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专题13 反比例函数经典-2022年决胜中考数学考前抢分冲刺(全国通用)
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这是一份专题13 反比例函数经典-2022年决胜中考数学考前抢分冲刺(全国通用),文件包含专题13反比例函数经典解析版docx、专题13反比例函数经典原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共39页, 欢迎下载使用。
P
y
M
x
0
N
图1
专题12 反比例函数经典 (解析版)
反比例函数经典考点:
一、K的妙用(注意符号)
1、反比例函数与矩形面积:
若P(x,y)为反比例函数(k≠0)图像上的任意一点,则
O
B
y
x
A
Q
图2
S矩形=k(图1)
2、反比例函数与矩形面积:
若Q(x,y)为反比例函数(k≠0)图像上的任意一点
如图2所示,过Q作QA⊥x轴于A(或作QB⊥y轴于B),
图3
连结QO,则所得三角形的面积为:S△QOA=(或S△QOB=)
二、对称性
对称性:(1)对于双曲线本身来说,
它的两个分支关于直角坐标系原点中心对称;(图3)
(2)对于k取互为相反数的两个反比例函数
图4
(如:y = 和y = 图4)它们是关于x轴,y轴对称。
图5
(3)关于y=x与y=-x成轴对称。(图5)
一.选择题
1.如图,直线y=﹣x+3与y轴交于点A,与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点C,过点C作CB⊥x轴于点B,AO=3BO,则反比例函数的解析式为( )
A.y=4x B.y=-4x C.y=2x D.y=-2x
【分析】先求出点A的坐标,然后表示出AO、BO的长度,根据AO=3BO,求出点C的横坐标,代入直线解析式求出纵坐标,用待定系数法求出反比例函数解析式.
答案详解:∵直线y=﹣x+3与y轴交于点A,
∴A(0,3),即OA=3,
∵AO=3BO,
∴OB=1,
∴点C的横坐标为﹣1,
∵点C在直线y=﹣x+3上,
∴点C(﹣1,4),
∴反比例函数的解析式为:y=-4x.
故选:B.
2.在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与反比例函数y=1x的图象有唯一公共点,若直线y=﹣x+b与反比例函数y=1x的图象有2个公共点,则b的取值范围是( )
A.b>2 B.﹣2<b<2 C.b>2或b<﹣2 D.b<﹣2
【分析】利用图象法结合对称性解决问题即可.
答案详解:由题意,当b>2时,直线y=﹣x+b与反比例函数有两个交点,
根据对称性,b<﹣2时,直线y=﹣x+b与反比例函数也有两个交点,
故满足条件的b的值为b<﹣2或b>2,
故选:C.
3.如图,在直角坐标系中,直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点,与双曲线y2=kx(x>0)交于点C,过点C作CD⊥x轴,垂足为D,且OA=AD,则以下结论:
①S△ADB=S△ADC;
②当0<x<3时,y1<y2;
③如图,当x=3时,EF=83;
④当x>0时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】对于直线解析式,分别令x与y为0求出y与x的值,确定出A与B坐标,利用AAS得到三角形OBA与三角形CDA全等,利用全等三角形对应边相等得到CD=OB,确定出C坐标,代入反比例解析式求出k的值,确定出反比例解析式,由图象判断y1<y2时x的范围,以及y1与y2的增减性,把x=3分别代入直线与反比例解析式,相减求出EF的长,即可做出判断.
答案详解:对于直线y1=2x﹣2,
令x=0,得到y=﹣2;令y=0,得到x=1,
∴A(1,0),B(0,﹣2),即OA=1,OB=2,
在△OBA和△CDA中,
∠AOB=∠ADC=90°∠OAB=∠DACOA=AD,
∴△OBA≌△CDA(ASA),
∴CD=OB=2,OA=AD=1,
∴S△ADB=S△ADC(同底等高三角形面积相等),选项①正确;
∴C(2,2),
把C坐标代入反比例解析式得:k=4,即y2=4x,
由函数图象得:当0<x<2时,y1<y2,选项②错误;
当x=3时,y1=4,y2=43,即EF=4-43=83,选项③正确;
当x>0时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小,选项④正确,
故选:C.
