2022年 人教版数学中考第一轮专题训练 矩形、菱形和正方形

这是一份2022年 人教版数学中考第一轮专题训练 矩形、菱形和正方形，共10页。

　矩形、菱形和正方形
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
命题点1　矩形的判定与性质
1．(2021·广东广州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE＋EF的值为（ ）

A． B． C． D．
2．(2021·山东枣庄)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
　　　
3．(2021·山东青岛)如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（ ）
A． B．
C．2 D．4
命题点2　菱形的判定与性质
4．(2021·贵州贵阳)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A．5 B．20
C．24 D．32
5．(2021·内蒙古通辽)如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（ ）
A．∠BAC＝90° B．∠DAE＝90°
C．AB＝AC D．AB＝AE
　　　
6．(2021·黑龙江哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为 ．
命题点3　正方形的判定与性质
7．(2021·江苏镇江)如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 _°.
　　　　
8．(2021·山东滨州)如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A，B，C的距离分别为2，，4，则正方形ABCD的面积为_ _．
9．(2021·山东枣庄)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 _．

命题点4　四边形综合问题
10．(2021·浙江绍兴)如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）

A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
11．(2021·湖北襄阳)已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
12．(2021·内蒙古鄂尔多斯)如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：

①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°.
以上结论正确的有 _．(把所有正确结论的序号都填上)


课后练习
1．(2021·甘肃金昌)如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（ ）
A．90° B．100°
C．120° D．150°
　　　　
2．(2021·黑龙江牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（ ）
A．(0，2) B．(2，－4)
C．(2，0) D．(0，2)或(0，－2)
3．(2021·江苏连云港)如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为(3，9)，(12，9)，则顶点A的坐标为_ _．
　　
4．(2021·辽宁沈阳)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为E，线段PE与OD相交于点F.若△PDF为直角三角形，则DP的长为 _．
5．(2021·新疆生产建设兵团)如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF.
(1)求证：AE＝CF.
(2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．







6．(2021·北京)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.

(1)求证：四边形OEFG是矩形．
(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．











7．(2019·北京)如图1，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF.
(1)求证：AC⊥EF.
(2)如图2，在图1的基础上，延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD＝4，tanG＝，求AO的长．













8．(2021·贵州安顺)如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE.
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形．
(2)连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．






















矩形、菱形和正方形
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
命题点1　矩形的判定与性质
1．(2021·广东广州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE＋EF的值为(　C　)

A． B． C． D．
2．(2021·山东枣庄)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是(　D　)
A．3 B．4 C．5 D．6
　　　
3．(2021·山东青岛)如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE＝5，BF＝3，则AO的长为(　C　)
A． B．
C．2 D．4
命题点2　菱形的判定与性质
4．(2021·贵州贵阳)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是(　B　)
A．5 B．20
C．24 D．32
5．(2021·内蒙古通辽)如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是(　A　)
A．∠BAC＝90° B．∠DAE＝90°
C．AB＝AC D．AB＝AE
　　　
6．(2021·黑龙江哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为__2__．
命题点3　正方形的判定与性质
7．(2021·江苏镇江)如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为__135__°.
　　　　
8．(2021·山东滨州)如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A，B，C的距离分别为2，，4，则正方形ABCD的面积为__14＋4__．
9．(2021·山东枣庄)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是__8__．

命题点4　四边形综合问题
10．(2021·浙江绍兴)如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为(　B　)

A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
11．(2021·湖北襄阳)已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是(　B　)
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
12．(2021·内蒙古鄂尔多斯)如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：

①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°.
以上结论正确的有__①②④__．(把所有正确结论的序号都填上)






课后练习
1．(2021·甘肃金昌)如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是(　C　)
A．90° B．100°
C．120° D．150°
　　　　
2．(2021·黑龙江牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是(　D　)
A．(0，2) B．(2，－4)
C．(2，0) D．(0，2)或(0，－2)
3．(2021·江苏连云港)如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为(3，9)，(12，9)，则顶点A的坐标为__(15，3)__．
　　
4．(2021·辽宁沈阳)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为E，线段PE与OD相交于点F.若△PDF为直角三角形，则DP的长为__1或__．
5．(2021·新疆生产建设兵团)如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF.
(1)求证：AE＝CF.
(2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠BCF.
∵DE∥BF，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠AED＝∠CFB.
在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴AE＝CF.
(2)证明：由(1)知△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∵BE＝DE，
∴四边形EBFD为菱形．
6．(2021·北京)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.

(1)求证：四边形OEFG是矩形．
(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，即O是BD的中点．
∵E是AD的中点，
∴OE是△DAB的中位线，
∴OE∥AB.
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形．
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG是矩形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝10.
由(1)知OE是△DAB的中位线，
∴OE＝AB＝5.
由(1)知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5.
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2.
7．(2019·北京)如图1，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF.
(1)求证：AC⊥EF.
(2)如图2，在图1的基础上，延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD＝4，tanG＝，求AO的长．

解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，AC平分∠BAD.
∵BE＝DF，
∴AB－BE＝AD－DF，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形．
∵AC平分∠BAD，
∴AC⊥EF.
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
由(1)知AC⊥EF，
∴BD∥EF.
又∵BD＝4，tanG＝，
∴tan∠ODC＝tanG＝＝＝，
∴OC＝1，
∴AO＝AC＝OC＝1.
8．(2021·贵州安顺)如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE.
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形．
(2)连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°.
在Rt△ABE中，AE＝＝＝2.
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE.
∵∠B＝∠AED＝90°，
∴△ABE∽△DEA，
∴＝，
∴AD＝＝10，
∴S四边形AEFD＝AB×AD＝4×10＝40.