浙教版初中数学八年级下册第二单元《一元二次方程》（困难）（含答案解析） 试卷

浙教版初中数学八年级下册第二单元《一元二次方程》（较易）（含答案解析）

考试范围：第二单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程一定是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  若是关于的方程的一个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若关于的一元二次方程的解是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下面说法正确的是(    )

A. 一定不是方程 的根
B. 一定不是方程 的根
C. 可能是方程 的根
D. 和都是方程 的根

5.  在中，直角边为、，斜边为若把关于的方程称为“勾系一元二次方程”，则这类“勾系一元二次方程”的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 一定有实数根

6.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B. 且 C. 且 D.

7.  已知关于的一元二次方程有两个实数根，为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，正方形的边长为，点从点出发滑着线段向点运动不与点，重合，同时点从点出发沿着线段向点运动不与点，重合，点与点的运动速度相同与相交于点，为中点、则有下列结论：
是定值；平分；当运动到中点时，；当时，四边形的面积是其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知、、为方程的三个实数根，则下列结论一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  为执行“两免一补”政策，某地区年投入教育经费万元，预计年投入万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是 (    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若、两点同时出发，当点运动到点时，、两点同时停止运动，当三角形的面积是三角形的面积的三分之一时，经过多少秒时间？(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

12.  设、是方程的两个实数根，则的值为  (    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  一元二次方程的一个根为，则 ______ ．

14.  对于实数，，定义运算“”：，则方程的根为________．

15.  某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数，每个支干长出小分支   个

16.  某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的元降到元，则平均每次降价的百分率为_________．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简、再求值：求代数式的值，其中是一元二次方程的根．

18.  本小题分
已知是一元二次方程的两个实数根中较小的根．
求的值；
化简求值．

19.  本小题分
某农场开挖一条长米的渠道，开工后每天比原计划多挖米，结果提前天完成任务，原计划每天挖多少米
解题方案：设原计划每天挖米，
用含的代数式表示：开工后实际每天挖______米，完成任务原计划用______天，实际用______天；
根据题意，列出相应方程______；
解这个方程，得______；
检验：______；
答：原计划每天挖______米．用数字作答

20.  本小题分
某校初中三年级名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多个座位．
求中巴车和大客车各有多少个座位？
客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用元，租用大客车每辆往返费用元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？

21.  本小题分
五一黄金周期间，某高校几名学生准备外出旅游，有两项支出需提前预算：
备用食品费：购买备用食品共花费元，在出发时，又有两名同学要加入不再增加备用食品费，因此，先参加的同学平均每人比原来少分摊元．现在每人需分摊多少元食品费？
租车费：现有两种车型可供租用，座数和租车费如表所示：请选择最合算的租车方案仅从租车费角度考虑，并说明理由．

22.  本小题分
小鹏等同学在“花鸟市场”租了个摊位销售年桔，平均每天可售出盆，每盆盈利元，除夕将至，他们决定适当降价促销．观察发现：如果每盆降价元，则每天可多售出盆年桔，但每天至多能销售盆．若每天要盈利元，每盆年桔应降价多少元？

23.  本小题分
利用一长，宽的铁皮制作一底面积为的无盖盒子，如图所示，须在四个角各减去一个正方形，求小正方形的边长是多少？

24.  本小题分

已知关于的一元二次方程有一个实数根为，求的值及方程的另一实根．

25.  本小题分
如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度匀速移动，同时另一点由点开始以每秒的速度沿着匀速移动，几秒后，的面积等于？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的概念，解题关键是掌握一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，必须满足的四个条件：含有一个未知数；未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；解题时根据这四个条件对四个选项进行逐一判断即可得出答案．
【解答】
解：方程二次项系数可能为，故此选项不符合题意；
B.化简后是符合一元一次方程的定义，故此选项不符合题意；
C.符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；
D.不是整式方程，故此选项不符合题意．
故选C．  

