴A3的坐标是（12，-12），
即a3=12，
∵a3=12，
∴B3的坐标是（12，﹣2），
∴A4的坐标是（﹣1，﹣2），
即a4＝﹣1，
∵a4＝﹣1，
∴B4的坐标是（﹣1，1），
∴A5的坐标是（2，1），
即a5＝2，
…，
∴a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、2、12，
∵2015÷3＝671…2，
∴a2015是第672个循环的第2个数，
∴a2015＝2．
故答案为：2．
12．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是2，则k的值是 83 ．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE＝S△OBD=12k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
答案详解:连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD=12k，S△ACD＝S△OCD＝2，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴S△OCES△OAB=14，
∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4×12k＝2+2+12k，
∴k=83，
故答案为：83．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（0，2），将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC，若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点C，则k＝ -3225 ．
【分析】由A（﹣1，0），B（0，2），可知OA，OB，由折叠得OA＝AC＝1，OB＝BC＝2，要求k的值只要求出点C的坐标即可，因此过点C作垂线，构造相似三角形，得出线段之间的关系，设合适的未知数，在直角三角形中由勾股定理，解出未知数，进而确定点C的坐标，最终求出k的值．
答案详解:过点C作CD⊥x轴，过点B作BE⊥y轴，与DC的延长线相交于点E，
由折叠得：OA＝AC＝1，OB＝BC＝2，
∵∠E＝∠CDA＝∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠EBC＝90°，∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
∴△ACD∽△CBE，
∴CDBE=ACBC=12，
设CD＝m，则BE＝2m，CE＝2﹣m，AD＝2m﹣1
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即：m2+（2m﹣1）2＝12，解得：m1=45，m2＝0（舍去）；
∴CD=45，BE＝OD=85，
∴C（-85，45）代入y=kx得，k=-85×45=-3225，
故答案为：-3225
三．解答题
14．如图，已知直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，OB=12OA．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；
（2）直线EF交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线AB于点C．若C是EF的中点，OE＝6，反比例函数y=kx图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥OE，垂足为D，点M在直线AB上，点N在直线CD上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据OB=12OA可得点B坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图象上求出k值；
（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可．
答案详解:（1）∵线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，
解得：x＝9或﹣2（舍），而点A在x轴正半轴上，
∴A（9，0），
∵OB=12OA，
∴B（0，92），
（2）∵OE＝6，
∴E（﹣6，0），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，将点A和B的坐标代入，
得：0=9k+b92=b，解得：k=-12b=92，
∴AB的表达式为：y=-12x+92，
∵点C是EF的中点，
∴点C的横坐标为﹣3，代入AB中，y＝6，
则C（﹣3，6），
∵反比例函数y=kx经过点C，
则k＝﹣3×6＝﹣18；
（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，
在四边形DM1P1N1中，
M1和点A重合，
∴M1（9，0），
此时P1（9，12）；
在四边形DP3M3N3中，可知M在直线y＝x+3上，
联立：y=x+3y=-12x+92，
解得：x=1y=4，
∴M（1，4），
∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，﹣12），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．
故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，﹣12），P3（1，0），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．
15．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y=4x；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+m2．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y=4x（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+m2的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y=4x（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 8 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 m≥8 ．
【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+m2即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y=4x和y＝﹣x+m2并整理得：x2-12mx+4＝0，即可求解；
（4）由（3）可得．
答案详解:（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+m2得：
2＝﹣2+m2，解得：m＝8，