4.如图,点A是双曲线y=-6x在第二象限分支上的一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且∠ACB=120°,点C在第一象限,随着点A的运动,点C的位置也不断变化,但点C始终在双曲线y=kx上运动,则k的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根据题意得出△AOD∽△OCE,进而得出ADEO=DOEC=AOCO,即可得出k=EC×EO=2.
答案详解:连接CO,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,
∵连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰△ABC,且∠ACB=120°,
∴CO⊥AB,∠CAB=30°,
则∠AOD+∠COE=90°,
∵∠DAO+∠AOD=90°,
∴∠DAO=∠COE,
又∵∠ADO=∠CEO=90°,
∴△AOD∽△OCE,
∴ADEO=DOEC=AOCO=tan60°=3,则S△ADOS△COE=3,
∵点A是双曲线y=-6x在第二象限分支上的一个动点,
∴12|xy|=12AD•DO=12×6=3,
∴12k=12EC×EO=1,
则EC×EO=2.
故选:B.
5.已知函数y=-x+1(x<2)-2x(x≥2),当函数值为3时,自变量x的值为( )
A.﹣2 B.-23 C.﹣2或-23 D.﹣2或-32
【分析】根据分段函数的解析式分别计算,即可得出结论.
答案详解:若x<2,当y=3时,﹣x+1=3,
解得:x=﹣2;
若x≥2,当y=3时,-2x=3,
解得:x=-23,不合题意舍去;
∴x=﹣2,
故选:A.
6.如图,矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上,点E(1,0)和点F(0,1)在AB边上,AE=EF,连接DF,DF∥x轴,则k的值为( )
A.22 B.3 C.4 D.42
【分析】过点D作DH⊥x轴于点H,设AD交x轴于点G,得矩形OFDH,根据点E(1,0)和点F(0,1)在AB边上,AE=EF,可以求出EG和DH的长,进而可得OH的长,所以得点D的坐标,即可得k的值.
答案详解:如图,过点D作DH⊥x轴于点H,设AD交x轴于点G,
∵DF∥x轴,
∴得矩形OFDH,
∴DF=OH,DH=OF,
∵E(1,0)和点F(0,1),
∴OE=OF=1,
∴∠OEF=45°,
∴AE=EF=2,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
∵∠AEG=∠OEF=45°,
∴AG=AE=2,
∴EG=2,
∵DH=OF=1,
∠DHG=90°,∠DGH=∠AGE=45°,
∴GH=DH=1,
∴DF=OH=OE+EG+GH=1+2+1=4,
∴D(4,1),
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上,
∵k=4.
则k的值为4.
故选:C.
7.如图,平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,点D(3,2)在对角线OB上,反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过C、D两点.已知平行四边形OABC的面积是152,则点B的坐标为( )
A.(4,83) B.(92,3) C.(5,103) D.(245,165)
【分析】求出反比例函数y=6x,设OB的解析式为y=mx,由OB经过D(3,2),得出OB的解析式为y=23x,设C(a,6a),且a>0,由平行四边形的性质得BC∥OA,S平行四边形OABC=2S△OBC,则B(9a,6a),BC=9a-a,代入面积公式即可得出结果.
答案详解:∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点D(3,2),
∴2=k3,
∴k=6,
∴反比例函数y=6x,
∵OB经过原点O,
∴设OB的解析式为y=mx,
∵OB经过点D(3,2),
则2=3m,
∴m=23,
∴OB的解析式为y=23x,
∵反比例函数y=6x经过点C,
∴设C(a,6a),且a>0,
∵四边形OABC是平行四边形,
∴BC∥OA,S平行四边形OABC=2S△OBC,
∴点B的纵坐标为6a,
∵OB的解析式为y=23x,
∴B(9a,6a),
∴BC=9a-a,
∴S△OBC=12×6a×(9a-a),
∴2×12×6a×(9a-a)=152,
解得:a=2或a=﹣2(舍去),
∴B(92,3),
故选:B.
