还剩23页未读，
继续阅读
清单06 函数的性质（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练
展开
这是一份清单06 函数的性质（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共26页。试卷主要包含了分段函数的单调性，抽象函数的单调性的判定，由单调性确定参数范围，利用函数单调性比较函数值的大小等内容，欢迎下载使用。
清单06 函数的性质
知识与方法清单
1.一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【对点训练1】（2021四川省成都市高三5月高考热身考试）下面四个函数中既为奇函数,又在定义域上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A选项,是奇函数,在定义域单调递增；B选项,是奇函数,在和单调递减,但在其定义域并不单调；C选项,既不是奇函数也不是偶函数,在其定义域单调递减；
D选项,是奇函数,且满足定义域上单调递减.故选D.
2.对∀x1,x2∈D(x1≠x2),⇔f(x)在D上是增函数,⇔f(x)在D是减函数．
【对点训练2】（2021河南省焦作市高三四模）已知函数满足,且对任意的,都有,则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可知,可转化为,
所以在[0,+∞)上是增函数,又,所以为奇函数,所以在R上为增函数,因为,,所以,
所以,解得,即x的取值范围是.故选A.
3．用定义证明函数的单调性
用定义证明函数在某个区间上的单调性的步骤是,在给定区间上,任取,通过作差或作商比较的大小,来证明函数的单调性.
【对点训练3】证明在上是增函数.
【证明】设,则,
所以,所以,
所以 =
=,
所以,故在上是增函数.
4. 单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.
【对点训练4】已知函数f(x)＝,则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞,1] B．[3,＋∞) C．(－∞,－1] D．[1,＋∞)
【答案】B
【解析】设t＝x2－2x－3,由t≥0,即x2－2x－3≥0,解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞,－1]∪[3,＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1,所以函数t在(－∞,－1]上单调递减,在[3,＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3,＋∞)．
5．复合函数的单调性
若两个简单函数的单调性相同,则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反,则它们的复合函数为减函数． 函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
【对点训练5】的递减区间是________.
【答案】
【解析】可看作与构成的复合函数,由是减函数,可得的递增区间就是的递减区间,故答案为.
6.分段函数的单调性
分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值．
【对点训练6】已知f(x)＝是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是( )
A．(1,＋∞) B．[4,8) C．(4,8) D．(1,8)
【答案】B
【解析】由已知可得,解得4≤a＜8,故选B.
7.抽象函数的单调性的判定.
判断抽象函数的单调性,一般根据定义来判断,即在所给区间上,然后利用题中条件确定的大小.
【对点训练7】已知函数f(x)对任意的m、n∈R,都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1,并且x>0时,恒有f(x)>1.求证：f(x)在R上是增函数；
【证明】设x1,x2∈R且x10,
因为当x>0时,f(x)>1,所以f(x2－x1)>1.
f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1,
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)
8.由单调性确定参数范围
利用单调性求参数,一般视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
【对点训练8】已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1,2]
C．[1,＋∞) D．[2,＋∞)
【答案】C
【解析】要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增,则a>0且a－1≥0,即a≥1.
9.利用函数单调性比较函数值的大小
比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决．
【对点训练9】（2021天津市北辰区高三下学期模拟）已知是定义在上的偶函数且在区间上单调递增,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意,函数是定义在上的偶函数且在区间上单调递增,可得函数在上单调递减,因为,,因为是定义在上的偶函数,可得,所以.故选B.
10.在求解与函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．一般步骤：
第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；
第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)
【对点训练10】（2021湖南省长沙市高三下学期热身训练）设函数,则满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：,所以为奇函数,
又,因为,当且仅当x=0时等号成立,
所以,所以在上单调递增,
所以,所以,解得
故选A
11. 一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M；②存在x0∈I,使得f(x0)＝M,那么,我们称M是函数y＝f(x)的最大值．
一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M；②存在x0∈I,使得f(x0)＝M；那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值．
【对点训练11】（2021浙江省绍兴市嵊州市高三下学期5月适应性考试）设表示函数在闭区间上的最大值．若正实数满足,则______,正实数的取值范围是_________．
【答案】2
【解析】如图,画出函数的图象,当时,,此时,,不满足,所以,此时
因为,且,所以,
当时,解得：,,,,
由图象可知,得.故答案为：；
12.求函数最值的一些方法与上一专题所介绍的求函数值域的方法相同,不在一一讲解.下面给出求函数最值的五种常用方法及其思路：
(1)单调性法：先确定函数的单调性,再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值．
(3)基本不等式法：先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(4)导数法：先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值．
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值．
【对点训练12】函数f(x)＝(x>1)的最小值为________．
【答案】8
【解析】方法一 (基本不等式法)f(x)＝＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8,当且仅当x－1＝,即x＝4时,f(x)min＝8.
方法二 (导数法)f′(x)＝,令f′(x)＝0,得x＝4或x＝－2(舍去)．
当14时,f′(x)>0,f(x)在(4,＋∞)上是递增的,
所以f(x)在x＝4处取到极小值也是最小值,即f(x)min＝f(4)＝8.
