2021学年第二章 一元二次方程综合与测试精品达标测试
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浙教版初中数学八年级下册第二单元《一元二次方程》测试卷
考试范围：第二章；考试时间：100分钟；总分：100分；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 下列方程中，属于关于的一元二次方程的是
A. B.
C. D.
- 若是关于的方程的一个根，则的值是
A. B. C. D.
- 下列方程中是一元二次方程的是
A. B.
C. D.
- 下列说法：
若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是
若，则是一元二次方程的一个根
若，则一元二次方程有不相等的两个实数根
当取整数或时，关于的一元二次方程与的解都是整数．
其中正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 已知，如果与互为相反数，那么
A. B. C. D.
- 已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为
A. ， B. ， C. ， D. ，
- 对于实数，，先定义一种新运算“”如下：若，则实数等于
A. B. C. 或 D. 或或
- 若、、为的三边，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形
- 新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，若设人平均感染人，则
A. B. C. D.
- 某工厂计划用两年时间使产值增加到目前的倍，并且使第二年增长的百分数是第一年增长百分数的倍，设第一年增长的百分数为，则可列方程得
A. B.
C. D.
- 据调查，年月兰州市的房价均价为，年同期将达到，假设这两年兰州市房价的平均增长率为，根据题意，所列方程为
A. B.
C. D.
- 下列说法：
若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是；
若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；
若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；
已知两实数，满足，，且，则的值为其中正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______
- 已知等腰三角形的一条边长为，另两条边长是关于的一元二次方程的两个根，则________。
- 已知关于的方程的两个根为、，若，则____
- 当 时，代数式和的值互为相反数。
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）
- 当为何值时，关于的方程为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
- 、、为正整数，关于的方程的两实根的绝对值都小于，求的最小值．
- 已知一元二次方程的两个根恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长，求的面积．
- 小颖解方程组时，把看错后得到的解是而正确解是请你帮小颖写出原来的方程组．
- 已知关于的方程为实数，．
求证：此方程总有两个实数根；
如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数的值．
- 如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙墙长，另三边用木栏围成，木栏长．
鸡场的面积能达到吗？
鸡场的面积能达到吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
- 节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在年前实现“碳达峰”，到年实现“碳中和”发展为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定年，工厂改建和重建数量共座，且改建座数不低于重建座数的倍．
按拟定计划，年至少要改建多少座工厂？
经财政实际预算，年改建与重建工厂的平均费用之比为：，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金亿元为加快实现“碳达峰”的目标，该省政府计划加大投入，计划指出年用于工厂改建和重建的费用将在年实际预算的基础上增加，另外年改建与重建工厂的平均费用将比年分别增加和，改建与重建工厂的座数将比年分别增加和，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元二次方程，关键是熟练掌握一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【解答】
解：是分式方程，故不符合题意，
B.若，则方程不是一元二次方程，故不符合题意，
C.是一元二次方程，故符合题意，
D.含有两个未知数，是二元二次方程，故不符合题意，
故选C．
2.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
因为，
所以，
则．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义得到，然后利用等式性质求的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.【答案】
【解析】解：、该方程属于分式方程，故本选项错误；
B、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、由已知方程得到：，属于一元一次方程，故本选项错误；
故选：．
根据一元二次方程的定义进行判断即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
4.【答案】
【解析】解：若一元二次方程有一个根是，则
整理得出：，
则代数式，故此选项正确；
若，则是一元二次方程的一个根，故此选项错误；
若，那么，
当，时，；当，时，；当时，，
，故此选项正确；
关于的一元二次方程与有解，
则，
，
，即；
，
，
，；
，而是整数，
所以，舍去，一个为，另一个为，冲突，故舍去，
当时，即，方程的解是；
即，方程的解是，；
当时，时，方程是不是一元二次方程，故舍去．
故，故此选项错误；
故正确的有个，
故选：．
将代入方程得出的值即可；利用，即是一元二次方程的一个根得出答案，利用，分析得出即可；
这两个一元二次方程都有解，因而根与判别式，即可得到关于不等式，从而求得的范围，再根据是整数，即可得到的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定的值．
此题主要考查了根的判别式以及方程的解，解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式的关系，首先根据根的判别式确定的范围是解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：已知，
解得，
与互为相反数，
，
即．
故选：．
先通过解二元一次方程组，求得用表示的，的值后，再代入，建立关于的方程而求解的．
理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出的数值．
6.【答案】
【解析】解：一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
即方程的两根分别为和，
故选：．