②由①知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8（1个交点时，m＝8）；
（4）联立y=4x和y＝﹣x+m2并整理得：x2-12mx+4＝0，
△=14m2﹣4×4≥0时，两个函数有交点，
解得：m≥8．
16．已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2=mx（m＞0，x＞0）．
（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．
①求m，k的值；
②直接写出当y1＞y2时x的范围；
（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3=nx（x＞0）的图象相交于点C．
①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；
②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交于点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．
【分析】（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式即可求解，将点A的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；②由图象可以直接看出；
（2）①BD＝|2+n﹣m|，BC＝|m﹣n|，DC＝|2+n﹣n|＝2，由BD＝BC或BD＝DC或BC＝CD或B与D重合时得：m﹣n＝1或4或2，即可求解；②点E的坐标为（m-nk，m），d＝BC+BE＝m﹣n+（1-m-nk）＝1+（m﹣n）（1-1k），即可求解．
答案详解:（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2，
将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12；
②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；
（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n）（C在D的下方），
当B为中点时，
则BD＝BC，即2+n﹣m＝m﹣n，
则 m﹣n＝1；
当D为中点时，
则 DB＝DC，即m﹣（2+n）＝2+n﹣n，
故m﹣n＝4，
当C为中点时，因为点C一定在点D的下方，故这种情况不存在；
当B与D重合时，C到B，D的距离相等，
则m＝n+2，即m﹣n＝2，
∴m﹣n＝1或4或2．
②点E的横坐标为：m-nk，
当点E在点B左侧时，
d＝BC+BE＝m﹣n+（1-m-nk）＝1+（m﹣n）（1-1k），
m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，
当1-1k=0时，此时k＝1，从而d＝1．
当点E在点B右侧时，
同理BC+BE＝（m﹣n）（1+1k）﹣1，
当1+1k=0，k＝﹣1时，（不合题意舍去）
故k＝1，d＝1．
17．如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰△OAB的边OB与反比例函数y=mx（m＞0）的图象相交于点C，其中OB＝AB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），过点C作CH⊥x轴于点H．
（1）已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；
（2）若点P是线段AB上的一点，满足OC=3AP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP，记△OPQ的面积为S△OPQ，设AQ＝t，T＝OH2﹣S△OPQ
①用t表示T（不需要写出t的取值范围）；
②当T取最小值时，求m的值．
【分析】（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx，即可求解；
（2）①sin∠APQ=QAPA=ta=sinα=15，则PA＝a=5t，则点C（3t，23t），T＝OH2﹣S△OPQ＝（OC•sinα）2-12×（4﹣t）×2t＝4t2﹣4t；②当t=12时，T取得最小值，而点C（3t，23t），即可求解．
答案详解:（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx得：4＝2k，
解得：k＝2，
故一次函数表达式为：y＝2x，
（2）①过点B作BM⊥OA，
则∠OCH＝∠QPA＝∠OAB＝∠ABM＝α，
则tanα=12，sinα=15，
∵OB＝AB，则OM＝AM＝2，则点A（4，0），
设：AP＝a，则OC=3a，
在△APQ中，sin∠APQ=QAPA=ta=sinα=15，
同理PQ=ttanα=2t，
则PA＝a=5t，OC=15t，
则点C（3t，23t），
T＝OH2﹣S△OPQ＝（OC•sinα）2-12×（4﹣t）×2t＝4t2﹣4t，
②∵4＞0，∴T有最小值，当t=12时，
T取得最小值，
而点C（3t，23t），
故：m=3t×23t=32．
18．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线y=33x（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．
（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP＝∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（3，0）时，求点P的坐标；
（2）如图3，当点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；
（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON，得出△NOP∽△MON，证出点P是△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD=MNON=3，求出∠AON＝60°，由点M和N的坐标得出∠MNO＝90°，由相似三角形的性质得出∠NPO＝∠MNO＝90°，在Rt△OPN中，由三角函数求出OP=32，OD=34，PD=34，即可得出答案；
（2）作MH⊥x轴于H，由勾股定理求出OM＝23，直线OM的解析式为y=33x，ON＝2，∠MOH＝30°，分两种情况：①作PQ⊥x轴于Q，由相似点的性质得出PO＝PN，OQ=12ON＝1，求出P的纵坐标即可；
②求出MN=(3)2+12=2，由相似三角形的性质得出PNON=MNMO，求出PN=233，在求出P的横坐标即可；
（3）证出OM＝23=ON，∠MON＝60°，得出△MON是等边三角形，由点P在△MON的内部，得出∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，即可得出结论．
答案详解:（1）∵∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON，
∴△NOP∽△MON，
∴点P是△MON的自相似点；
过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD=MNON=3，