解法2:∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点D(3,2),
∴2=k3,
∴k=6,
∴反比例函数y=6x,
同上得:B(9a,6a),
∴BC=9a-a,
∵平行四边形OABC的面积是152,
∴(9a-a)×6a=152,
解得:a=2或a=﹣2(舍去),
∴B(92,3),
故选:B.
8.如图,在直角坐标系xOy中,点A,B分别在x轴和y轴,OAOB=34.∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C,与AB交于点D,反比例函数y=kx的图象过点C.当以CD为边的正方形的面积为27时,k的值是( )
A.2 B.3 C.5 D.7
【分析】设OA=3a,则OB=4a,利用待定系数法即可求得直线AB的解析式,直线CD的解析式是y=x,OA的中垂线的解析式是x=32a,解方程组即可求得C和D的坐标,根据以CD为边的正方形的面积为27,即CD2=27,据此即可列方程求得a2的值,则k即可求解.
答案详解:设OA=3a,则OB=4a,
设直线AB的解析式是y=kx+b,
则根据题意得:3ak+b=0b=4a,
解得:k=-43b=4a,
则直线AB的解析式是y=-43x+4a,
直线CD是∠AOB的平分线,则OD的解析式是y=x.
根据题意得:y=xy=-43x+4a,
解得:x=127ay=127a
则D的坐标是(127a,127a),
OA的中垂线的解析式是x=32a,则C的坐标是(32a,32a),则k=94a2.
∵以CD为边的正方形的面积为27,
∴2(127a-32a)2=27,
则a2=289,
∴k=94×289=7.
故选:D.
9.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,点A是函数y=1x(x<0)图象上一点,AO的延长线交函数y=k2x(x>0,k是不等于0的常数)的图象于点C,点A关于y轴的对称点为A′,点C关于x轴的对称点为C′,交于x轴于点B,连接AB,AA′,A′C′.若△ABC的面积等于6,则由线段AC,CC′,C′A′,A′A所围成的图形的面积等于( )
A.8 B.10 C.310 D.46
【分析】过A作AD⊥x轴于D,连接OA′,设A(a,1a),C(b,k2b),由△OAD∽△BCO,得到S△ADOS△BCO=(ODOB)2=a2b2,根据反比例函数的系数k的几何意义得到S△ADO=12,S△BOC=k22,求出k2=(ba)2,得到k=-ba,根据S△ABC=S△AOB+S△BOC=12(-1a)•b+k22=6,列出关于k的方程k2+k﹣12=0,求得k=3,由于点A关于y轴的对称点为A′,点C关于x轴的对称点为C′,得到OA′,OC′在同一条直线上,于是得到由线段AC,CC′,C′A′,A′A所围成的图形的面积=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10.
答案详解:过A作AD⊥x轴于D,连接OA′,
∵点A是函数y=1x(x<0)图象上一点,
∴设A(a,1a),
∵点C在函数y=k2x(x>0,k是不等于0的常数)的图象上,
∴设C(b,k2b),
∵AD⊥BD,BC⊥BD,
∴△OAD∽△OCB,
∴S△ADOS△BCO=(ODOB)2=a2b2,
∵S△ADO=12,S△BOC=k22,
∴k2=(ba)2,
∵S△ABC=S△AOB+S△BOC=12(-1a)•b+k22=6,
∴k2-ba=12,
①当k>0时,
k=-ba,
∴k2+k﹣12=0,
解得:k=3,k=﹣4(不合题意舍去),
②当k<0时,
k=ba,
∴k2﹣k﹣12=0,
解得:k=﹣3,k=4(不合题意舍去),
∴k2=9
∵点A关于y轴的对称点为A′,点C关于x轴的对称点为C′,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°,
∴OA′,OC′在同一条直线上,
∴S△OBC′=S△OBC=k22=92,
∵S△OAA′=2S△OAD=1,
∴由线段AC,CC′,C′A′,A′A所围成的图形的面积=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10.