13.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数；一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
【对点训练13】（2021重庆市巴蜀中学高三适应性月考）函数是偶函数,则实数__________．
【答案】1
【解析】因为,且是偶函数,则,
,
即,所以实数．
14.判断一个函数的奇偶性一般有以下4种类型：①是奇函数,不是偶函数；②是偶函数,不是奇函数；③既是奇函数,也是偶函数；④不是奇函数,也不是偶函数.若一个函数的定义域不关于原点对称,则该函数不是奇函数,也不是偶函数.既是奇函数,也是偶函数.
【对点训练14】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是（）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令,则,,即,
,所以既不是奇函数也不是偶函数,而A,B,C依次是偶函数、奇函数、偶函数．故选D．
15.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
【对点训练15】的图象关于直线 对称.
【答案】x=
【解析】的图象由的图象向右平移对称,是偶函数,其图象关于y轴对称,所以的图象关于直线x=对称.
16.分段函数奇偶性的判断.
分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(－x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断．
【对点训练16】判断函数f(x)＝的奇偶性．
【解析】当x>0时,－x<0,f(x)＝－x2＋x,
所以f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；
当x<0时,－x>0,f(x)＝x2＋x,
f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)．
所以对于x∈(－∞,0)∪(0,＋∞),均有f(－x)＝－f(x)．函数f(x)为奇函数．
17.抽象函数奇偶性的判断.
抽象函数奇偶性一般通过赋值进行判断.
【对点训练17】已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.
【解析】f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1,有f(1)＝f(－1)＋f(－1),所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1,x2＝x,有f(－x)＝f(－1)＋f(x),
所以f(－x)＝f(x),所以f(x)为偶函数．
18.若函数在处有意义,则.
【对点训练18】已知定义在R上的奇函数,满足当时,,求在R上的解析式.
【解析】由定义域为R,可得,
当时,,所以,
因为是奇函数,所以时,,
所以.
19.若是偶函数,则.巧妙利用这一结论解题可避免因讨论带来的繁琐运算.
【对点训练19】已知是偶函数,且在上是减函数,则满足的实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为是偶函数,且在上是减函数,所以.
20.若是奇函数,=,则(1)；(2)若有最值,则.
【对点训练20】已知的最大值、最小值分别为,则________．
【答案】2
【解析】因为,且是奇函数,
所以2.
21.函数单调性与奇偶性结合问题．注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性．奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
【对点训练21】（2021湖北省黄冈中学高三5月适应性考试）已知函数满足：,,且.若角满足不等式,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令,因为,所以为R上的单调减函数,
又因为,所以,
即,即,所以函数为奇函数,
故,即为,
化简得,即,即,
由单调性有,解得,故选B.
22.周期函数
对于函数y＝f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x＋T)＝f(x),那么就称函数y＝f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．注意有些周期函数没有,如函数,所以非零有理数都是它的周期,该函数没有最小正周期.
【对点训练22】（2021云南师范大学附属中学高三适应性月考）若是上周期为5的奇函数,且满足,,则等于（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】C
【解析】∵若是上周期为5的奇函数,∴,,∴,,∴,故选C.
23. 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值．
【对点训练23】已知定义在上的偶函数,对,有成立,当时,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意对,有成立,令,则,
所以,故,所以是周期为的周期函数,
故.故选C
24．函数周期性基本结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．
【对点训练24】（2021陕西省高三下学期教学质量检测）已知定义在上的奇函数满足．当时,,则（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】A
【解析】由条件可知,,且,即,即,那么,所以函数是周期为4的函数,
.故选A
25.函数对称性与函数周期性的关系
(1)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(2)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(3)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
【对点训练25】已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1),则f(2 017)＋f(2 019)的值为( )
A．－1 B．1 C．0 D．无法计算
【答案】C
【解析】由f(x)是偶函数,可知其图象关于直线对称,由f(x－1) 是奇函数,可知f(x)图象关于点对称,所以f(x)是周期函数,,所以f(2 017)＝f(1),f(2 019)＝f(3)＝f(－1),又f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0,所以f(2 017)＋f(2 019)＝0.
26.周期性、奇偶性与单调性及图象的结合．
解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,将涉及到的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,然后利用奇偶性和单调性求解．
【对点训练26】（2021江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学2高三5月联考）已知函数是定义在R上的周期为2的偶函数,当,则函数的图象与函数的图象交点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】由,可得当,
再根据函数是定义在R上的周期为2的函数,故可画出函数的图象与函数的图象,
根据图像知,共有6个交点,故选A.
27.对一个易错问题的分析.
【对点训练27】已知是定义在上的奇函数,且,则在上的零点个数至少为______.
【答案】9
【解析】由是定义在上的奇函数,得,结合得,由,得, 再根据是奇函数,可得,所以,中取,得,所以,所以 ,所以在上的零点个数至少有以下9个：0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6,.
【易错警示】本题易忽略零点1.5与4.5.
跟踪检测
一、单选题
1．（2021四川省天府名校高三5月诊断性考试）已知函数,则（ ）
A．是单调递增函数 B．是奇函数
C．函数的最大值为 D．
【答案】C
【解析】A：由解析式知：是单调递减函数,错误；B：由,显然不关于原点对称,不是奇函数,错误；C：由A知：在上,正确；D：由A知：,错误.故选C.