根据已知方程的解得出或，求出即可．
本题考查了解一元二次方程，能根据已知方程的解得出或是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次方程的解法、因式分解法解一元二次方程．利用因式分解解方程时，采用了“十字相乘法”分解因式：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．
分类讨论：当时，将代入新定义运算；当时，将代入新定义运算．
【解答】
解：根据题意，得：
当时，
，即，
解得，不合题意，舍去；
当时，
，即，
，
或，
，或，不合题意，舍去，
综合，．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：根据题意得，
，
或，
所以或，
所以这个三角形为等腰三角形．
故选：．
根据判别式的意义得到，利用因式分解得到，从而得到或，于是可判断这个三角形为等腰三角形．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．此题可设人平均感染人，则第一轮共感染人，第二轮共感染人，根据题意列方程并解方程即可．
【解答】
解：若设人平均感染人，
依题意可列方程：．
，
，不合题意，舍去
故选：．
10.【答案】
【解析】解：设第一年增长的百分数为，则第二年增长的百分数为，
根据题意，得．
故选：．
设第一年增长的百分数为，则第二年增长的百分数为，根据“计划用两年时间使产值增加到目前的倍”列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
11.【答案】
【解析】解：年同期的房价为，
年的房价为，
即所列的方程为，
故选C．
年的房价年的房价年平均增长率，把相关数值代入即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程；得到年房价的等量关系是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了根的判别式、根与系数的关系以及方程的解，根据一元二次方程根的意义，判别式、根与系数的关系解题是解决本题的关键．
将代入方程得出的值即可；分或，两种情形计算，证明即可；利用，分析得出即可；根据题意判断，都是的根，结合，利用根与系数的关系计算的值即可判断．
【解答】
解：若一元二次方程有一个根是，
则，
整理得出：，
则代数式，故此正确；
若，则，
若，则，
若，则，
证得方程一定有两个不相等的实数根，故正确；
若，
那么，
，
，
故正确；
两实数，满足，，
，都是的根，
，
，
，，
．
故错误；
故正确的有个，
故选：．
13.【答案】且
【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故答案为且．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
14.【答案】或或．
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的性质，一元二次方程的解法，三角形三边关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．
根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质分类讨论即可求出答案．
【解答】
解：当为等腰三角形的腰时，将代入原方程得：，
解得：或，
当或时：
此时原方程为，
解得：，，
，
能为等腰三角形的腰；
当为等腰三角形的底时，方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
此时，
、、可以围成等腰三角形，
．
故答案为或或．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值．
【解答】
解：依题意得：，，
因为，
所以，
解得．
故答案是．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
两式互为相反数，它们的和为，则可列出方程，化为一般形式以后，利用因式分解法即可求解．
【解答】
解：依题意得：
即
解得或．
17.【答案】解：根据题意得：
，
解得：，
即原方程为：，
解得：，．
【解析】根据一元二次方程的定义，得到关于的一元二次方程和关于的不等式，解之即可得到的值，代入原方程解一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
18.【答案】解：由于，，是正整数，关于的一元二次方程的两个实数根，
则判别式，
若方程的两根设为，，且，
则由题设可得，，
则．
令，即有，
即，且．
整理可得：，且，且
即有．
结合前者，可知，最小为，，．
则的最小值为．
【解析】由题意和韦达定理可得方程的两根满足令，即有，且对称轴介于，由不等式的性质可得结合前者，可得最小为，，即可得到最小值．
本题考查二次方程实根的分布，主要考查二次函数和二次方程的关系，运用不等式的基本性质是解题的关键．
19.【答案】解：一元二次方程的两个根分别为， ．
当等腰三角形的底边长为、腰长为时，易得的面积为
当等腰三角形的底边长为、腰长为时，易得的面积为．
综上所述，的面积为或．
【解析】见答案．
20.【答案】解：将，；，分别代入得：，
解得：，，
将，代入中得：，
解得：，
则，，，
即原来的方程组为．
【解析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组的应用，注意：方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
将，代入第二个方程，将，代入第二个方程，求出与的值，将正确解代入第一个方程求出即可．
21.【答案】证明：，
，
，
，
此方程总有两个不相等的实数根；
解：由求根公式，得，
，，
此方程的两个实数根都为正整数，
整数的值为或．
【解析】本题主要考查了一元二次方程的概念和一元二次方程根的判别式的知识点，解题的关键熟练运用根的判别式以及求根公式，本题属于基础题型
根据判别式即可求出答案；
由求根公式即可求出的值．
22.【答案】解：设垂直于墙的边长为．
，
解得，．
当时，，不合题意，舍去．
当时，．
．
答：垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为米时，鸡场的面积为；
，
．
，
此方程无解．
答：鸡场的面积不能达到．
【解析】设垂直于墙的边长为未知数，则平行于墙的边长为木栏长垂直于墙的边长，鸡场的面积垂直于墙的边长平行于墙的边长，把相关数值代入，看是否有合适的解即可．
考查一元二次方程的应用；得到平行于墙的边长的代数式是解决本题的易错点．
23.【答案】解：设年改建座工厂，则重建工厂为座，
根据题意得：，
解得：，
至少改建座工厂；
由得：年改建工厂座，则此时重建工厂座，
设改建一座工厂花费亿元，重建一座为亿元，
根据题意得：，
解得，
，
由题意得：，
解得：．
【解析】设年改建座工厂，则重建工厂为座，根据改建座数不低于重建座数的倍列出不等式求解即可；
设年改建一座工厂花费亿元，重建一座为亿元，根据将花费资金亿元列出方程求出；再根据年改建和重建的费用和等于年实际预算的基础上增加，列出方程求出．
本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题中的等量关系列出方程．
浙教版初中数学八年级下册期中测试卷（标准困难）（含答案解析）（含答案解析）： 这是一份浙教版初中数学八年级下册期中测试卷（标准困难）（含答案解析）（含答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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