2.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
因为，
所以，
则．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义得到，然后利用等式性质求的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了一元二次方程的解将代入到中，求得的值，然后求代数式的值即可．

【解答】

解：是一元二次方程的一个根，
，
，
，
故选A．

4.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，且，
或．
当时，有，此时是方程的根
当时，有，此时是方程的根．
 ，
，
和不都是关于的方程的根．
故选C．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式以及勾股定理，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
由勾股定理可得出，根据“勾系一元二次方程”的定义结合根的判别式可得出，由此可得出“勾系一元二次方程”一定有实数根．
【解答】

解：在中，直角边为、，斜边为，
．
在方程中，．
，
，即，
这类“勾系一元二次方程”一定有实数根．
故选D．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且．
故选：．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出的值，将其相加即可得出结论．
【解答】
解：，，，关于的一元二次方程有两个实数根，
，
．
为正整数，且该方程的根都是整数，
或．
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是定值；故正确；
根据题意无法判断与的大小，平分；
故错误；
当运动到中点时，
当运动到中点，
，
，
为中点，
；故正确；
≌，
四边形的面积的面积，
当时，
，
，
，
，
，
四边形的面积是故正确．
故其中正确的是．
故选：．
根据全等三角形的判定与性质，正方形的性质、勾股定理逐一进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质、勾股定理，关键是能够根据正方形的性质找到全等的条件，利用三角形的全等的性质和勾股定理解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，当时，，
，
、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标，

由函数图象可知  ，，根据已知条件无法判定，，
故选：．
由可得则、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标，
由此画出函数图象求解即可．
本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确理解题意得到、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，然后用表示年的投入，再根据“年投入万元”可得出方程． 

【解答】

解：依题意得年的投入为，
．
故选C．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．
设经过秒，三角形的面积是三角形的面积的三分之一．表示出，，，再得出与面积，利用求出即可．
【解答】
解：设经过秒，三角形的面积是三角形的面积的三分之一．
、移动秒时，，，则，
，
，
当时，则，
整理，得，
解得，，
即当或时，的面积等于的面积的三分之一．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了一元二次方程的解．先根据一元二次方程的解的定义得到，变形得到，则原式化简为，然后根据根与系数的关系求解．

【解答】

解：是方程的实数根，
，
，
原式
、是方程的两个实数根，
，
原式．

故选D．

13.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的一个根为，
且，
．
故答案为：．
根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
 

14.【答案】， 

【解析】

【分析】
本题主要考查因式分解法解一元二次方程，根据，得到是解题的关键．
【解答】
解：根据题意，
，
因式分解得，
解得，．
故答案为，．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】

此题要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解，注意能够熟练运用因式分解法解方程．由题意设每个支干长出的小分支的数目是个，每个小分支又长出个分支，则又长出个分支，则共有个分支，即可列方程求得的值．

【解答】

解：设每个支干长出的小分支的数目是个，
根据题意列方程得：，
解得：或不合题意，应舍去；
；
即每支支干长出个小分支．

故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程的依据是：商品原来价格每次降价的百分率现在价格，设出未知数，列方程解答即可．

【解答】
解：设这种商品平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得，

，
解得，不合题意，舍去；

故答案为：．

17.【答案】解：原式



，
，
，
原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据是一元二次方程的根求出，再代入原式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：是一元二次方程的两个实数根中较小的根，
，

，




原式



 

【解析】由于是一元二次方程的两个实数根中较小的根，所以，从而可求出原式的值．
求出的值，然后比较与的大小关系，最后化简原式即可求出答案．
本题考查学生的计算能力，涉及一元二次方程的解、分式的运算以及二次根式的运算，本题属于中等题型．
 

19.【答案】     ，  不符合题意，舍去   

【解析】解：；分
；分
，；分
，都是原方程的根，但负数不合题意，所以只取；分
分
工作时间工作总量工作效率；关键描述语为：“提前天完成任务”；等量关系为：原计划天数实际天数．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列分式方程解决实际问题的检验分两个方面：要保证方程有解，要保证实际问题有意义．
 