2.（2021. 吉林省吉林市高三三模）若是定义在上的奇函数,且,则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】C
【解析】根据题意,若是定义在上的奇函数,则,又由,则有,则,故选C.
3.（2021百校联盟高三4月联考）函数是定义在上的偶函数,当时,,若,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若,则,即,解得.
所以.故选A.
4.（2021.重庆市高三模拟调研卷四）已知函数,若,其中为自然对数的底数,则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】B
【解析】函数,则,
则,则,
若,则有,变形可得,
则,当且仅当时等号成立,
即的最小值为8,故选．
5.（2021湖南省岳阳市高三下学期高考适应性考试）设函数在内有定义,下列函数必为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A,中,与不一定相等,故不一定为奇函数,故A错误；
对B,中,,所以函数为奇函数,故B正确；
对C,中,与不一定相等,故不一定为奇函数,故C错误；
对D,为偶函数,故D错误.故选B.
6.（2021云南省昆明市高三考前适应性训练）已知点(m,n)在函数的图象上,则下列四点中也在函数f(x)的图象上的是（ ）
A．(-m,1+n) B．(-m,1-n) C．(-m,-n) D．(-m,n)
【答案】C
【解析】因为,所以,所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称；又因为点(m,n)在函数的图象上,所以点(-m,-n)也在其图象上,
故选C.
7.（2021“超级全能生”高三5月联考）已知函数对任意都有且成立,若,则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可知．又,
,,,
函数是周期为的周期函数,,,．
由可得,即,
.故选C．
8.（2021.山西省怀仁市高三上学期期中）已知定义在上的奇函数满足,当时,,则下列结论正确的是（ ）
A．是函数的周期
B．函数在上的最大值为2
C．函数在上单调递减
D．方程在上的所有实根之和为
【答案】D
【解析】是上的奇函数,,,故不是函数的周期,且,故是函数的周期,故A错误；
当时,且单调递增,且单调递减,则单调递增,故C错误；当时,且单调递减,且单调递增,则单调递减；
且,又是奇函数且周期为,,故B错误；
由可得关于对称,方程的根等价于与的交点的横坐标,根据的单调性和周期可得,与在有两个关于对称的交点,在有两个关于对称的交点,在有两个关于对称的交点,所以方程在上的所有实根之和为,故D正确.
故选D.
9．（2021东北两校（大庆实验中学、吉林一中）高三模拟）已知是定义在上的偶函数,其图象关于点对称．以下关于的结论：
①是周期函数；
②满足；
③在（0,2）上单调递减；
④是满足条件的一个函数．
其中所有正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①④
【答案】C
【解析】函数是定义在上的偶函数,其图象关于点对称．对于①,由于,函数的图象关于对称,故,所以,所以函数是周期函数,故①正确；对于②,函数为偶函数,则,由于函数为偶函数,故满足,故②正确；对于③,令,满足题意,但在上单调递增,故③错误；对于④,因为,,
所以函数既关于轴对称,又关于对称,故④正确．故选C．
10.（2021湖南师范大学附属中学高三下学期三模）已知函数,.若与的图象在区间上的交点分别为,则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令,解得：,关于对称；
当时,,关于对称；
,,
若为与在的交点,则也为与在的交点,
.故选C.
11.（2021安徽省宿州市高三下学期第三次模拟）已知函数,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】定义域为,,
为偶函数,,
当时,,
与在均单调递增,在上单调递增,
,
,即.故选A.
12．（2021北京市中国人民大学附属中学高三考前热身练）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的,在高等数学中有着广泛的应用,在上的定义为：当（,且,为互质的正整数）时,；当或或为内的无理数时,.已知,,,则（ ）注：,为互质的正整数,即为已约分的最简真分数.
A．的值域为 B．
C． D．以上选项都不对
【答案】B
【解析】设,（,且,为互质的正整数）,B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0,1]上的无理数},对A选项：由题意,的值域为,其中是大于等于2的正整数,
故选项A错误；对B、C选项：
①当,,则,；
②当,,则,＝0；
③当或,则,,
所以选项B正确,选项C、D错误,故选B.
二、多选题
13．（2021重庆市高三调研）设表示不超过实数的最大整数,函数,则（ ）
A．的最大值为
B．是以为周期的周期函数
C．在区间上单调递增
D．对,
【答案】BD
【解析】因为,,所以,所以是以为周期的周期函数,故是以为周期的周期函数,故选项B正确；
由题意可得,,故的最大值为1,故选项A错误；
函数在上为常数函数,故选项C错误；当时,,故选项D正确．
故选BD
14.（2021湖南省岳阳市高三下学期考试）已知函数,设为实数,且．下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．不等式的解集为
C．若,则
D．若,则
【答案】ABD
【解析】对A,,函数的图象关于点对称,故A正确；对B,在上单调递增,且,则化为,则,解得,故不等式的解集为,故B正确；
对CD,,则可得,且关于点对称,在上单调递增,可得函数图象如下：
均在直线上方,其中直线的方程为,
则可得,,
所以,
,,即,故C错误,D正确.故选ABD.