∴∠MON＝60°，
∵当点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（3，0），
∴∠MNO＝90°，
∵△NOP∽△MON，
∴∠NPO＝∠MNO＝90°，
在Rt△OPN中，OP＝ONcos60°=32，
∴OD＝OPcos60°=32×12=34，PD＝OP•sin60°=32×32=34，
∴P（34，34）；
（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：
∵点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（2，0），
∴OM=32+(3)2=23，直线OM的解析式为y=33x，ON＝2，∠MOH＝30°，
分两种情况：
①如图3所示：∵P是△MON的相似点，
∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，
∴PO＝PN，OQ=12ON＝1，
∵P的横坐标为1，
∴y=33×1=33，
∴P（1，33）；
②如图4所示：
由勾股定理得：MN=(3)2+12=2，
∵P是△MON的相似点，
∴△PNM∽△NOM，
∴PNON=MNMO，即PN2=223，
解得：PN=233，
即P的纵坐标为233，代入y=33得：233=33x，
解得：x＝2，
∴P（2，233）；
综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，33）或（2，233）；
（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（3，3），N（23，0）；理由如下：
∵M（3，3），N（23，0），
∴OM＝23=ON，∠MON＝60°，
∴△MON是等边三角形，
∵点P在△MON的内部，
∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，
∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．
19．如图，直线AB与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），△AOB的面积为8．
（1）填空：反比例函数的关系式为 y=6x ；
（2）求直线AB的函数关系式；
（3）动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y=kx，求出k的值即可；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，设B（m，n），根据△AOB的面积为8，得3n-12m＝8，得方程3n2﹣8n﹣3＝0，解出可得B的坐标，利用待定系数法可得AB的解析式；
（3）如图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知：当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB，可解答．
答案详解:（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y=kx，
得k＝1×6＝6，
则y=6x，
故答案为：y=6x；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，
设B（m，n），
∴mn＝6，
∴BE＝DE﹣BD＝6﹣m，AE＝CE﹣AC＝n﹣1，
∴S△ABE=12AE⋅BE=12(n-1)(6-m)，
∵A、B两点均在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴S△BOD＝S△AOC=12×6×1=3，
∴S△AOB＝S矩形ODEC﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE＝6n﹣3﹣3-12(n-1)(6-m)=3n-12m，
∵△AOB的面积为8，
∴3n-12m＝8，
∴m＝6n﹣16，
∵mn＝6，
∴3n2﹣8n﹣3＝0，
解得：n＝3或-13（舍），
∴m＝2，
∴B（2，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则6k+b=12k+b=3，解得：k=-12b=4，
∴直线AB的解析式为：y=-12x+4；
（3）如图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知：
当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB，
把x＝0代入y=-12x+4中，得：y＝4，
∴P（0，4）．
20．如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求b的值．
【分析】（1）根据一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），可得m＝4，进而可求反比例函数的表达式；
（2）根据一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），可得y＝x+5﹣b，根据平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式＝0即可求出b的值．
答案详解:（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），
∴m＝4，
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数解析式为：y=-4x；
（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），
∴y＝x+5﹣b，
∵平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，
∴x+5﹣b=-4x，
∴x2+（5﹣b）x+4＝0，
∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，
解得b＝9或1，
答：b的值为9或1．
P
y
M
x
0
N
图1
专题12 反比例函数经典 (解析版）
反比例函数经典考点：
一、K的妙用(注意符号)
1、反比例函数与矩形面积：
若P(x，y)为反比例函数(k≠0)图像上的任意一点，则
O
B
y
x
A
Q
图2
S矩形=k（图1）
2、反比例函数与矩形面积：
若Q(x，y)为反比例函数(k≠0)图像上的任意一点
如图2所示，过Q作QA⊥x轴于A(或作QB⊥y轴于B)，
图3
连结QO，则所得三角形的面积为：S△QOA=（或S△QOB=）
二、对称性
对称性：（1）对于双曲线本身来说，
它的两个分支关于直角坐标系原点中心对称；(图3)
（2）对于k取互为相反数的两个反比例函数
图4
（如：y = 和y = 图4）它们是关于x轴，y轴对称。
图5
(3)关于y=x与y=-x成轴对称。（图5）
一．选择题
1．如图，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y=4x B．y=-4x C．y=2x D．y=-2x
