高中数学第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理教案及反思

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掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。
知识引入与讲解：
Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用：
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
=2R
例1．（1）、已知ABC中，A，,求 (=2)
（2）、已知ABC中，，求 （答案：1：2：3）
Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：
例2．（1）、在ABC中，已知，，，求b及A （ ）
（2）、在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
例3．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
（注意：）
解：，即， ∴。
练习： （1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）
例4．在ABC中，，，面积为，求的值
分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理
解：由得，则=3，即，
从而
例题5、某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
csC==,
则sinC =1- csC =,
sinC =,
所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120csC - cs120sinC =
在MAC中，由正弦定理得 MC ===35 从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
练习题：1、判断满足下列条件的三角形形状，
（1）、acsA = bcsB（ 等腰三角形或直角三角形）
（2）、sinC = （直角三角形）
2、如图，在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：
AB的长 （2）、求四边形ABCD的面积
解（1）因为BCD=75，ACB=45，所以 ACD=30 ，又因为BDC=45，所以 DAC=180-（75+ 45+ 30）=30，所以 AD=DC= 在BCD中，CBD=180-（75+ 45）=60，所以= ，BD = =
在ABD中，AB=AD+ BD-2ADBDcs75= 5,所以得 AB=
S= ADBDsin75= 同理， S=
所以四边形ABCD的面积S=