15．（2021重庆市蜀都中学高三4月月考）已知函数满足,有,且,当时,,则下列说法正确的是（ ）
A．
B．时,单调递增
C．关于点对称
D．时,方程的所有根的和为
【答案】CD
【解析】由题设知：,故在上为奇函数且单调递减,又,即关于、,对称,且最小周期为4,A：,错误；
B：等价于,由上易知：上递减,上递增,故不单调,错误；
C：由上知：关于对称且,所以关于对称,正确；
D：由题意,只需确定与在的交点,判断交点横坐标的对称情况即可求和,如下图示,
∴共有6个交点且关于对称,则,
∴所有根的和为,正确.故选CD
16.（2021湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模）关于函数,下列描述正确的有（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．若,但,则
D．函数有且仅有两个零点
【答案】ABD
【解析】函数的图像如图所示：由图可得：函数在区间上单调递增,故正确；函数的图像关于直线对称,故正确；若,但,则当时,,故错误；函数的图像与轴有且仅有两个交点,故正确.
故选.
17．（2021山东省泰安肥城市高三三模）已知定义在上的函数满足,函数为偶函数,且当时,,则下列结论正确的是（ ）
A．函数是周期为4的周期函数 B．
C．当时, D．不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】对于选项A,由函数为偶函数得函数的对称轴为,
故得,又,所以,从而得,所以函数是周期为4的周期函数,故选项A正确；
对于选项B,又奇函数当时,,
故得,解得,所以当时,．
所以,故选项B正确；
对于选项C,当时,,
所以,故选项C不正确；
对于选项D,根据函数的周期性,只需考虑不等式在一个周期上解的情况即可．
当时,由,解得,故得；
当时,由,解得,故得,
综上可得不等式在一个周期上的解集为,所以不等式在定义域上的解集为,故选项D正确．综上ABD正确．故选ABD.
三、填空题
18．（2021北京市高三高考模拟）已知函数,若,使得成立,请写出一个符合条件的函数的表达式__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由,使得可得,
由与图象关于原点对称可得与图像关于原点对称,如图：
取时,在第三象限显然有一交点,故取符合
19．（2021河北省高三下学期仿真模拟）已知函数是定义在上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为___________.
【答案】
【解析】当时,,又因为函数是定义在上的偶函数,
则,
,因此,.
20．（2021山东省潍坊市高三三模）设函数则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】由函数解析式知在R上单调递增,且,
则,由单调性知,解得
21．（2021陕西省宝鸡市高三下学期第二次适应性训练）已知函数,则的值域是___________.设函数,若对于任意实数,总存在,使得成立,则实数的取值范围是___________
【答案】
【解析】（1）,
当,,单调递减；当,,单调递增；
,
又,,
故的值域是；
（2）,
当,即时,恒成立,则,
当,即时,恒成立,则,
综上,实数的取值范围是.
四、解答题
22．（2021上海市黄浦区高三三模）已知函数为实常数.
（1）讨论函数的奇偶性,并说明理由；
（2）当为奇函数时,对任意,不等式恒成立,求实数的最大值.
【解析】（1）当时,
即；故此时函数是奇函数；
因当时,,故
,且
于是此时函数既不是偶函数,也不是奇函数；
（2）因是奇函数,故由（1）知,从而；
由不等式,得,
令因,故
由于函数在单调递增,所以；
因此,当不等式在上恒成立时,
23．（2021江西省南昌市高三三模）已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3,且当时,,其中e是自然对数的底数．
（1）求函数的解析式；
（2）求最大的整数,使得存在,只要,就有．
【解析】（1）因为是增函数,所以当时,是增函数,
又因为为偶函数,所以,即,
当时,,所以,
所以．
（2）因为,都有,所以,
当时,,则,即,
当时,同理可得,
所以．
同样地,由及,得到,
当,存在的最小值为,
由题意知,,即,
令,则
当时,,所以在上单调递减,
当时,,所以在上单调递增,
因为,,,
所以存在,使得,所以的解集为,
所以m的最大正整数为4．
24．（2021上海市普陀区高三下学期调研）若函数f(x)对任意的x∈R,均有f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x),则称函数f(x)具有性质P.
（1）判断下面两个函数是否具有性质P,并说明理由；
①y=3x；②y=x3；
（2）若函数g(x)=,试判断g(x)是否具有性质P,并说明理由；
（3）若函数f(x)具有性质P,且f(0)=f(n)=0(n>2,n∈N*)求证：对任意1≤k≤n﹣1,k∈N*,均有f(k)≤0.
【解析】（1）①f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=3x﹣1+3x+1﹣2×3x=3x()>0,故①具有性质P；
②不具有性质P,如x=﹣1时,f(x﹣1)+f(x+1)=f(﹣2)+f(0)=﹣8,而2f(﹣1)=﹣2,不满足不等式,
（2）1°当x为有理数时,具有性质P,理由如下：
f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=(x﹣1)2+(x+1)2﹣2x2﹣n(x﹣1+x+1﹣2x)=2≥0,
2°当x为无理数时,具有性质P,理由如下：
f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=(x﹣1)2+(x+1)2﹣2x2=2>0,
综上可知g(x)具有性质P.