故选:B.
二.填空题
10.如图,直线y=﹣3x+3与x轴交于点B,与y轴交于点A,以线段AB为边,在第一象限内作正方形ABCD,点C落在双曲线y=kx(k≠0)上,将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度,使点D恰好落在双曲线y=kx(k≠0)上,则a= 2 .
【分析】对于直线解析式,分别令x与y为0求出y与x的值,确定出A与B坐标,后根据三角形全等得出C点坐标,进而求出反比例函数的解析式,进而确定D点的坐标和D1点的坐标,即可确定出a的值.
答案详解:对于直线y=﹣3x+3,
令x=0,得到y=3;令y=0,得到x=1,即A(0,3),B(1,0),
过C作CE⊥x轴,交x轴于点E,过A作AF∥x轴,过D作DF垂直于AF于F,如图所示,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠OAB+∠ABO=90°,∠ABO+∠EBC=90°,
∴∠OAB=∠EBC,
在△AOB和△BEC中,
∠AOB=∠BEC=90°∠OAB=∠EBCAB=BC,
∴△AOB≌△BEC(AAS),
∴BE=AO=3,CE=OB=1,
∴C(4,1),
把C坐标代入反比例解析式得:k=4,即y=4x,
同理得到△DFA≌△BOA,
∴DF=BO=1,AF=AO=3,
∴D(3,4),
把y=4代入反比例解析式得:x=1,即D1(1,4),
则将正方形ABCD沿x轴负方向平移2个单位长度,使点D恰好落在双曲线y=kx(k≠0)上的点D1处,即a=2,
故答案为:2.
11.如图,已知点A1,A2,…,An均在直线y=x﹣1上,点B1,B2,…,Bn均在双曲线y=-1x上,并且满足:A1B1⊥x轴,B1A2⊥y轴,A2B2⊥x轴,B2A3⊥y轴,…,AnBn⊥x轴,BnAn+1⊥y轴,…,记点An的横坐标为an(n为正整数).若a1=﹣1,则a2015= 2 .
【分析】首先根据a1=﹣1,求出a2=2,a3=12,a4=﹣1,a5=2,…,所以a1,a2,a3,a4,a5,…,每3个数一个循环,分别是﹣1、2、12;然后用2015除以3,根据商和余数的情况,判断出a2015是第几个循环的第几个数,进而求出它的值是多少即可.
答案详解:∵a1=﹣1,
∴B1的坐标是(﹣1,1),
∴A2的坐标是(2,1),
即a2=2,
∵a2=2,
∴B2的坐标是(2,-12),
∴A3的坐标是(12,-12),
即a3=12,
∵a3=12,
∴B3的坐标是(12,﹣2),
∴A4的坐标是(﹣1,﹣2),
即a4=﹣1,
∵a4=﹣1,
∴B4的坐标是(﹣1,1),
∴A5的坐标是(2,1),
即a5=2,
…,
∴a1,a2,a3,a4,a5,…,每3个数一个循环,分别是﹣1、2、12,
∵2015÷3=671…2,
∴a2015是第672个循环的第2个数,
∴a2015=2.
故答案为:2.
12.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上,点A在第一象限,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过OA的中点C.交AB于点D,连接CD.若△ACD的面积是2,则k的值是 83 .
【分析】作辅助线,构建直角三角形,利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE=S△OBD=12k,根据OA的中点C,利用△OCE∽△OAB得到面积比为1:4,代入可得结论.
答案详解:连接OD,过C作CE∥AB,交x轴于E,
∵∠ABO=90°,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过OA的中点C,
∴S△COE=S△BOD=12k,S△ACD=S△OCD=2,
∵CE∥AB,
∴△OCE∽△OAB,
∴S△OCES△OAB=14,
∴4S△OCE=S△OAB,
∴4×12k=2+2+12k,
∴k=83,
故答案为:83.