【分析】先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO＝3BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式．
答案详解:∵直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），即OA＝3，
∵AO＝3BO，
∴OB＝1，
∴点C的横坐标为﹣1，
∵点C在直线y＝﹣x+3上，
∴点C（﹣1，4），
∴反比例函数的解析式为：y=-4x．
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y=1x的图象有唯一公共点，若直线y＝﹣x+b与反比例函数y=1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．b＞2 B．﹣2＜b＜2 C．b＞2或b＜﹣2 D．b＜﹣2
【分析】利用图象法结合对称性解决问题即可．
答案详解:由题意，当b＞2时，直线y＝﹣x+b与反比例函数有两个交点，
根据对称性，b＜﹣2时，直线y＝﹣x+b与反比例函数也有两个交点，
故满足条件的b的值为b＜﹣2或b＞2，
故选：C．
3．如图，在直角坐标系中，直线y1＝2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=kx（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA＝AD，则以下结论：
①S△ADB＝S△ADC；
②当0＜x＜3时，y1＜y2；
③如图，当x＝3时，EF=83；
④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，利用AAS得到三角形OBA与三角形CDA全等，利用全等三角形对应边相等得到CD＝OB，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，由图象判断y1＜y2时x的范围，以及y1与y2的增减性，把x＝3分别代入直线与反比例解析式，相减求出EF的长，即可做出判断．
答案详解:对于直线y1＝2x﹣2，
令x＝0，得到y＝﹣2；令y＝0，得到x＝1，
∴A（1，0），B（0，﹣2），即OA＝1，OB＝2，
在△OBA和△CDA中，
∠AOB=∠ADC=90°∠OAB=∠DACOA=AD，
∴△OBA≌△CDA（ASA），
∴CD＝OB＝2，OA＝AD＝1，
∴S△ADB＝S△ADC（同底等高三角形面积相等），选项①正确；
∴C（2，2），
把C坐标代入反比例解析式得：k＝4，即y2=4x，
由函数图象得：当0＜x＜2时，y1＜y2，选项②错误；
当x＝3时，y1＝4，y2=43，即EF＝4-43=83，选项③正确；
当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，选项④正确，
故选：C．
4．如图，点A是双曲线y=-6x在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=kx上运动，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出ADEO=DOEC=AOCO，即可得出k＝EC×EO＝2．
答案详解:连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，
∴CO⊥AB，∠CAB＝30°，
则∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠DAO+∠AOD＝90°，
∴∠DAO＝∠COE，
又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴ADEO=DOEC=AOCO=tan60°=3，则S△ADOS△COE=3，
∵点A是双曲线y=-6x在第二象限分支上的一个动点，
∴12|xy|=12AD•DO=12×6＝3，
∴12k=12EC×EO＝1，
则EC×EO＝2．
故选：B．
5．已知函数y=-x+1(x＜2)-2x(x≥2)，当函数值为3时，自变量x的值为（ ）
A．﹣2 B．-23 C．﹣2或-23 D．﹣2或-32
【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．
答案详解:若x＜2，当y＝3时，﹣x+1＝3，
解得：x＝﹣2；
若x≥2，当y＝3时，-2x=3，
解得：x=-23，不合题意舍去；
∴x＝﹣2，
故选：A．
6．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，点E（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，连接DF，DF∥x轴，则k的值为（ ）
A．22 B．3 C．4 D．42
【分析】过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，得矩形OFDH，根据点E（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，可以求出EG和DH的长，进而可得OH的长，所以得点D的坐标，即可得k的值．
答案详解:如图，过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，
∵DF∥x轴，
∴得矩形OFDH，
∴DF＝OH，DH＝OF，
∵E（1，0）和点F（0，1），
∴OE＝OF＝1，
∴∠OEF＝45°，
∴AE＝EF=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠AEG＝∠OEF＝45°，
∴AG＝AE=2，
∴EG＝2，
∵DH＝OF＝1，
∠DHG＝90°，∠DGH＝∠AGE＝45°，
∴GH＝DH＝1，
∴DF＝OH＝OE+EG+GH＝1+2+1＝4，
∴D（4，1），
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∵k＝4．
则k的值为4．
故选：C．
7．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是152，则点B的坐标为（ ）
A．（4，83） B．（92，3） C．（5，103） D．（245，165）
【分析】求出反比例函数y=6x，设OB的解析式为y＝mx，由OB经过D（3，2），得出OB的解析式为y=23x，设C（a，6a），且a＞0，由平行四边形的性质得BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，则B（9a，6a），BC=9a-a，代入面积公式即可得出结果．
答案详解:∵反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），
∴2=k3，
∴k＝6，
∴反比例函数y=6x，
∵OB经过原点O，
∴设OB的解析式为y＝mx，
∵OB经过点D（3，2），
则2＝3m，
∴m=23，
∴OB的解析式为y=23x，
∵反比例函数y=6x经过点C，
∴设C（a，6a），且a＞0，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，
∴点B的纵坐标为6a，
∵OB的解析式为y=23x，
∴B（9a，6a），
∴BC=9a-a，