（3）证明：假设f(x)为f（1）,f（2）,…,f(n﹣1)中第一个大于0的值,则f(k)﹣f(k﹣1)>0,
因为函数f(x)具有性质P,所以f(n+1)﹣f(n)≥f(n)﹣f(n﹣1),
所以f(n+1)﹣f(n)≥f(n)﹣f(n﹣1)≥…≥f(k)﹣f(k﹣1)>0,
所以f(n)=[f(n)﹣f(n﹣1)]+[f(n﹣1)﹣f(n﹣2)]+…+f（1）>0,
与f(n)=0矛盾,所以假设错误,原命题正确,
即对于任意的1≤k≤n﹣1,k∈N*,均有f(k)≤0.
清单06 函数的性质
知识与方法清单
1.一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1
【对点训练1】（2021四川省成都市高三5月高考热身考试）下面四个函数中既为奇函数,又在定义域上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A选项,是奇函数,在定义域单调递增；B选项,是奇函数,在和单调递减,但在其定义域并不单调；C选项,既不是奇函数也不是偶函数,在其定义域单调递减；
D选项,是奇函数,且满足定义域上单调递减.故选D.
2.对∀x1,x2∈D(x1≠x2),⇔f(x)在D上是增函数,⇔f(x)在D是减函数．
【对点训练2】（2021河南省焦作市高三四模）已知函数满足,且对任意的,都有,则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可知,可转化为,
所以在[0,+∞)上是增函数,又,所以为奇函数,所以在R上为增函数,因为,,所以,
所以,解得,即x的取值范围是.故选A.
3．用定义证明函数的单调性
用定义证明函数在某个区间上的单调性的步骤是,在给定区间上,任取,通过作差或作商比较的大小,来证明函数的单调性.
【对点训练3】证明在上是增函数.
【证明】设,则,
所以,所以,
所以 =
=,
所以,故在上是增函数.
4. 单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.
【对点训练4】已知函数f(x)＝,则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞,1] B．[3,＋∞) C．(－∞,－1] D．[1,＋∞)
【答案】B
【解析】设t＝x2－2x－3,由t≥0,即x2－2x－3≥0,解得x≤－1或x≥3.所以函数的定义域为(－∞,－1]∪[3,＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1,所以函数t在(－∞,－1]上单调递减,在[3,＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3,＋∞)．
5．复合函数的单调性
若两个简单函数的单调性相同,则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反,则它们的复合函数为减函数． 函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
【对点训练5】的递减区间是________.
【答案】
【解析】可看作与构成的复合函数,由是减函数,可得的递增区间就是的递减区间,故答案为.
6.分段函数的单调性
分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值．
【对点训练6】已知f(x)＝是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是( )
A．(1,＋∞) B．[4,8) C．(4,8) D．(1,8)
【答案】B
【解析】由已知可得,解得4≤a＜8,故选B.
7.抽象函数的单调性的判定.
判断抽象函数的单调性,一般根据定义来判断,即在所给区间上,然后利用题中条件确定的大小.
【对点训练7】已知函数f(x)对任意的m、n∈R,都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1,并且x>0时,恒有f(x)>1.求证：f(x)在R上是增函数；
【证明】设x1,x2∈R且x1
因为当x>0时,f(x)>1,所以f(x2－x1)>1.
f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1,
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)
8.由单调性确定参数范围
利用单调性求参数,一般视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
【对点训练8】已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1,2]
C．[1,＋∞) D．[2,＋∞)
【答案】C
【解析】要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增,则a>0且a－1≥0,即a≥1.
9.利用函数单调性比较函数值的大小
比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决．
【对点训练9】（2021天津市北辰区高三下学期模拟）已知是定义在上的偶函数且在区间上单调递增,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意,函数是定义在上的偶函数且在区间上单调递增,可得函数在上单调递减,因为,,因为是定义在上的偶函数,可得,所以.故选B.
10.在求解与函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．一般步骤：
第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；
第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)
【对点训练10】（2021湖南省长沙市高三下学期热身训练）设函数,则满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：,所以为奇函数,
又,因为,当且仅当x=0时等号成立,
所以,所以在上单调递增,
所以,所以,解得
故选A
11. 一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M；②存在x0∈I,使得f(x0)＝M,那么,我们称M是函数y＝f(x)的最大值．
一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M；②存在x0∈I,使得f(x0)＝M；那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值．
【对点训练11】（2021浙江省绍兴市嵊州市高三下学期5月适应性考试）设表示函数在闭区间上的最大值．若正实数满足,则______,正实数的取值范围是_________．
【答案】2
【解析】如图,画出函数的图象,当时,,此时,,不满足,所以,此时
因为,且,所以,
当时,解得：,,,,
由图象可知,得.故答案为：；
12.求函数最值的一些方法与上一专题所介绍的求函数值域的方法相同,不在一一讲解.下面给出求函数最值的五种常用方法及其思路：
(1)单调性法：先确定函数的单调性,再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值．
(3)基本不等式法：先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(4)导数法：先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值．
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值．
【对点训练12】函数f(x)＝(x>1)的最小值为________．
【答案】8
【解析】方法一 (基本不等式法)f(x)＝＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8,当且仅当x－1＝,即x＝4时,f(x)min＝8.