13.如图,在平面直角坐标系中,已知A(﹣1,0),B(0,2),将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC,若反比例函数y=kx(x<0)的图象经过点C,则k= -3225 .
【分析】由A(﹣1,0),B(0,2),可知OA,OB,由折叠得OA=AC=1,OB=BC=2,要求k的值只要求出点C的坐标即可,因此过点C作垂线,构造相似三角形,得出线段之间的关系,设合适的未知数,在直角三角形中由勾股定理,解出未知数,进而确定点C的坐标,最终求出k的值.
答案详解:过点C作CD⊥x轴,过点B作BE⊥y轴,与DC的延长线相交于点E,
由折叠得:OA=AC=1,OB=BC=2,
∵∠E=∠CDA=∠ACB=90°,
∴∠ECB+∠EBC=90°,∠ECB+∠ACD=90°,
∴∠EBC=∠ACD,
∴△ACD∽△CBE,
∴CDBE=ACBC=12,
设CD=m,则BE=2m,CE=2﹣m,AD=2m﹣1
在Rt△ACD中,由勾股定理得:AD2+CD2=AC2,
即:m2+(2m﹣1)2=12,解得:m1=45,m2=0(舍去);
∴CD=45,BE=OD=85,
∴C(-85,45)代入y=kx得,k=-85×45=-3225,
故答案为:-3225
三.解答题
14.如图,已知直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18=0的一个根,OB=12OA.请解答下列问题:
(1)求点A,B的坐标;
(2)直线EF交x轴负半轴于点E,交y轴正半轴于点F,交直线AB于点C.若C是EF的中点,OE=6,反比例函数y=kx图象的一支经过点C,求k的值;
(3)在(2)的条件下,过点C作CD⊥OE,垂足为D,点M在直线AB上,点N在直线CD上.坐标平面内是否存在点P,使以D,M,N,P为顶点的四边形是正方形?若存在,请写出点P的个数,并直接写出其中两个点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)解一元二次方程,得到点A的坐标,再根据OB=12OA可得点B坐标;
(2)利用待定系数法求出直线AB的表达式,根据点C是EF的中点,得到点C横坐标,代入可得点C坐标,根据点C在反比例函数图象上求出k值;
(3)画出图形,可得点P共有5个位置,分别求解即可.
答案详解:(1)∵线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18=0的一个根,
解得:x=9或﹣2(舍),而点A在x轴正半轴上,
∴A(9,0),
∵OB=12OA,
∴B(0,92),
(2)∵OE=6,
∴E(﹣6,0),
设直线AB的表达式为y=kx+b,将点A和B的坐标代入,
得:0=9k+b92=b,解得:k=-12b=92,
∴AB的表达式为:y=-12x+92,
∵点C是EF的中点,
∴点C的横坐标为﹣3,代入AB中,y=6,
则C(﹣3,6),
∵反比例函数y=kx经过点C,
则k=﹣3×6=﹣18;
(3)存在点P,使以D,M,N,P为顶点的四边形是正方形,
如图,共有5种情况,
在四边形DM1P1N1中,
M1和点A重合,
∴M1(9,0),
此时P1(9,12);
在四边形DP3M3N3中,可知M在直线y=x+3上,
联立:y=x+3y=-12x+92,
解得:x=1y=4,
∴M(1,4),
∴P3(1,0),
同理可得:P2(9,﹣12),P4(﹣7,4),P5(﹣15,0).
故存在点P使以D,M,N,P为顶点的四边形是正方形,
点P的坐标为P1(9,12),P2(9,﹣12),P3(1,0),P4(﹣7,4),P5(﹣15,0).
15.模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下:
(1)建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为4,得xy=4,即y=4x;由周长为m,得2(x+y)=m,即y=﹣x+m2.满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标.
(2)画出函数图象
函数y=4x(x>0)的图象如图所示,而函数y=﹣x+m2的图象可由直线y=﹣x平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y=﹣x.
(3)平移直线y=﹣x,观察函数图象
①当直线平移到与函数y=4x(x>0)的图象有唯一交点(2,2)时,周长m的值为 8 ;
②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.
