初中数学浙教版八年级下册第二章 一元二次方程综合与测试精品练习题

浙教版初中数学八年级下册第二单元《一元二次方程》测试卷

考试范围：第二章；考试时间：100分钟；总分：100分；

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列方程是一元二次方程的是

A.   B.
C.  D.

2. 将关于的一元二次方程变形为，就可将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”已知，可用“降次法”求得的值是

A.  B.  C.  D. 无法确定

3. 若，则 

A.  B.
C.  D.

4. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个或个

5. 将方程配方后，原方程变形为

A.  B.  C.  D.

6. 若反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图象上，则的取值范围是

A.  B.
C. 或 D.

7. 年，某省新能源汽车产能达到万辆．到了年，该省新能源汽车产能将达到万辆，若设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为，则根据题意可列出的方程是

A.  B.
C.  D.

8. 某蔬菜种植基地年的蔬菜产量为吨，年的蔬菜产量为吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为，则年平均增长率应满足的方程为

A.  B.
C.  D.

9. 为了满足师生的阅读要求，某校图书馆的藏书逐年增加，从年年底至年年底该校的藏书由万册增加到万册，设某校年年底至年年底藏书的年平均增长率为，则可列方程为

A.
B.
C.
D.

10. 对于任意实数，关于的方程的根的情况为

A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判定

11. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是   

A.  B.  C. 且 D. 且

12. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为，那么方程有解的概率是

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为______．
14. 如果关于的方程没有实数根，那么的值为______．
15. 代数学中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解是______．

16. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）

17. 改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长，宽的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为，则小路的宽应为多少？
    
    
    
    
    
    
     
18. 某人把万元存入银行，定期一年无利息税，到期时他支取了万元，然后把其余的钱仍存入银行，定期一年利率不变，再到期时他取得本利合计为万元．求这种定期储蓄的年利率．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒，若纸盒的底面积是，则纸盒的高是多少？

20. 现定义一种新运算：“”，使得．

求的值；

求中的值；

不论取何值，总有，求的值．






 

21. 已知关于的一元二次方程．

求证：该方程总有两个实数根

若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．






 

22. 已知关于的一元二次方程．
    证明：不论为何值时，方程总有实数根；
    当为何整数时，方程有两个不相等的整数根．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知实数是一元二次方程的解，求代数式的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、由已知方程化简得到：，不是方程，故本选项不符合题意．
故选：．
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为．
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次．先求得，再代入即可得出答案．
【解答】
解：，
，，




，
故选B．  

3.【答案】
 

【解析】略
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
利用一次函数的性质得到，再判断，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：直线不经过第二象限，
，
当时，关于的方程是一次方程，解为，
当时，关于的方程是二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选D．  

5.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
移项后配方，再变形，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于轴、轴对称的点的坐标，正确的理解题意是解题的关键．
根据反比例函数图形上点的坐标特征得到反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，解方程组，得，根据的图象与一次函数的图象有两个不同的交点，得到方程有两个不同的实数根，于是得到结论．

【解答】
解：反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点在一次函数的图象上，
解方程组，得，
的图象与一次函数有两个不同的交点，
方程有两个不同的实数根，
，
或，
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】解：年的产能，年的产能在年产能的基础上增加，
为，则列出的方程是．
故选：．
可先表示出年的产能，那么年的产能增长率，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

8.【答案】
 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据该种植基地年及年的蔬菜产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．
根据年藏书量年藏书量列式即可．
【解答】
解：
根据从年年底到年年底该校的藏书由万册增加到万册，其年平均增长率为，则可列方程为．  

10.【答案】
 

【解析】解：在关于的方程中，
，，，


．
方程有有两个不相等的实数根．
故选：．
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
本题主要考查了根的判别式及配方法，掌握一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得且，
解得且．
故选D．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了树状图法求概率，根的判别式．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出使，即的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中使，即的有种，
方程有解的概率是，
故选D．  

13.【答案】
 

【解析】解：关于的一元二次方程的一个根是，
，
即，

，
故答案为：．
已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出的值．
此题主要考查了方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．
 

14.【答案】
 

【解析】解：关于的方程没有实数根，
，即，
，
故答案为：．
根据题意可知方程没有实数根，则有，然后解得这个不等式求得的取值范围即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况：一元二次方程的根与有：当时，方程无实数根．基础题型比较简单．
 

15.【答案】
 

【解析】解：阴影部分的面积四个小正方形的面积大正方形的面积，
，
即，
解方程得，
的正数解为：，
故答案为：．
根据阴影部分的面积四个正方形的面积大正方形的面积，得出，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程是解决本题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：原方程有两个不相等的实数根，
，
解得；
故答案为：．
根据方程有两个不相等的实数根可得，求出的取值范围；
本题考查了一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

17.【答案】解：设小路的宽应为，
根据题意得：，
解得：，．
，
不符合题意，舍去，
．
答：小路的宽应为．
 

【解析】设小路的宽应为，那么草坪的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意得出方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：设定期一年的利率是，
根据题意得：一年时：，
取出万元后剩：，
同理两年后是，
即方程为，
解得：，不符合题意，故舍去．
答：定期一年的利率是．
 

【解析】设定期一年的利率是，则存入一年后的利息和是元，取万元后余元，再存一年则有方程，解这个方程即可求解．
此题考查了一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和本金利率期数，难度一般．
 

19.【答案】解：设纸盒的高是，根据题意得：
，
解得：，不合题意，舍去，
答：纸盒的高是．
 

【解析】此题考查一元二次方程的实际运用有关知识，设纸盒的高是，根据长方形的面积公式列出算式，再进行求解即可．
 

20.【答案】解：；
由新运算的定义可转化为：，
解得，；
由新运算的定义得，
，
不论取何值，等式恒成立，
，
即．
 

【解析】本题考查了解一元二次方程和新运算的定义，关键是理解新运算的定义，题目比较好．
根据新运算得出，求出即可；
根据新运算的定义得出，求出方程的解即可；
新运算的定义得，求出，根据不论取和值，等式恒成立，得出，求出即可．
 

21.【答案】证明：依题意，得
．
，

该方程总有两个实数根；
解：解方程，得，．
，
．
该方程的两个实数根的差为，
．
．
 

【解析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
先求出的值，再根据根的判别式即可得出答案；
解方程得出，，由该方程的两个实数根的差为，解之可得．
 

22.【答案】解：


，
不论为何值时，方程总有实数根；

，
，．
要使，均为整数，必为整数．
当取、时，，均为整数．
当时，，此时方程有两个相等的实数根，不符合题意，舍去；
的值为和，．
 

【解析】求出判别式的值为，据此可得答案；
先根据球根公式用表示出、的值，再根据、均为整数即可得出的值
本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
 

23.【答案】解：实数是一元二次方程的解，

，

，，

．

【解析】见答案