专题10 数与式的经典易错题-2022年决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）

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错点1：求分式值为零时学生易忽略分母不能为零。
易错点2：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
易错点3：平方根、算术平方根、立方根的区别。填空题或选择必考。
易错点4：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。以及绝对值与数的分类。每年选择必考知识点。
易错点5：分式运算时要注意运算法则和符号的变化。当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。经典易错知识点。
易错点6：代入求值要使式子有意义。各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。(巧妙代入:先正不选负,选小不选大,能选0,则选0.)
精选易错真题:
一．相反数
1．﹣（﹣6）的相反数是（ ）
A．15B．13C．﹣6D．6
二．数轴
2．如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，且原点为O，根据图中各点位置，判断下列四个式子的值何者最大？（ ）
A．|a|+|b|B．|a|+|c|C．|a﹣c|D．|b﹣c|
3．数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（ ）
A．4B．﹣4或10C．﹣10D．4或﹣10
三．有理数的乘方
4．﹣12021＝（ ）
A．1B．﹣1C．2021D．﹣2021
四．平方根
5．一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝ ．
五．算术平方根
6．4的算术平方根是（ ）
A．±2B．2C．±2D．2
7．观察下列各式及其验证过程：
验证：223=2+23；
验证：223=233=(23-2)+222-1=2(22-1)+222-1=2+23；
验证：338=3+38；
验证：338=338=(33-3)+332-1=3(32-1)+332-1=3+38．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
六．估算无理数的大小
8．下列整数中，与10-13最接近的是（ ）
A．4B．5C．6D．7
七．实数的运算
9．计算：（5-1）0+|1-3|+3tan60°﹣22-48．
八．分数指数幂
10．一般地，如果x4＝a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±4a，若4m4=10，则m＝ ．
九．代数式求值
11．若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
十．整式的混合运算
12．4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（ ）
A．2a＝5bB．2a＝3bC．a＝3bD．a＝2b
十一．因式分解-运用公式法
13．分解因式：a4﹣16a2＝ ．
十二．因式分解的应用
14．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为 ．
15．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=pq．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=34．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；
（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
16．发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
十三．分式的值为零的条件
17．如果分式|x|-1x+1的值为0，那么x的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣1或1D．1或0
十四．分式的化简求值
18．先化简，再求值：1x+1-3-xx2-6x+9÷x2+xx-3，其中x=2．
19．先化简，再求值：（x2-2x+1x2-x+x2-4x2+2x）÷1x，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．
20．先化简，再求值：（2m-1n）÷（m2+n2mn-5nm）•（m2n+2nm+2），其中m+1+（n﹣3）2＝0．
十五．负整数指数幂
21．定义一种新运算ba n•xn﹣1dx＝an﹣bn，例如nk 2xdx＝k2﹣n2，若5mm -x﹣2dx＝﹣2，则m＝（ ）
A．﹣2B．-25C．2D．25
十六．二次根式有意义的条件
22．使得代数式1x-3有意义的x的取值范围是 ．
十七．二次根式的性质与化简
23．已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|-(a-2)2的结果是（ ）
A．3﹣2aB．﹣1C．1D．2a﹣3
十八．分母有理化
24．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如53，23，23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：53=5×33×3=533（一）
23=2×33×3=63（二）
23+1=2×(3-1)(3+1)(3-1)=2(3-1)(3)2-12=3-1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
23+1还可以用以下方法化简：
23+1=3-13+1=(3)2-123+1=(3+1)(3-1)3+1=3-1（四）
（1）请用不同的方法化简25+3．
参照（三）式得25+3= ；
参照（四）式得25+3= ．
（2）化简：13+1+15+3+17+5+⋯+12n+1+2n-1．
十九．二次根式的加减法
25．观察下列各式：
1+112+122=1+11×2，
1+122+132=1+12×3，
1+132+142=1+13×4，
……
请利用你所发现的规律，
计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+192+1102，其结果为 ．
26．已知xy＝3，那么xyx+yxy的值是 ．