高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积一课一练

8.3 简单几何体的表面积与体积-2021-2022学年高一数学人教A版（2019）必修二同步课时作业

1.祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.现有一个圆柱和一个长方体,它们的底面积相等,高也相等,若长方体的底面周长为8,圆柱的体积为,根据祖暅原理,可得圆柱的高的取值范围是(     )

A. B. C. D.

2.正三棱柱的顶点都在同一个球面上,若球的半径为4,则该三棱柱的侧面面积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(     )

A. B.  C.  D.

4.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(   )

A.  B.  C.  D.

5.已知底面半径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为的球面上,则该圆锥的体积为(      )

A. B. C. D.或

6.已知一个圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形,则该圆柱的外接球的表面积为(      )

A. B. C. D.

7.已知球是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)的外接球,,点在线段上,且,过点作球的截面,则所得截面圆面积的取值范围是(    )

A. B. C. D.

8.已知圆锥的高为3,它的底面半径为,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积等于(    )

A. B. C. D.

9.如图8-3-6所示,在中,.若将绕直线旋转一周,则所形成的旋转体的体积是(    )

A.  B. C. D.

10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:"今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?"其意思为:"在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?"已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(      )

A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛

11.以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴,将该三角形旋转一周,所得几何体的表面积为________.

12.已知圆柱的上、下底面的中心分别为,过直线的平面截该圆柱所得的截面是正方形,底面圆的内接正三角形面积为,则该圆柱的表面积为______.

13.若侧面积为的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为           。

14.已知正四棱台的高是,两底面边长之差为,面积为,求上,下底面的边长.

答案以及解析

1.答案：D

解析：由祖暅原理知圆柱的底面积与长方体的底面积相等,设长方体底面的长,宽分别为,由题知,则长方体的底面积,

所以,所以.

2.答案：A

解析：设正三棱柱高为,底面正三角形边长为,所以三棱柱侧面面积为.

,,

,,

所以该三棱柱的侧面面积的最大值为.

3.答案：B

解析：设圆柱的底面半径为,球的半径为,且,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,及圆柱的高的一半构成直角三角形..

所以圆柱的体积为.

4.答案：B

解析：因为过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为,底面圆的直径为,所以该圆柱的表面积.故选B.

5.答案：D

解析：如图,

设圆锥底面圆周的半径为,球的半径为,圆锥的高为.由,得,则,由勾股定理可得,解得.

所以圆锥的体.

6.答案：A

解析：设圆柱的底面半径为,高为,则,

，设圆柱外接球的半径为,

则,

所以圆柱外接球的表面积为,故选A. 

7.答案：C

解析：如图,

设的中心为,球的半径为,连接

则,

在中,,解得,则.

由,得.

在中,,

所以.

过点作球的截面,当截面与垂直时,截面的面积最小,

此时截面圆的半径为,则最小面积为,

当截面过球心时,截面面积最大,最大面积为.

8.答案：B

解析：如图,

设球心到底面圆心的距离为,则球的半径,由勾股定理得,解得,故半径.

9.答案：D

解析：如图,

该旋转体的体积是以为底面半径,和为高的两个圆锥的体积之差.

因为,所以.

又因为,所以,

所以.

10.答案：B

解析：设米堆的底面半径为尺,则,所以,所以米堆的体积为(立方尺).故堆放的米约有 (斛).

11.答案：

解析：以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴,将该三角形旋转一周,所得几何体为圆锥,圆锥的底面半径,母线长,所以该几何体的表面积.

12.答案：

解析：如图所示,

设圆柱的底面圆半径为,则高为,再设底面圆的内接正三角形边长为,则该三角形的面积为,解得.

由正弦定理得,所以,所以该圆柱的表面积为.

13.答案：

解析：设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，外接球O的半径为R，则.

因为球的体积，当且仅当R最小时，V最小.
圆柱的侧面积为，
所以，所以，所以，

当且仅当，即时取等号，此时R取最小值.

所以，，圆柱的表面积为.

14.答案：上底面边长为,下底面边长为.

解析：如图,

,分别是上底面和下底面的中心,分别是棱的中点,

设,则上底面边长为,下底面边长为,

故,则

又因为正四棱台的高是,.

故正四棱台的全面积

解得,

所以正四棱台上底面边长为,下底面边长为.