鲁教版 (五四制)八年级下册6 黄金分割当堂检测题

第九章  图形的相似

6  黄金分割

知识能力全练

知识点  黄金分割的有关概念

1.舞台纵深为6米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点处，那么主持人站立的位置离舞台前沿的距离约为（   ）

A.1.1米     B.1.5米      C.1.9米       D.2.3米

2.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC的长是（   ）

A.        B.        C.        D.

3.美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉如果某女士身高为1.60m，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（   ）

A.2.5 cm      B.5.1 cm       C.7.5 cm       D.8.2 cm    

4.宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感我们可以用这样的方法画出黄金矩形:如图所示，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF，DF，作∠DFC的平分线，交AD的延长线于点H，作HG⊥BC，交BC的延长线于点G，则下列矩形是黄金矩形的是（   ）

A.矩形ABFE      B.矩形EFCD      C.矩形EFGH       D.矩形DCGH

5.一条线段AB的黄金分割点有_________个（填数字）.

巩固提高全练

6.已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB:AB的值为（   ）

A.      B.      C.        D.

7.如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形.如图所示，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为__________.

8.生活中到处可见黄金分割的美.如图9-6-3，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b为2米，则a约为（   ）

A.1.24米       B.1.38米       C.1.42米       D.1.62米

9.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题:点G将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点.如图9-6-4，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D、E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（   ）

A.       B.       C.       D.20-8

10.如图所示，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1，即BP12＝AP1·AB），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则线段AP2020的长度是（   ）

A.       B.       C.       D.

11.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.如图①，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC:AB＝BC:AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点.如图②，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.

（1）求证:点D是线段AC的黄金分割点；

（2）求线段AD的长.

参考答案

1.D    2.C    3.C    4.C     5. 2    6.B     7. 2

8.A     9.A     10.A

11.解析 （1）证明  ∵AB＝AC＝1，

∴∠ABC＝∠C＝（180°-∠A）＝×（180°-36°）＝72°.

∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝×∠ABC＝36°，

∴∠BDC＝180°-36°-72°＝72°，∴DA＝DB，BD＝BC，

∴AD＝BD＝BC，易得△BDC∽△ABC，

∴BC:AC＝CD:BC，即BC2＝CD·AC，∴AD2＝CD·AC，

∴点D是线段AC的黄金分割点.

（2）设AD＝x，则CD＝AC-AD＝1-x，

∵AD2＝CD·AC，∴x2＝1-x，解得x1＝，x2＝（舍去），

∴AD的长为.