∴S△OBC=12×6a×（9a-a），
∴2×12×6a×（9a-a）=152，
解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），
∴B（92，3），
故选：B．
解法2：∵反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），
∴2=k3，
∴k＝6，
∴反比例函数y=6x，
同上得：B（9a，6a），
∴BC=9a-a，
∵平行四边形OABC的面积是152，
∴（9a-a）×6a=152，
解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），
∴B（92，3），
故选：B．
8．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，OAOB=34．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=kx的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为27时，k的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【分析】设OA＝3a，则OB＝4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y＝x，OA的中垂线的解析式是x=32a，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为27，即CD2=27，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
答案详解:设OA＝3a，则OB＝4a，
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
则根据题意得：3ak+b=0b=4a，
解得：k=-43b=4a，
则直线AB的解析式是y=-43x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y＝x．
根据题意得：y=xy=-43x+4a，
解得：x=127ay=127a
则D的坐标是（127a，127a），
OA的中垂线的解析式是x=32a，则C的坐标是（32a，32a），则k=94a2．
∵以CD为边的正方形的面积为27，
∴2（127a-32a）2=27，
则a2=289，
∴k=94×289=7．
故选：D．
9．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=1x（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=k2x（x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连接AB，AA′，A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（ ）
A．8 B．10 C．310 D．46
【分析】过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，设A（a，1a），C（b，k2b），由△OAD∽△BCO，得到S△ADOS△BCO=(ODOB)2=a2b2，根据反比例函数的系数k的几何意义得到S△ADO=12，S△BOC=k22，求出k2=(ba)2，得到k=-ba，根据S△ABC＝S△AOB+S△BOC=12（-1a）•b+k22=6，列出关于k的方程k2+k﹣12＝0，求得k＝3，由于点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，得到OA′，OC′在同一条直线上，于是得到由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积＝S△OBC+S△OBC′+S△OAA′＝10．
答案详解:过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，
∵点A是函数y=1x（x＜0）图象上一点，
∴设A（a，1a），
∵点C在函数y=k2x（x＞0，k是不等于0的常数）的图象上，
∴设C（b，k2b），
∵AD⊥BD，BC⊥BD，
∴△OAD∽△OCB，
∴S△ADOS△BCO=(ODOB)2=a2b2，
∵S△ADO=12，S△BOC=k22，
∴k2=(ba)2，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC=12（-1a）•b+k22=6，
∴k2-ba=12，
①当k＞0时，
k=-ba，
∴k2+k﹣12＝0，
解得：k＝3，k＝﹣4（不合题意舍去），
②当k＜0时，
k=ba，
∴k2﹣k﹣12＝0，
解得：k＝﹣3，k＝4（不合题意舍去），
∴k2＝9
∵点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝90°，
∴OA′，OC′在同一条直线上，
∴S△OBC′＝S△OBC=k22=92，
∵S△OAA′＝2S△OAD＝1，
∴由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积＝S△OBC+S△OBC′+S△OAA′＝10．
故选：B．
二．填空题
10．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=kx（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=kx（k≠0）上，则a＝ 2 ．
【分析】对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，后根据三角形全等得出C点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定D点的坐标和D1点的坐标，即可确定出a的值．
答案详解:对于直线y＝﹣3x+3，
令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝1，即A（0，3），B（1，0），
过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF∥x轴，过D作DF垂直于AF于F，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠ABO+∠EBC＝90°，
∴∠OAB＝∠EBC，
在△AOB和△BEC中，
∠AOB=∠BEC=90°∠OAB=∠EBCAB=BC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝1，
∴C（4，1），
把C坐标代入反比例解析式得：k＝4，即y=4x，
同理得到△DFA≌△BOA，
∴DF＝BO＝1，AF＝AO＝3，
∴D（3，4），
把y＝4代入反比例解析式得：x＝1，即D1（1，4），
则将正方形ABCD沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=kx（k≠0）上的点D1处，即a＝2，
故答案为：2．
