专题07 圆的性质与证明-2022年决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）

专题07   圆的性质与证明 (原卷版）

圆的问题，常用小技巧：

 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）  简记：圆中弦，垂径连，垂径定理很好办。

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

2． 遇到有直径时。 简记：圆中直径，可得直角。

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。

3． 遇到有切线时   简记：切点半径连，垂直必出现。

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）

作用：利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形。

（2）常常添加连结圆上一点和切点

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

4． 遇到证明某一直线是圆的切线时。

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。

5． 遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。

6． 遇到三角形的内切圆时.  简记：内切圆，角平分，三边垂线好判断。

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：利用内心的性质，可得：

① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；

② 内心到三角形三条边的距离相等。

7． 遇到三角形的外接圆时. 简记：外接圆，中垂线，三个顶点线段连。

如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.

如果三角形不是直角三角形

一．选择题

1．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A．1 B． C．21 D．2

2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C． D．2

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点O在对角线BD上，以OB为半径作⊙O交BC于点E，连接DE，若DE是⊙O的切线，此时⊙O的半径为（　　）

A．2 B． C． D．

4．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝2021）的顶点∁i的坐标是（　　）

A．（1，） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）

二．填空题

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为　            　，线段DH长度的最小值为　            　．

6．△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝　               　．

7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是　                　．

8．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是　                　．

9．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠P的度数为　    　．

10．如图，在△ABC中，BA，BC分别为⊙O的切线，点E和点C为切线点，线段AC经过圆心O且与⊙O相交于D、C两点，若tanA，AD＝2，则BO的长为　            　．

11．在Rt△ABC中，tanA，点O为AC上一点，⊙O与斜边AB相切于点P，分别与AC、BC交于点M，N，若，则的值为　                　．

12．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，I为△ABC的内心，延长CI交AB于点D．

（1）∠BIC＝　    　°；

（2）若BD，BI＝4，则AD＝　    　．

13．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线FA1B1C1D1E1F1的长度是　   　．

14．如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为　              　．

15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF，则点F与点C的最小距离为　               　．

三．解答题

16．如图，已知二次函数yx2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．

（1）点B，C的坐标分别为B（　    　），C（　    　）；

（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值＝　    　．

17．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．

（1）求证：CD＝CE；

（2）若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．

18．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE，5BF﹣5AD＝4．

（1）求AE的长；

（2）求cos∠CAG的值及CG的长．

19．如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．

（1）求证：AD⊥BC；

（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．

①求证：AG与⊙O相切；

②当，CE＝4时，直接写出CG的长．

20．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有

一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．

（1）求证：BP是⊙O的切线；

（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；

（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．

21．已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α．

（1）如图1，若α＝60°，

①直接写出的值为　              　；

②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为　              　；

（2）如图2，若α＜60°，且，DE＝4，求BE的长．

22．如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．

（1）求证：直线AB与⊙O相切；

（2）求证：AE•ED＝AC•EF；

（3）若EF＝3，tan∠ACE时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．

23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．

（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；

①求此抛物线的函数解析式；

②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；

（2）如图2，若a＝1，c＝﹣4，求证：无论b取何值，点D的坐标均不改变．

24．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．

（1）求证：△DOE∽△ABC；

（2）求证：∠ODF＝∠BDE；

（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若，求sinA的值．

25．如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．

①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点　 　（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为　 　；

②若直线n的函数表达式为yx+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；

（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．

26．（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面积为S1，△CFP的面积为S2，则S1+S2＝　   　；

（2）如图2，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；

（3）如图3，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EF∥AD，HG∥AB，与各边分别相交于点E、F、G、H．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；

（4）如图4，点A、B、C、D把⊙O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、PC、围成的封闭图形的面积为S1，PA、PD、围成的封闭图形的面积为S2，△PBD的面积为S3，△PAC的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）．