(4)得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具,则周长m的取值范围为 m≥8 .
【分析】(1)x,y都是边长,因此,都是正数,即可求解;
(2)直接画出图象即可;
(3)①把点(2,2)代入y=﹣x+m2即可求解;②在直线平移过程中,交点个数有:0个、1个、2个三种情况,联立y=4x和y=﹣x+m2并整理得:x2-12mx+4=0,即可求解;
(4)由(3)可得.
答案详解:(1)x,y都是边长,因此,都是正数,
故点(x,y)在第一象限,
答案为:一;
(2)图象如下所示:
(3)①把点(2,2)代入y=﹣x+m2得:
2=﹣2+m2,解得:m=8,
②由①知:0个交点时,0<m<8;2个交点时,m>8(1个交点时,m=8);
(4)联立y=4x和y=﹣x+m2并整理得:x2-12mx+4=0,
△=14m2﹣4×4≥0时,两个函数有交点,
解得:m≥8.
16.已知一次函数y1=kx+n(n<0)和反比例函数y2=mx(m>0,x>0).
(1)如图1,若n=﹣2,且函数y1、y2的图象都经过点A(3,4).
①求m,k的值;
②直接写出当y1>y2时x的范围;
(2)如图2,过点P(1,0)作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B,与反比例函数y3=nx(x>0)的图象相交于点C.
①若k=2,直线l与函数y1的图象相交点D.当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时,求m﹣n的值;
②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交于点E.当m﹣n的值取不大于1的任意实数时,点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值.求此时k的值及定值d.
【分析】(1)①将点A的坐标代入一次函数表达式即可求解,将点A的坐标代入反比例函数表达式,即可求解;②由图象可以直接看出;
(2)①BD=|2+n﹣m|,BC=|m﹣n|,DC=|2+n﹣n|=2,由BD=BC或BD=DC或BC=CD或B与D重合时得:m﹣n=1或4或2,即可求解;②点E的坐标为(m-nk,m),d=BC+BE=m﹣n+(1-m-nk)=1+(m﹣n)(1-1k),即可求解.
答案详解:(1)①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得:k=2,
将点A的坐标代入反比例函数得:m=3×4=12;
②由图象可以看出x>3时,y1>y2;
(2)①当x=1时,点D、B、C的坐标分别为(1,2+n)、(1,m)、(1,n)(C在D的下方),
当B为中点时,
则BD=BC,即2+n﹣m=m﹣n,
则 m﹣n=1;
当D为中点时,
则 DB=DC,即m﹣(2+n)=2+n﹣n,
故m﹣n=4,
当C为中点时,因为点C一定在点D的下方,故这种情况不存在;
当B与D重合时,C到B,D的距离相等,
则m=n+2,即m﹣n=2,
∴m﹣n=1或4或2.
②点E的横坐标为:m-nk,
当点E在点B左侧时,
d=BC+BE=m﹣n+(1-m-nk)=1+(m﹣n)(1-1k),
m﹣n的值取不大于1的任意数时,d始终是一个定值,
当1-1k=0时,此时k=1,从而d=1.
当点E在点B右侧时,
同理BC+BE=(m﹣n)(1+1k)﹣1,
当1+1k=0,k=﹣1时,(不合题意舍去)
故k=1,d=1.
17.如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,等腰△OAB的边OB与反比例函数y=mx(m>0)的图象相交于点C,其中OB=AB,点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为(2,4),过点C作CH⊥x轴于点H.
(1)已知一次函数的图象过点O,B,求该一次函数的表达式;
(2)若点P是线段AB上的一点,满足OC=3AP,过点P作PQ⊥x轴于点Q,连接OP,记△OPQ的面积为S△OPQ,设AQ=t,T=OH2﹣S△OPQ
①用t表示T(不需要写出t的取值范围);
②当T取最小值时,求m的值.