11．如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y＝x﹣1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y=-1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若a1＝﹣1，则a2015＝ 2 ．
【分析】首先根据a1＝﹣1，求出a2＝2，a3=12，a4＝﹣1，a5＝2，…，所以a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、2、12；然后用2015除以3，根据商和余数的情况，判断出a2015是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．
答案详解:∵a1＝﹣1，
∴B1的坐标是（﹣1，1），
∴A2的坐标是（2，1），
即a2＝2，
∵a2＝2，
∴B2的坐标是（2，-12），
∴A3的坐标是（12，-12），
即a3=12，
∵a3=12，
∴B3的坐标是（12，﹣2），
∴A4的坐标是（﹣1，﹣2），
即a4＝﹣1，
∵a4＝﹣1，
∴B4的坐标是（﹣1，1），
∴A5的坐标是（2，1），
即a5＝2，
…，
∴a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、2、12，
∵2015÷3＝671…2，
∴a2015是第672个循环的第2个数，
∴a2015＝2．
故答案为：2．
12．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是2，则k的值是 83 ．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE＝S△OBD=12k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
答案详解:连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD=12k，S△ACD＝S△OCD＝2，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴S△OCES△OAB=14，
∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4×12k＝2+2+12k，
∴k=83，
故答案为：83．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（0，2），将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC，若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点C，则k＝ -3225 ．
【分析】由A（﹣1，0），B（0，2），可知OA，OB，由折叠得OA＝AC＝1，OB＝BC＝2，要求k的值只要求出点C的坐标即可，因此过点C作垂线，构造相似三角形，得出线段之间的关系，设合适的未知数，在直角三角形中由勾股定理，解出未知数，进而确定点C的坐标，最终求出k的值．
答案详解:过点C作CD⊥x轴，过点B作BE⊥y轴，与DC的延长线相交于点E，
由折叠得：OA＝AC＝1，OB＝BC＝2，
∵∠E＝∠CDA＝∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠EBC＝90°，∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
∴△ACD∽△CBE，
∴CDBE=ACBC=12，
设CD＝m，则BE＝2m，CE＝2﹣m，AD＝2m﹣1
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即：m2+（2m﹣1）2＝12，解得：m1=45，m2＝0（舍去）；
∴CD=45，BE＝OD=85，
∴C（-85，45）代入y=kx得，k=-85×45=-3225，
故答案为：-3225
三．解答题
14．如图，已知直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，OB=12OA．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；
（2）直线EF交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线AB于点C．若C是EF的中点，OE＝6，反比例函数y=kx图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥OE，垂足为D，点M在直线AB上，点N在直线CD上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据OB=12OA可得点B坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图象上求出k值；
（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可．
答案详解:（1）∵线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，
解得：x＝9或﹣2（舍），而点A在x轴正半轴上，
∴A（9，0），
∵OB=12OA，
∴B（0，92），
（2）∵OE＝6，
∴E（﹣6，0），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，将点A和B的坐标代入，
得：0=9k+b92=b，解得：k=-12b=92，
∴AB的表达式为：y=-12x+92，
∵点C是EF的中点，
∴点C的横坐标为﹣3，代入AB中，y＝6，
则C（﹣3，6），
∵反比例函数y=kx经过点C，
则k＝﹣3×6＝﹣18；
（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，
在四边形DM1P1N1中，
M1和点A重合，
∴M1（9，0），
此时P1（9，12）；
在四边形DP3M3N3中，可知M在直线y＝x+3上，
联立：y=x+3y=-12x+92，
解得：x=1y=4，
∴M（1，4），
∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，﹣12），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．
故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，﹣12），P3（1，0），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．
15．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy＝4，即y=4x；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+m2．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数y=4x（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+m2的图象可由直线y＝﹣x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y=4x（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为 8 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为 m≥8 ．