方法二 (导数法)f′(x)＝,令f′(x)＝0,得x＝4或x＝－2(舍去)．
当1
所以f(x)在x＝4处取到极小值也是最小值,即f(x)min＝f(4)＝8.
13.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数；一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
【对点训练13】（2021重庆市巴蜀中学高三适应性月考）函数是偶函数,则实数__________．
【答案】1
【解析】因为,且是偶函数,则,
,
即,所以实数．
14.判断一个函数的奇偶性一般有以下4种类型：①是奇函数,不是偶函数；②是偶函数,不是奇函数；③既是奇函数,也是偶函数；④不是奇函数,也不是偶函数.若一个函数的定义域不关于原点对称,则该函数不是奇函数,也不是偶函数.既是奇函数,也是偶函数.
【对点训练14】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是（）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令,则,,即,
,所以既不是奇函数也不是偶函数,而A,B,C依次是偶函数、奇函数、偶函数．故选D．
15.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
【对点训练15】的图象关于直线 对称.
【答案】x=
【解析】的图象由的图象向右平移对称,是偶函数,其图象关于y轴对称,所以的图象关于直线x=对称.
16.分段函数奇偶性的判断.
分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(－x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断．
【对点训练16】判断函数f(x)＝的奇偶性．
【解析】当x>0时,－x<0,f(x)＝－x2＋x,
所以f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；
当x<0时,－x>0,f(x)＝x2＋x,
f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)．
所以对于x∈(－∞,0)∪(0,＋∞),均有f(－x)＝－f(x)．函数f(x)为奇函数．
17.抽象函数奇偶性的判断.
抽象函数奇偶性一般通过赋值进行判断.
【对点训练17】已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.
【解析】f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1,有f(1)＝f(－1)＋f(－1),所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1,x2＝x,有f(－x)＝f(－1)＋f(x),
所以f(－x)＝f(x),所以f(x)为偶函数．
18.若函数在处有意义,则.
【对点训练18】已知定义在R上的奇函数,满足当时,,求在R上的解析式.
【解析】由定义域为R,可得,
当时,,所以,
因为是奇函数,所以时,,
所以.
19.若是偶函数,则.巧妙利用这一结论解题可避免因讨论带来的繁琐运算.
【对点训练19】已知是偶函数,且在上是减函数,则满足的实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为是偶函数,且在上是减函数,所以.
20.若是奇函数,=,则(1)；(2)若有最值,则.
【对点训练20】已知的最大值、最小值分别为,则________．
【答案】2
【解析】因为,且是奇函数,
所以2.
21.函数单调性与奇偶性结合问题．注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性．奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
【对点训练21】（2021湖北省黄冈中学高三5月适应性考试）已知函数满足：,,且.若角满足不等式,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令,因为,所以为R上的单调减函数,
又因为,所以,
即,即,所以函数为奇函数,
故,即为,
化简得,即,即,
由单调性有,解得,故选B.
22.周期函数
对于函数y＝f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x＋T)＝f(x),那么就称函数y＝f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．注意有些周期函数没有,如函数,所以非零有理数都是它的周期,该函数没有最小正周期.
【对点训练22】（2021云南师范大学附属中学高三适应性月考）若是上周期为5的奇函数,且满足,,则等于（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】C
【解析】∵若是上周期为5的奇函数,∴,,∴,,∴,故选C.
23. 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值．
【对点训练23】已知定义在上的偶函数,对,有成立,当时,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意对,有成立,令,则,
所以,故,所以是周期为的周期函数,
故.故选C
24．函数周期性基本结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．
【对点训练24】（2021陕西省高三下学期教学质量检测）已知定义在上的奇函数满足．当时,,则（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】A
【解析】由条件可知,,且,即,即,那么,所以函数是周期为4的函数,
.故选A
25.函数对称性与函数周期性的关系
(1)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(2)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(3)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
【对点训练25】已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1),则f(2 017)＋f(2 019)的值为( )
A．－1 B．1 C．0 D．无法计算
【答案】C
【解析】由f(x)是偶函数,可知其图象关于直线对称,由f(x－1) 是奇函数,可知f(x)图象关于点对称,所以f(x)是周期函数,,所以f(2 017)＝f(1),f(2 019)＝f(3)＝f(－1),又f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0,所以f(2 017)＋f(2 019)＝0.
26.周期性、奇偶性与单调性及图象的结合．
解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,将涉及到的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,然后利用奇偶性和单调性求解．
【对点训练26】（2021江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学2高三5月联考）已知函数是定义在R上的周期为2的偶函数,当,则函数的图象与函数的图象交点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】由,可得当,
再根据函数是定义在R上的周期为2的函数,故可画出函数的图象与函数的图象,
根据图像知,共有6个交点,故选A.
27.对一个易错问题的分析.
【对点训练27】已知是定义在上的奇函数,且,则在上的零点个数至少为______.
【答案】9
【解析】由是定义在上的奇函数,得,结合得,由,得, 再根据是奇函数,可得,所以,中取,得,所以,所以 ,所以在上的零点个数至少有以下9个：0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6,.