20.【答案】解：设每辆中巴车有座位个，每辆大客车有座位个，依题意有

解之得：，不合题意，舍去．
经检验是分式方程的解，
故大客车有座位：个．
答：每辆中巴车有座位个，每辆大客车有座位个．

解法一：
若单独租用中巴车，租车费用为元
若单独租用大客车，租车费用为元
设租用中巴车辆，大客车辆，则有

解得，当时，，运送人数为人，符合要求
这时租车费用为元
故租用中巴车辆和大客车辆，比单独租用中巴车的租车费少元，比单独租用大客车的租车费少元．

解法二：、同解法一
设租用中巴车辆，大客车辆，则有

解得：．
由为整数，得到或．
当时，运送人数为，不合要求舍去；
当时，运送人数为，符合要求．
故租用中巴车辆和大客车辆，比单独租用中巴车的租车费少元，比单独租用大客车的租车费少元． 

【解析】每辆车的座位数：设每辆中巴车有座位个，每辆大客车有座位个，可座学生人数分别是：、车辆数可以表示为，因为租用大客车少一辆．所以，中巴车的辆数大客车辆数，列方程．
在保证学生都有座位的前提下，有三种租车方案：
单独租用中巴车，需要租车辆，可以计算费用．
单独租用大客车，需要租车辆，也可以计算费用．
合租，设租用中巴车辆，则大客车辆，座位数应不少于学生数，根据题意列出不等式．注意，车辆数必须是整数．三种情况，通过比较，就可以回答题目的问题了．
本题具有一定的综合性，需要考虑学生人数、座位数、车辆数、三者之间的关系，从而得出每个车辆的座位数．第二问，在保证学生都有座位的前提下，租车方案有三种，需要分类、比较．
 

21.【答案】解：设现在每人需分摊元食品费，则原来每人需分摊元食品费．
依题意可得：．
去分母，整理得：．
解得：，．
经检验：，都是原方程的根．
但不合题意，舍去．所以．
答：现在每人需分摊元食品费．

由可计算旅游人数是人．
方案：租两辆型车，费用是：元．
方案：租三辆型车，费用是：元．
方案：租一辆型车，租一辆型车，费用是：元．
所以，选择方案最合算． 

【解析】根据题目的问题，可直接设现在每人需分摊元食品费，则原来每人需分摊元食品费，食品费用又没有增加，用，现在的人数原来的人数，列方程．
由知，实际旅游人数是，租车就有种方案；根据表格知，单租型车需要辆，单租型车需要辆，两种车都租，则需要租一辆型车，租一辆型车，分别计算费用，选择合理的方案．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：设每盆年桔应降价元，
，
，，
当时，不合题意舍去．
．
答：每盆年桔应降价元． 

【解析】等量关系为：原来盈利的价钱降低的价钱原来卖出的盆数降低的价钱，把相关数值代入计算即可．
考查一元二次方程的应用；得到盈利总价钱的等量关系是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：小正方形的边长为．
，
解得，不合题意，舍去．
答：正方形的边长为． 

【解析】等量关系为：正方形的边长正方形的边长，把相关数值代入求得合适的解即可．
考查一元二次方程的应用；得到无盖盒子底面积的边长是解决本题的易错点．
 

24.【答案】解：设方程的另一根为，则
，
解得．
把代入，得
，即，
解得，．
综上所述，的值是或，方程的另一实根是． 

【解析】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把代入已知方程列出关于的新方程，通过解该方程来求的值；然后结合根与系数的关系来求方程的另一根．
 

25.【答案】解：设秒后，的面积等于，有，
，
，．
当时，，即不合题意，舍去．
所以秒后，的面积等于． 

【解析】本题已知了、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程速度时间，可用时间表示出和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值．
对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．