【分析】(1)将点O、B的坐标代入一次函数表达式:y=kx,即可求解;
(2)①sin∠APQ=QAPA=ta=sinα=15,则PA=a=5t,则点C(3t,23t),T=OH2﹣S△OPQ=(OC•sinα)2-12×(4﹣t)×2t=4t2﹣4t;②当t=12时,T取得最小值,而点C(3t,23t),即可求解.
答案详解:(1)将点O、B的坐标代入一次函数表达式:y=kx得:4=2k,
解得:k=2,
故一次函数表达式为:y=2x,
(2)①过点B作BM⊥OA,
则∠OCH=∠QPA=∠OAB=∠ABM=α,
则tanα=12,sinα=15,
∵OB=AB,则OM=AM=2,则点A(4,0),
设:AP=a,则OC=3a,
在△APQ中,sin∠APQ=QAPA=ta=sinα=15,
同理PQ=ttanα=2t,
则PA=a=5t,OC=15t,
则点C(3t,23t),
T=OH2﹣S△OPQ=(OC•sinα)2-12×(4﹣t)×2t=4t2﹣4t,
②∵4>0,∴T有最小值,当t=12时,
T取得最小值,
而点C(3t,23t),
故:m=3t×23t=32.
18.定义:点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外),在△PAB,△PBC,△PCA中,若至少有一个三角形与△ABC相似,则称点P是△ABC的自相似点.
例如:如图1,点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠BCP=∠ABC,则△BCP∽△ABC,故点P是△ABC的自相似点.
请你运用所学知识,结合上述材料,解决下列问题:
在平面直角坐标系中,点M是曲线y=33x(x>0)上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点.
(1)如图2,点P是OM上一点,∠ONP=∠M,试说明点P是△MON的自相似点;当点M的坐标是(3,3),点N的坐标是(3,0)时,求点P的坐标;
(2)如图3,当点M的坐标是(3,3),点N的坐标是(2,0)时,求△MON的自相似点的坐标;
(3)是否存在点M和点N,使△MON无自相似点?若存在,请直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)由∠ONP=∠M,∠NOP=∠MON,得出△NOP∽△MON,证出点P是△MON的自相似点;过P作PD⊥x轴于D,则tan∠POD=MNON=3,求出∠AON=60°,由点M和N的坐标得出∠MNO=90°,由相似三角形的性质得出∠NPO=∠MNO=90°,在Rt△OPN中,由三角函数求出OP=32,OD=34,PD=34,即可得出答案;
(2)作MH⊥x轴于H,由勾股定理求出OM=23,直线OM的解析式为y=33x,ON=2,∠MOH=30°,分两种情况:①作PQ⊥x轴于Q,由相似点的性质得出PO=PN,OQ=12ON=1,求出P的纵坐标即可;
②求出MN=(3)2+12=2,由相似三角形的性质得出PNON=MNMO,求出PN=233,在求出P的横坐标即可;
(3)证出OM=23=ON,∠MON=60°,得出△MON是等边三角形,由点P在△MON的内部,得出∠PON≠∠OMN,∠PNO≠∠MON,即可得出结论.
答案详解:(1)∵∠ONP=∠M,∠NOP=∠MON,
∴△NOP∽△MON,
∴点P是△MON的自相似点;
过P作PD⊥x轴于D,则tan∠POD=MNON=3,
∴∠MON=60°,
∵当点M的坐标是(3,3),点N的坐标是(3,0),
∴∠MNO=90°,
∵△NOP∽△MON,
∴∠NPO=∠MNO=90°,
在Rt△OPN中,OP=ONcos60°=32,
∴OD=OPcos60°=32×12=34,PD=OP•sin60°=32×32=34,
∴P(34,34);
(2)作MH⊥x轴于H,如图3所示:
∵点M的坐标是(3,3),点N的坐标是(2,0),
∴OM=32+(3)2=23,直线OM的解析式为y=33x,ON=2,∠MOH=30°,
分两种情况:
①如图3所示:∵P是△MON的相似点,
∴△PON∽△NOM,作PQ⊥x轴于Q,
∴PO=PN,OQ=12ON=1,
∵P的横坐标为1,
∴y=33×1=33,
∴P(1,33);
②如图4所示:
由勾股定理得:MN=(3)2+12=2,
∵P是△MON的相似点,
∴△PNM∽△NOM,
∴PNON=MNMO,即PN2=223,
解得:PN=233,
即P的纵坐标为233,代入y=33得:233=33x,
解得:x=2,
∴P(2,233);
综上所述:△MON的自相似点的坐标为(1,33)或(2,233);
(3)存在点M和点N,使△MON无自相似点,M(3,3),N(23,0);理由如下:
∵M(3,3),N(23,0),
∴OM=23=ON,∠MON=60°,
∴△MON是等边三角形,
∵点P在△MON的内部,
∴∠PON≠∠OMN,∠PNO≠∠MON,
∴存在点M和点N,使△MON无自相似点.
