3.1.1 椭圆及其标准方程-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

椭圆的方程要点一、椭圆的定义1.椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.   若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数的动点M的轨迹叫椭圆椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.椭圆的对称性椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。要点二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程：1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；要点诠释：1.椭圆上一点到焦点的最小距离为：a-c，最大距离为：a+c；2.椭圆的焦点总在长轴上，当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；3. 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.要点三、求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 【典型例题】类型一：椭圆的定义例1. 若一个动点P（x，y）到两个定点A（－1，0）、A＇（1，0）的距离的和为定值m（m>0），试求P点的轨迹方程。 【解析】∵|PA|+|PA＇|=m，|AA＇|=2，|PA|+|PA＇|≥|AA＇|，（1）当0<m<2时，P点的轨迹不存在；（2）当m=2时，P点的轨迹就是线段AA＇∴其方程为y=0（－1≤x≤1）；（3）当m＞2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A、A＇为焦点的椭圆∵2c=2，2a=m，∴，，∴点P的轨迹方程为。 举一反三：【变式1】设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B。若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的方程是（    ）A.      B.      C.      D.【答案】 A 【变式2】已知B（-2,0），C（2,0），A为动点，的周长为10，则动点A的满足的方程为（    ）A.      B.      C.        D. 【答案】B【解析】 |AB|+|AC|+|BC|=10，B（-2,0），C（2,0），|AB|+|AC|=6>|BC|点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去与B、C共线二顶点），且2a=6,c=2,b2=a2-c2=5,顶点A的轨迹方程为 【变式3】设动圆与圆外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程.【答案】    类型二：椭圆的标准方程例2. 椭圆的焦距是         ，焦点坐标是         ；若AB为过椭圆的一个焦点F1的一条弦，F2为另一个焦点，则的周长是          . 【解析】由椭圆方程知∴，∴，∴两焦点为又因为三角形的周长为:=举一反三：【变式1】方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________【答案】<m<25【解析】因为焦点在y轴上，所以16＋m>25－m，即m>，又因为b2＝25－m>0，故m<25. 【变式2】已知椭圆的标准方程是(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________．【答案】【解析】因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即，所以△ABF2的周长为4a＝.【变式3】已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（    ）A．充分必要条件        B．充分不必要条件    C．必要不充分条件      D．既不充分也不必要条件【答案】C 例3.当时，指出方程所表示的曲线.【解析】∵∴（1）若9-k>k-3，即时，则方程表示焦点在x轴上的椭圆；（2）若9-k=k-3，即k=6时，方程表示圆；（3）若9-k<k-3, 即时，则方程表示焦点在y轴上的椭圆. 举一反三：【变式1】如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是      【答案】  类型三：求椭圆标准方程例4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：    （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；    （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为。∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4，∴b2=a2－c2=52－42=9，∴所求椭圆的标准方程为；（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为由椭圆的定义知，，∴，又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6，∴所求椭圆的标准方程为举一反三：【变式1】已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程是________．【答案】  例5. 求经过点P（－3，0）、Q（0，2）的椭圆的标准方程。【解析】设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）。∵椭圆经过点P（－3，0）和Q（0，2），∴    ∴∴所求椭圆方程为。  举一反三：【变式1】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程。【答案】或。    类型四：椭圆的综合问题例6.设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．【答案】4【解析】由椭圆方程，得a＝3，b＝2，，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4. 举一反三：【变式1】已知P为椭圆上的一点，是两个焦点，，求的面积.【答案】 类型五：坐标法的应用例7．△ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，－6），另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程。【解析】设顶点A的坐标为（x，y）由题意得， ∴顶点A的轨迹方程为。 举一反三：【变式1】已知A、B两点的坐标分别为（0，－5）和（0，5），直线MA与MB的斜率之积为，则M的轨迹方程是（    ）A．      B．C．      D．【答案】D  【变式2】如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP'，求线段PP'中点M的轨迹【答案】设点M的坐标为，点P的坐标为，则因为在圆上，所以将代入上方程得即所以点M的轨迹是一个椭圆 【巩固练习】一、选择题1.如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（   ）A．                    B．   C． 或           D．或 1.答案D；解析：焦点在x轴上，则标准方程中项的分母应大于项的分母，即解得选D. 2.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点最短距离为，则这个椭圆的方程为（    ）A．      B．      C．或      D．以上都不对2.答案C；解析：设短轴的一个端点为P，左右焦点分别为F1、F2，∵△PF1F2为正三角形，∴，可得，即  ①又∵椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为，∴，  ②联解①②，可得。因此a2=12且b2=9，可得椭圆的标准方程为或。 3.直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（   ）A．              B．或   C． 且      D．且 3.答案：C 解析：直线过定点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上. 4.设P是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（   ）A.4         B.5         C.8         D.104.答案：Ｄ 解析：由椭圆定义知，所以选Ｄ5. “ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆的（    ）A．充分不必要条件      B．必要不充分条件C．充要条件            D．既不充分也不必要条件5.答案：B6.若椭圆的的一个焦点为（0，-4），则k的值为（   ）A．      B．      C．8      D．326. 答案A  解析：方程变形为，∴二、填空题7．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为　        　．7. 解析：由题意，AF2⊥x轴，∴|AF2|＝b2，∴A（c，b2），∵|AF1|＝3|F1B|，∴B(－c，－b2)，代入椭圆方程可得，∵1＝b2＋c2，∴b2＝，c2＝，∴． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆在y轴上的一个顶点，若2b，，2a成等差数列，且△PF1F2的面积为12，则椭圆C的方程为________．8. 解析：由题意知，2a+2b=2|F1F2|=4c，，∴a=2c－b，又a2=b2+c2，∴(2c－b)2=b2+c2，解得：c=4，∴b=3，a=5。∴椭圆C的方程为。 9．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若OQ＝1，则PF1＝________.9. 解析：如图，连结PF2，由于Q是PF1的中点，所以OQ是△PF12的中位线，所以PF2＝2OQ＝2，根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝8，所以PF1＝6. 10.椭圆 (m<n<0)的焦点坐标是________．10.解析：因为m<n<0，所以－m>－n>0，故焦点在x轴上，所以，故焦点坐标为，． 三、解答题11．的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心和顶点的轨迹． 11. 解析：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．（2）设，，则．      ①由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．     12．已知圆C：(x－3)2＋y2＝100及点A(－3,0)，P是圆C上任意一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于点Q，求点Q的轨迹方程．12. 解析：如图所示．∵l是线段PA的垂直平分线，∴AQ＝PQ.∴AQ＋CQ＝PQ＋CQ＝CP＝10，且10>6.∴点Q的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，且2a＝10，c＝3，即a＝5，b＝4.∴点Q的轨迹方程为.  13. 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．13.解析：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，可求出，，从而．∴所求椭圆方程为或．