【易错警示】本题易忽略零点1.5与4.5.
跟踪检测
一、单选题
1．（2021四川省天府名校高三5月诊断性考试）已知函数,则（ ）
A．是单调递增函数 B．是奇函数
C．函数的最大值为 D．
【答案】C
【解析】A：由解析式知：是单调递减函数,错误；B：由,显然不关于原点对称,不是奇函数,错误；C：由A知：在上,正确；D：由A知：,错误.故选C.
2.（2021. 吉林省吉林市高三三模）若是定义在上的奇函数,且,则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】C
【解析】根据题意,若是定义在上的奇函数,则,又由,则有,则,故选C.
3.（2021百校联盟高三4月联考）函数是定义在上的偶函数,当时,,若,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若,则,即,解得.
所以.故选A.
4.（2021.重庆市高三模拟调研卷四）已知函数,若,其中为自然对数的底数,则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】B
【解析】函数,则,
则,则,
若,则有,变形可得,
则,当且仅当时等号成立,
即的最小值为8,故选．
5.（2021湖南省岳阳市高三下学期高考适应性考试）设函数在内有定义,下列函数必为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A,中,与不一定相等,故不一定为奇函数,故A错误；
对B,中,,所以函数为奇函数,故B正确；
对C,中,与不一定相等,故不一定为奇函数,故C错误；
对D,为偶函数,故D错误.故选B.
6.（2021云南省昆明市高三考前适应性训练）已知点(m,n)在函数的图象上,则下列四点中也在函数f(x)的图象上的是（ ）
A．(-m,1+n) B．(-m,1-n) C．(-m,-n) D．(-m,n)
【答案】C
【解析】因为,所以,所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称；又因为点(m,n)在函数的图象上,所以点(-m,-n)也在其图象上,
故选C.
7.（2021“超级全能生”高三5月联考）已知函数对任意都有且成立,若,则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可知．又,
,,,
函数是周期为的周期函数,,,．
由可得,即,
.故选C．
8.（2021.山西省怀仁市高三上学期期中）已知定义在上的奇函数满足,当时,,则下列结论正确的是（ ）
A．是函数的周期
B．函数在上的最大值为2
C．函数在上单调递减
D．方程在上的所有实根之和为
【答案】D
【解析】是上的奇函数,,,故不是函数的周期,且,故是函数的周期,故A错误；
当时,且单调递增,且单调递减,则单调递增,故C错误；当时,且单调递减,且单调递增,则单调递减；
且,又是奇函数且周期为,,故B错误；
由可得关于对称,方程的根等价于与的交点的横坐标,根据的单调性和周期可得,与在有两个关于对称的交点,在有两个关于对称的交点,在有两个关于对称的交点,所以方程在上的所有实根之和为,故D正确.
故选D.
9．（2021东北两校（大庆实验中学、吉林一中）高三模拟）已知是定义在上的偶函数,其图象关于点对称．以下关于的结论：
①是周期函数；
②满足；
③在（0,2）上单调递减；
④是满足条件的一个函数．
其中所有正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①④
【答案】C
【解析】函数是定义在上的偶函数,其图象关于点对称．对于①,由于,函数的图象关于对称,故,所以,所以函数是周期函数,故①正确；对于②,函数为偶函数,则,由于函数为偶函数,故满足,故②正确；对于③,令,满足题意,但在上单调递增,故③错误；对于④,因为,,
所以函数既关于轴对称,又关于对称,故④正确．故选C．
10.（2021湖南师范大学附属中学高三下学期三模）已知函数,.若与的图象在区间上的交点分别为,则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令,解得：,关于对称；
当时,,关于对称；
,,
若为与在的交点,则也为与在的交点,
.故选C.
11.（2021安徽省宿州市高三下学期第三次模拟）已知函数,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】定义域为,,
为偶函数,,
当时,,
与在均单调递增,在上单调递增,
,
,即.故选A.
12．（2021北京市中国人民大学附属中学高三考前热身练）黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的,在高等数学中有着广泛的应用,在上的定义为：当（,且,为互质的正整数）时,；当或或为内的无理数时,.已知,,,则（ ）注：,为互质的正整数,即为已约分的最简真分数.
A．的值域为 B．
C． D．以上选项都不对
【答案】B
【解析】设,（,且,为互质的正整数）,B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0,1]上的无理数},对A选项：由题意,的值域为,其中是大于等于2的正整数,
故选项A错误；对B、C选项：
①当,,则,；
②当,,则,＝0；
③当或,则,,
所以选项B正确,选项C、D错误,故选B.
二、多选题
13．（2021重庆市高三调研）设表示不超过实数的最大整数,函数,则（ ）
A．的最大值为
B．是以为周期的周期函数
C．在区间上单调递增
D．对,
【答案】BD
【解析】因为,,所以,所以是以为周期的周期函数,故是以为周期的周期函数,故选项B正确；
由题意可得,,故的最大值为1,故选项A错误；
函数在上为常数函数,故选项C错误；当时,,故选项D正确．
故选BD
14.（2021湖南省岳阳市高三下学期考试）已知函数,设为实数,且．下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．不等式的解集为
C．若,则
D．若,则
【答案】ABD
【解析】对A,,函数的图象关于点对称,故A正确；对B,在上单调递增,且,则化为,则,解得,故不等式的解集为,故B正确；
对CD,,则可得,且关于点对称,在上单调递增,可得函数图象如下：
均在直线上方,其中直线的方程为,
则可得,,
所以,
,,即,故C错误,D正确.故选ABD.
