专题03 半角模型-2022年决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）

专题03半角模型

一、半角模型与正方形

1.通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系．

（1）思路梳理

把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG＝∠B＝90°，得∠FDG＝180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌　  　，故EF、BE、DF之间的数量关系为　      　．

（2）类比引申

如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF＝45°．连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明．

2．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于点G，连接DG．

（1）∠EDG＝　   　°；

（2）如图2，若正方形边长为6，点E为BC的中点，连接BF．

①求线段AG的长；

②求△BEF的面积；

（3）当DE＝DG时，若令CE＝a，则BE2＝　   　（用含a的式子表示）．

3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

二．半角模型之矩形

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6，点E、F分别在BC、CD上．若DF＝2，∠EAF＝45°，则BE＝　              　．

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E，F分别在BC，CD上，若BE，∠EAF＝45°，则AF＝　             　．

6．如图,矩形ABCD，AB＝3，AD＝6．点M、N分别在边CD、BC上，AN，∠MAN＝45°，

直接写出AM的长度．

7．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝m，点E在边BC上，且BE＝2．

（1）若m＝8，点F在边DC上，且∠EAF＝45°（如图2），求DF的长；

（2）若点F在边DC上，且∠EAF＝45°，求m的取值范围．

三．半角模型之三角形

8．如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，以C为顶点的45°的角在△ABC形内旋转，角的两边交AB于点E、F，求证：EF2＝AE2+BF2．

9．已知：如图，△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB，点D、E是BC上的两点，且∠DAE＝45°，△ADC与△ADF关于直线AD对称．求证：（1）∠FAE＝∠BAE；

（2）CD2+BE2＝DE2．

四．半角模型之菱形

10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，过点A分别作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF＝60°

（1）写出BE、CF、AB之间的数量关系；

（2）如图2，当∠EAF绕着点A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，上述的结论是否成立，如成立，请证明之，若不成立，写出BE、DF、AB三者之间的关系，证明你的结论；

（3）如图3，当∠EAF绕着点A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边BC、CD的延长线相交，但不垂直，请直接写出BE、DF、AB三者之间的关系．

11．（1）如图将∠EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交CB的延长线于E，交DC的延长线于F，连接EF．若AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，∠EAF∠BAD，请直接写出EF与DF、BE之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）在（1）的前提下，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长．

①EF的长为：　 　；

②数量关系：　 　．

12．如图在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，则∠CEF的大小为　    　．

五．半角模型之综合

13．【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：　         　．

【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

【结论应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东60°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏西20°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以30海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向以50海里/小时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离．直接写出结果．

14．“半角型”问题探究：

（1）正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF＝45°，已知BE＝3，DF＝2，求正方形ABCD的边长．

拓展提高

（2）边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE＝CF＝1，O为EF的中点，动点G、H分别在边AD、BC上，EF与GH的交点P在O、F之间（与O、F不重合），且∠GPE＝45°，设AG＝m，求m的取值范围．

15．如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝（4040）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长．