华师大版八年级下册2. 矩形的判定教学设计

19．1．2 矩形的判定（1）教学设计

【知识与技能】

1.理解并掌握矩形的判定方法．

2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.

【过程与方法】

通过探索矩形判定的过程，经历探索、猜想、证明的过程；形成几何分析思路和方法.

【情感态度】

培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要.

【教学重点】

理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用.

【教学难点】

判定定理的证明方法及运用.

【教学过程】

一、情境导入

通过名人名言引入数学故事，激发学生学习数学的兴趣。

二、回忆复习

1.什么叫做矩形？(学生齐答）

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

师：前面我们在学习平行四边形时已经知道定义的双重性，既是性质，又是判定。

2.矩形有哪些性质？（互相说一说）

三、思考探究，获取新知

（一）、前面我们是如何探究平行四边形的判定方法的？

(师学共同回忆探究平行四边形的判定方法：逆向思考，先对性质定理的逆命题的真假进行猜想，再利用图形验证，最后进行演绎证明。)

（二）、类比探究平行四边形判定的方法来探究矩形的判定方法。

【矩形判定定理1】：有三个角是直角的四边形是矩形。

思考：1.矩形的性质定理1是矩形的四个角都是直角，它的逆命题是什么？（有四个角是直角的四边形是矩形）。

2. 一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？（三个）请证明你的结论，并与同伴交流.

猜想：有三个角是直角的四边形是矩形

已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.

求证:四边形ABCD是矩形.

证明:

∵ ∠A=∠B=∠C=90°,

∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°

∴AD∥BC,AB∥CD

∴四边形ABCD是平行四边形

∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

归纳结论:有三个角是直角的四边形是矩形.

【矩形判定定理2】：对角线相等的平行四边形是矩形

思考：1.矩形的性质定理2是平行四边形的对角线相等，它的逆命题是什么？

2.       这个逆命题是真命题吗？你如何判断？（举反例）
3.       你觉得给它加一个什么条件可以使它是真命题？并加以证明。

猜想：对角线相等的平行四边形是矩形

已知:四边形ABCD是平行四边形,AC=BD

求证:四边形ABCD是矩形

证明：在  ABCD中

AB=DC,BD=CA,AD=DA

∴△BAD≌△CDA(SSS)

∴∠BAD=∠CDA

∵AB∥CD

∴∠BAD +∠CDA=180°

∴∠BAD＝90°

∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行

四边形是矩形）

【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形

四、运用新知，深化理解

（一）生活中的数学

如图，工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行：

(1)先截出两对符合规格的铝合金窗(如图①)使AB=CD、 EF=GH；

(2)摆放成(如图②)的四边形，则这时窗框的形状是                ，根据的数学道理是 _____.                              

(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格,这时窗框是               ，根据的数学道理是________________       .                

（二）课堂训练

1.如图1，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是                       

2. 如图2，在四边形ABCD中，已知AB⁄⁄CD,AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需在加上的一个条件是

     3.如图3，下列条件不能判定四边

形ABCD是矩形的是（    ）.

1. ∠ DAB= ∠ ABC= ∠ BCD=90°

B.AB   CD, AB⊥AD

2. AO=BO, CO=DO
3. AO=BO=CO=DO

4.判断

（1）对角线相等的四边形是矩形。

（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

（3）有一个角是直角的四边形是矩形。

（4）四个角都是直角的四边形是矩形。

（5）四个角都相等的四边形是矩形。

（6）对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。

（7）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。

5.下列说法正确的是（  ）

A.一组对边平行且相等的四边形是矩形

B.一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形

D.一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形

分析：矩形的判定定理有：

（1）对角线相等的平行四边形是矩形

（2）有三个角是直角的四边形是矩形；据此判断．

解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；

B、一组对边平行且相等有一个是直角的四边形是矩形，也有可能为梯形,故B错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），故C错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D正确．

【教学说明】学生口答展示第1、2道题，训练学生的语言表达能力，

（三）能力提升

1.如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H，试说明四边形EFGH是矩形．

解：∵∠HAB+∠HBA=90°

∴∠H=90°

同理可求得∠HEF=∠F=∠FGH=90°

∴四边形EFGH是矩形．

2.（一题多解题）如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上的一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F，则有PE+PF=CD，你能说明为什么吗？

解法一：能．如图所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H,

可得四边形PHDE是矩形

∴PE=DH，PH∥BD

∴∠HPC=∠B

又∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠HPC=∠FCP．

又∵PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°

∴△PHC≌△CFP

∴PF=HC

∴DH+HC=PE+PF

即：DC=PE+PF．

解法二：能．延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为H，如图所示，

∵可得四边形HEDC是矩形

∴EH=PE+PH=DC，CH∥AB

∴∠HCP=∠B．

∴△PHC≌△PFC

∴PH=PF

∴PE+PF=DC．

【教学说明】到黑板展示第3、4道题，有多种证明方法的题目学生口答展示，教师予以总结.既训练了学生的语言表达能力，也训练了学生的书写能力和分析问题的能力.

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾矩形有哪些判定定理？

2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

五、布置作业:

1.教材“习题19.1”中的第1、2、3、5题.

2.完成本课时对应练习.

课后反思：

本节课用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知，操作说明而得到的矩形判定进行重新研究，让学生充分感受到逻辑推理是研究几何的重要方法.尽可能地提供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验，从而加深学生对数学的认识，激发学生的数学兴趣，提高学生的数学水平。

板书设计：

矩形判定

一个角是直角的平行四边形

对角线相等的平行四边形   —是矩形。

有三个角是直角的四边形