【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+m2即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y=4x和y＝﹣x+m2并整理得：x2-12mx+4＝0，即可求解；
（4）由（3）可得．
答案详解:（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①把点（2，2）代入y＝﹣x+m2得：
2＝﹣2+m2，解得：m＝8，
②由①知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8（1个交点时，m＝8）；
（4）联立y=4x和y＝﹣x+m2并整理得：x2-12mx+4＝0，
△=14m2﹣4×4≥0时，两个函数有交点，
解得：m≥8．
16．已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2=mx（m＞0，x＞0）．
（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．
①求m，k的值；
②直接写出当y1＞y2时x的范围；
（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3=nx（x＞0）的图象相交于点C．
①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；
②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交于点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．
【分析】（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式即可求解，将点A的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；②由图象可以直接看出；
（2）①BD＝|2+n﹣m|，BC＝|m﹣n|，DC＝|2+n﹣n|＝2，由BD＝BC或BD＝DC或BC＝CD或B与D重合时得：m﹣n＝1或4或2，即可求解；②点E的坐标为（m-nk，m），d＝BC+BE＝m﹣n+（1-m-nk）＝1+（m﹣n）（1-1k），即可求解．
答案详解:（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2，
将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12；
②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；
（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n）（C在D的下方），
当B为中点时，
则BD＝BC，即2+n﹣m＝m﹣n，
则 m﹣n＝1；
当D为中点时，
则 DB＝DC，即m﹣（2+n）＝2+n﹣n，
故m﹣n＝4，
当C为中点时，因为点C一定在点D的下方，故这种情况不存在；
当B与D重合时，C到B，D的距离相等，
则m＝n+2，即m﹣n＝2，
∴m﹣n＝1或4或2．
②点E的横坐标为：m-nk，
当点E在点B左侧时，
d＝BC+BE＝m﹣n+（1-m-nk）＝1+（m﹣n）（1-1k），
m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，
当1-1k=0时，此时k＝1，从而d＝1．
当点E在点B右侧时，
同理BC+BE＝（m﹣n）（1+1k）﹣1，
当1+1k=0，k＝﹣1时，（不合题意舍去）
故k＝1，d＝1．
17．如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰△OAB的边OB与反比例函数y=mx（m＞0）的图象相交于点C，其中OB＝AB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），过点C作CH⊥x轴于点H．
（1）已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；
（2）若点P是线段AB上的一点，满足OC=3AP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP，记△OPQ的面积为S△OPQ，设AQ＝t，T＝OH2﹣S△OPQ
①用t表示T（不需要写出t的取值范围）；
②当T取最小值时，求m的值．
【分析】（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx，即可求解；
（2）①sin∠APQ=QAPA=ta=sinα=15，则PA＝a=5t，则点C（3t，23t），T＝OH2﹣S△OPQ＝（OC•sinα）2-12×（4﹣t）×2t＝4t2﹣4t；②当t=12时，T取得最小值，而点C（3t，23t），即可求解．
答案详解:（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx得：4＝2k，
解得：k＝2，
故一次函数表达式为：y＝2x，
（2）①过点B作BM⊥OA，
则∠OCH＝∠QPA＝∠OAB＝∠ABM＝α，
则tanα=12，sinα=15，
∵OB＝AB，则OM＝AM＝2，则点A（4，0），
设：AP＝a，则OC=3a，
在△APQ中，sin∠APQ=QAPA=ta=sinα=15，
同理PQ=ttanα=2t，
则PA＝a=5t，OC=15t，
则点C（3t，23t），
T＝OH2﹣S△OPQ＝（OC•sinα）2-12×（4﹣t）×2t＝4t2﹣4t，
②∵4＞0，∴T有最小值，当t=12时，
T取得最小值，
而点C（3t，23t），
故：m=3t×23t=32．
18．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线y=33x（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．
（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP＝∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（3，0）时，求点P的坐标；
（2）如图3，当点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；
（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON，得出△NOP∽△MON，证出点P是△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD=MNON=3，求出∠AON＝60°，由点M和N的坐标得出∠MNO＝90°，由相似三角形的性质得出∠NPO＝∠MNO＝90°，在Rt△OPN中，由三角函数求出OP=32，OD=34，PD=34，即可得出答案；
