北师大版 (2019)5.1 向量的数量积达标测试

2.5.1　向量的数量积

1.(2020山东高一月考)若|a|=4，|b|=2，a和b的夹角为120°，则a在b方向上的投影数量为(　　)

A.-2 B. C.-2 D.2

【解析】因为|a|=4，|b|=2，a和b的夹角为120°，所以a在b方向上的投影数量为|a|cos<a，b>=4×cos 120°=-2.故选A.

【答案】A

2.(2019北京高一期末)已知矩形ABCD中，AB=2，BC=1，则=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】由

向量的投影的几何意义及图象可知:

方向上的投影数量为||=2，故=||2=4.故选D.

【答案】D

3.(2019北京十五中高三期中)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)

A.充分而不必要条件 

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 

D.既不充分也不必要条件

【解析】若存在负数λ，使m=λn，则两向量m，n反向，夹角是180°，此时m·n=|m||n|cos 180°=-|m||n|<0;若m·n<0，则两向量的夹角为(90°，180°]，并不一定反向，所以是充分而不必要条件.故选A.

【答案】A

4.(2019山东济南一中高三期中)已知等边三角形ABC的边长为1，设=a，=b，=c，那么a·b+b·c+c·a=(　　)

A.3 B.-3 C. D.-

【解析】a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+1×1×cos 120°+1×1×cos 120°=-.故选D.

【答案】D

5.(多选)对任意平面向量a，b，c，下列说法正确的是(　　)

A.若a·b=b·c，则a=c

B.若a=b，b=c，则a=c

C.|a|-|b|<|a|+|b|

D.|a·b|≤|a||b|

【解析】对于A，反例b=0，则a与c不一定相等，所以A不正确;

由向量相等的充要条件，可知B正确;

对于C，若b=0，则不等式不成立，所以C不正确;

|a·b|=|a||b||cos<a，b>|≤|a||b|，所以D正确.故选BD.

【答案】BD

6.已知△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边的高.

(1)若P为线段OC的中点，则=　　　　　; 

(2)若P为线段OC上的动点，则的取值范围为　　　　. 

【解析】(1)=-·=-|2=-.

(2)设=λ(0≤λ≤1)，

=-λ+λ2||2=-，所以取值范围是-，0.

【答案】(1)-　(2)-，0

7.(2020山东微山第二中学高一月考)已知向量a，b的夹角为，|a|=1，|b|=2.

(1)求a·b的值;

(2)若2a-b和ta+b垂直，求实数t的值.

解(1)a·b=|a||b|cos=1×2×-=-1.

(2)因为2a-b和ta+b垂直，

所以(2a-b)·(ta+b)=0，

整理得2t|a|2+(2-t)a·b-|b|2=0，

即2t-(2-t)-4=0，

解得t=2.

1.(2019山东鄄城第一中学高一月考)在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，AD=，则=(　　)

A.-1 B.1 

C. D.2

【解析】因为四边形ABCD为直角梯形，所以方向上的投影数量为，

由数量积的几何意义可知，=()2=2.故选D.

【答案】D

2.(2019陕西高三(文))在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足=2，则·()等于(　　)

A. B.- C. D.-

【解析】因

为M是BC的中点，所以AM是BC边上的中线.

又点P在AM上且满足=2，

所以P是△ABC的重心，

所以·()

==-||2.

因为AM=1，所以||=，

所以·()=-.故选B.

【答案】B

3.(2020海南高三)在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点E为BC的中点，过点E作EF⊥BC交AC所在直线于点F，则向量在向量方向上的投影数量为(　　)

A.2 B. C.1 D.3

【解析】因为点E为BC的中点，

所以)+.

又因为EF⊥BC，

所以)·)·()=)=12，所以向量在向量方向上的投影数量为=2.故选A.

【答案】A

4.(2020天津静海一中高一月考)如图，在△ABC中，AD⊥AB，，||=2，则= (　　)

A.2 B.4

C.3 D.

【解析】根据向量的线性运算，结合平面向量数量积的定义可得=()·

=，

由AD⊥AB，可知=0，

又因为，||=2，

所以

=|·||·cos∠ADB

=×2×||×=4.故选B.

【答案】B

5.(2020甘肃天水第一中学高三月考(文))已知e1，e2为单位向量且夹角为，设a=e1+e2，b=e2，则a在b方向上的投影数量为　　　　　　　　　. 

【解析】由题可知|e1|=|e2|=1，<e1，e2>=，

因为a·b=(e1+e2)·e2=e1·e2+e2·e2=+1=，

|b|=1，所以a在b方向上的投影数量为

|a|cos<a，b>=.

【答案】

6.(2020山东高三开学考试)如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若，且点D在圆C上，则=　　　　. 

【解析】因为，所以四边形ABDC为平行四边形.又AC=CD=CB=r，所以∠CAB=60°，

所以=r×r×cos 60°=.

【答案】

7.(多选)下列说法中正确的是(　　)

A.若非零向量a，b满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角为30°

B.若a·b>0，则a，b的夹角为锐角

C.若，则△ABC一定是直角三角形

D.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若=2，且||=||，则向量在向量方向上的投影数量为

【解析】对于A，由向量减法法则及题意知，向量a，b，a-b可以组成一个等边三角形，向量a，b的夹角为60°，又由向量加法的平行四边形法则知，以a，b为邻边的平行四边形为菱形，所以a与a+b的夹角为30°，故选项A中说法正确.

对于B，当a=b≠0时不成立，故选项B中说法错误.

对于C，因为，

所以·()-，所以=0，即，

所以△ABC是直角三角形，故选项C中说法正确.

对于D，如图，其中四边形ABDC为平行四边形，

因为=2，所以O为AD，BC的交点，又||=||=||，所以△AOC为等边三角形，

所以∠ACB=60°，且BC为外接圆的直径，所以∠ABC=30°.在直角三角形ABC中，BC=2，AC=1，所以AB=，则向量在向量方向上的投影数量为||cos∠ABC=.故选项D中说法正确.

故选ACD.

【答案】ACD