初中数学鲁教版 (五四制)八年级下册6 黄金分割练习题

第九章  图形的相似

6  黄金分割

知识梳理

一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的_________，AC与AB的比叫做___________.

基础练习

1.生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b为2米，则a约为(   )

A.1.24米           B.1.38米           C.1.42米            D.1.62米

2.张婷同学将一根绳子进行黄金分割，分割后较短绳子的长度为米，则这根绳子的总长度为(   )

A.1米           B.1.5米          C.2米           D.4米

3.如图，C是AB的黄金分割点(AC＞BC)，BG=AB，以AC为边的正方形的面积为S1，以BC，BG为边的矩形的面积为S2，则S1与S2的大小关系为(   )

             D.无法判断

4.如图，线段AB=10cm，用尺规作图法按如下步骤作图：

(1)过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC=

(2)连接AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AC于点E；以点A为圆心，AE长为半径画弧，交AB于点D，则D为线段AB的黄金分割点.那么线段AD的长度约为_______ cm(结

果精确到0.01cm，参考数据：

5.如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即BE交DC于点F.若求CF的长.

6.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.

(1)求证：D是线段AC的黄金分割点；

(2)求线段AD的长.

巩固提高

7.如图，在△ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD.若D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是(   )

A. 22.5°        B.30°          C.36°         D.45°

第7题图            第8题图

8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD，AE将∠BAC平均分成三份，且分别交边BC于点D，E，则下列结论错误的是(   )

                       B.D是线段BC的黄金分割点

C.E是线段BC的黄金分割点         D.E是线段CD的黄金分割点

9.如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，若D，E是边BC的两个黄金分割点，则△ADE的面积为(   )

10.如果一个矩形的宽与长之比是那么将这个矩形称为黄金矩形.如图，矩形ABCD是黄金矩形，E，F，G，H分别为线段AD，BC，AB，EF的中点，则图中黄金矩形的个数是__________.

                         第10题图           第11题图

11.如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M.给出下列结论：①点D，M所在

直线是该正五边形的一条对称轴；②ME=AB；③四边形CDEM是菱形；④M是线段AC的一个黄金分割点，即其中，正确的是＿_________（填序号）.

12.数学课上，神奇而有魔力的黄金分割点激起了同学们极大的兴趣.某兴趣小组在探究该知识时，由黄金分割点联想到黄金分割线，类似地给出定义：直线AB将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1和S2，如果那么称直线AB为该图形的黄金分割线.

如图，在△ABC中，E是线段BC的黄金分割点(BE＜EC)，F是线段BC上一点(异于点E)，请过点F作一条△ABC的黄金分割线，并说明理由.

参考答案

[知识梳理］

    黄金分割点    黄金比

[基础练习]

1.A    2.C    3.C    4. 6.18

5.∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AE，BC=AD，∠BCF=∠EAB.∴∠CBF=∠AEB.∴△BCF∽△EAB.∴即  .

6.(1)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°=∠A.∴∠BDC= ∴AD=BD,BC=BD.∴△ABC∽△BDC. ∴ 即 ∴D是线段AC的黄金分割点.

(2)∵D是线段AC的黄金分割点，∴.

[巩固提高]

7.C    8.A    9.A解析：如图，过点A作AH⊥BC于点H.根据等腰三角形的性质，得到 再根据勾股定理可计算出 然后根据线段的黄金分割点的定义，得到BE= 再计算出 则 8，最后根据三角形面积公式计算

10.3   解析：由矩形ABCD是黄金矩形，E，F，G，H分别为线段AD，BC，AB，EF的中点，可得矩形AEHG，GHFB也是黄金矩形，共有3个.

11.①②③④

12.如图，连接AF，过点E作EG∥AF，交AB于点G，连接FG，FG即为所求作的黄金分割线理由：∵EG∥AF，∴FG为所求作的黄金分割线.