（2）作MH⊥x轴于H，由勾股定理求出OM＝23，直线OM的解析式为y=33x，ON＝2，∠MOH＝30°，分两种情况：①作PQ⊥x轴于Q，由相似点的性质得出PO＝PN，OQ=12ON＝1，求出P的纵坐标即可；
②求出MN=(3)2+12=2，由相似三角形的性质得出PNON=MNMO，求出PN=233，在求出P的横坐标即可；
（3）证出OM＝23=ON，∠MON＝60°，得出△MON是等边三角形，由点P在△MON的内部，得出∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，即可得出结论．
答案详解:（1）∵∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON，
∴△NOP∽△MON，
∴点P是△MON的自相似点；
过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD=MNON=3，
∴∠MON＝60°，
∵当点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（3，0），
∴∠MNO＝90°，
∵△NOP∽△MON，
∴∠NPO＝∠MNO＝90°，
在Rt△OPN中，OP＝ONcos60°=32，
∴OD＝OPcos60°=32×12=34，PD＝OP•sin60°=32×32=34，
∴P（34，34）；
（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：
∵点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（2，0），
∴OM=32+(3)2=23，直线OM的解析式为y=33x，ON＝2，∠MOH＝30°，
分两种情况：
①如图3所示：∵P是△MON的相似点，
∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，
∴PO＝PN，OQ=12ON＝1，
∵P的横坐标为1，
∴y=33×1=33，
∴P（1，33）；
②如图4所示：
由勾股定理得：MN=(3)2+12=2，
∵P是△MON的相似点，
∴△PNM∽△NOM，
∴PNON=MNMO，即PN2=223，
解得：PN=233，
即P的纵坐标为233，代入y=33得：233=33x，
解得：x＝2，
∴P（2，233）；
综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，33）或（2，233）；
（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（3，3），N（23，0）；理由如下：
∵M（3，3），N（23，0），
∴OM＝23=ON，∠MON＝60°，
∴△MON是等边三角形，
∵点P在△MON的内部，
∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，
∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．
19．如图，直线AB与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），△AOB的面积为8．
（1）填空：反比例函数的关系式为 y=6x ；
（2）求直线AB的函数关系式；
（3）动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y=kx，求出k的值即可；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，设B（m，n），根据△AOB的面积为8，得3n-12m＝8，得方程3n2﹣8n﹣3＝0，解出可得B的坐标，利用待定系数法可得AB的解析式；
（3）如图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知：当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB，可解答．
答案详解:（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y=kx，
得k＝1×6＝6，
则y=6x，
故答案为：y=6x；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，
设B（m，n），
∴mn＝6，
∴BE＝DE﹣BD＝6﹣m，AE＝CE﹣AC＝n﹣1，
∴S△ABE=12AE⋅BE=12(n-1)(6-m)，
∵A、B两点均在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴S△BOD＝S△AOC=12×6×1=3，
∴S△AOB＝S矩形ODEC﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE＝6n﹣3﹣3-12(n-1)(6-m)=3n-12m，
∵△AOB的面积为8，
∴3n-12m＝8，
∴m＝6n﹣16，
∵mn＝6，
∴3n2﹣8n﹣3＝0，
解得：n＝3或-13（舍），
∴m＝2，
∴B（2，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则6k+b=12k+b=3，解得：k=-12b=4，
∴直线AB的解析式为：y=-12x+4；
（3）如图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知：
当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB，
把x＝0代入y=-12x+4中，得：y＝4，
∴P（0，4）．
20．如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求b的值．
【分析】（1）根据一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），可得m＝4，进而可求反比例函数的表达式；
（2）根据一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），可得y＝x+5﹣b，根据平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式＝0即可求出b的值．
答案详解:（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），
∴m＝4，
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数解析式为：y=-4x；
（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），
∴y＝x+5﹣b，
∵平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，
∴x+5﹣b=-4x，
∴x2+（5﹣b）x+4＝0，
∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，
解得b＝9或1，
答：b的值为9或1．
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