19.如图,直线AB与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于A,B两点,已知点A的坐标为(6,1),△AOB的面积为8.
(1)填空:反比例函数的关系式为 y=6x ;
(2)求直线AB的函数关系式;
(3)动点P在y轴上运动,当线段PA与PB之差最大时,求点P的坐标.
【分析】(1)将点A坐标(6,1)代入反比例函数解析式y=kx,求出k的值即可;
(2)过点A作AC⊥x轴于点C,过B作BD⊥y轴于D,延长CA,DB交于点E,则四边形ODEC是矩形,设B(m,n),根据△AOB的面积为8,得3n-12m=8,得方程3n2﹣8n﹣3=0,解出可得B的坐标,利用待定系数法可得AB的解析式;
(3)如图,根据“三角形两边之差小于第三边”可知:当点P为直线AB与y轴的交点时,PA﹣PB有最大值是AB,可解答.
答案详解:(1)将点A坐标(6,1)代入反比例函数解析式y=kx,
得k=1×6=6,
则y=6x,
故答案为:y=6x;
(2)过点A作AC⊥x轴于点C,过B作BD⊥y轴于D,延长CA,DB交于点E,则四边形ODEC是矩形,
设B(m,n),
∴mn=6,
∴BE=DE﹣BD=6﹣m,AE=CE﹣AC=n﹣1,
∴S△ABE=12AE⋅BE=12(n-1)(6-m),
∵A、B两点均在反比例函数y=kx(x>0)的图象上,
∴S△BOD=S△AOC=12×6×1=3,
∴S△AOB=S矩形ODEC﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE=6n﹣3﹣3-12(n-1)(6-m)=3n-12m,
∵△AOB的面积为8,
∴3n-12m=8,
∴m=6n﹣16,
∵mn=6,
∴3n2﹣8n﹣3=0,
解得:n=3或-13(舍),
∴m=2,
∴B(2,3),
设直线AB的解析式为:y=kx+b,
则6k+b=12k+b=3,解得:k=-12b=4,
∴直线AB的解析式为:y=-12x+4;
(3)如图,根据“三角形两边之差小于第三边”可知:
当点P为直线AB与y轴的交点时,PA﹣PB有最大值是AB,
把x=0代入y=-12x+4中,得:y=4,
∴P(0,4).
20.如图,一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=kx(k为常数且k≠0)的图象相交于A(﹣1,m),B两点.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0),使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点,求b的值.
【分析】(1)根据一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=kx(k为常数且k≠0)的图象相交于A(﹣1,m),可得m=4,进而可求反比例函数的表达式;
(2)根据一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0),可得y=x+5﹣b,根据平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点,联立方程根据判别式=0即可求出b的值.
答案详解:(1)∵一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=kx(k为常数且k≠0)的图象相交于A(﹣1,m),
∴m=4,
∴k=﹣1×4=﹣4,
∴反比例函数解析式为:y=-4x;
(2)∵一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0),
∴y=x+5﹣b,
∵平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点,
∴x+5﹣b=-4x,
∴x2+(5﹣b)x+4=0,
∵△=(5﹣b)2﹣16=0,
解得b=9或1,
答:b的值为9或1.
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