15．（2021重庆市蜀都中学高三4月月考）已知函数满足,有,且,当时,,则下列说法正确的是（ ）
A．
B．时,单调递增
C．关于点对称
D．时,方程的所有根的和为
【答案】CD
【解析】由题设知：,故在上为奇函数且单调递减,又,即关于、,对称,且最小周期为4,A：,错误；
B：等价于,由上易知：上递减,上递增,故不单调,错误；
C：由上知：关于对称且,所以关于对称,正确；
D：由题意,只需确定与在的交点,判断交点横坐标的对称情况即可求和,如下图示,
∴共有6个交点且关于对称,则,
∴所有根的和为,正确.故选CD
16.（2021湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模）关于函数,下列描述正确的有（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．若,但,则
D．函数有且仅有两个零点
【答案】ABD
【解析】函数的图像如图所示：由图可得：函数在区间上单调递增,故正确；函数的图像关于直线对称,故正确；若,但,则当时,,故错误；函数的图像与轴有且仅有两个交点,故正确.
故选.
17．（2021山东省泰安肥城市高三三模）已知定义在上的函数满足,函数为偶函数,且当时,,则下列结论正确的是（ ）
A．函数是周期为4的周期函数 B．
C．当时, D．不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】对于选项A,由函数为偶函数得函数的对称轴为,
故得,又,所以,从而得,所以函数是周期为4的周期函数,故选项A正确；
对于选项B,又奇函数当时,,
故得,解得,所以当时,．
所以,故选项B正确；
对于选项C,当时,,
所以,故选项C不正确；
对于选项D,根据函数的周期性,只需考虑不等式在一个周期上解的情况即可．
当时,由,解得,故得；
当时,由,解得,故得,
综上可得不等式在一个周期上的解集为,所以不等式在定义域上的解集为,故选项D正确．综上ABD正确．故选ABD.
三、填空题
18．（2021北京市高三高考模拟）已知函数,若,使得成立,请写出一个符合条件的函数的表达式__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由,使得可得,
由与图象关于原点对称可得与图像关于原点对称,如图：
取时,在第三象限显然有一交点,故取符合
19．（2021河北省高三下学期仿真模拟）已知函数是定义在上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为___________.
【答案】
【解析】当时,,又因为函数是定义在上的偶函数,
则,
,因此,.
20．（2021山东省潍坊市高三三模）设函数则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】由函数解析式知在R上单调递增,且,
则,由单调性知,解得
21．（2021陕西省宝鸡市高三下学期第二次适应性训练）已知函数,则的值域是___________.设函数,若对于任意实数,总存在,使得成立,则实数的取值范围是___________
【答案】
【解析】（1）,
当,,单调递减；当,,单调递增；
,
又,,
故的值域是；
（2）,
当,即时,恒成立,则,
当,即时,恒成立,则,
综上,实数的取值范围是.
四、解答题
22．（2021上海市黄浦区高三三模）已知函数为实常数.
（1）讨论函数的奇偶性,并说明理由；
（2）当为奇函数时,对任意,不等式恒成立,求实数的最大值.
【解析】（1）当时,
即；故此时函数是奇函数；
因当时,,故
,且
于是此时函数既不是偶函数,也不是奇函数；
（2）因是奇函数,故由（1）知,从而；
由不等式,得,
令因,故
由于函数在单调递增,所以；
因此,当不等式在上恒成立时,
23．（2021江西省南昌市高三三模）已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3,且当时,,其中e是自然对数的底数．
（1）求函数的解析式；
（2）求最大的整数,使得存在,只要,就有．
【解析】（1）因为是增函数,所以当时,是增函数,
又因为为偶函数,所以,即,
当时,,所以,
所以．
（2）因为,都有,所以,
当时,,则,即,
当时,同理可得,
所以．
同样地,由及,得到,
当,存在的最小值为,
由题意知,,即,
令,则
当时,,所以在上单调递减,
当时,,所以在上单调递增,
因为,,,
所以存在,使得,所以的解集为,
所以m的最大正整数为4．
24．（2021上海市普陀区高三下学期调研）若函数f(x)对任意的x∈R,均有f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x),则称函数f(x)具有性质P.
（1）判断下面两个函数是否具有性质P,并说明理由；
①y=3x；②y=x3；
（2）若函数g(x)=,试判断g(x)是否具有性质P,并说明理由；
（3）若函数f(x)具有性质P,且f(0)=f(n)=0(n>2,n∈N*)求证：对任意1≤k≤n﹣1,k∈N*,均有f(k)≤0.
【解析】（1）①f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=3x﹣1+3x+1﹣2×3x=3x()>0,故①具有性质P；
②不具有性质P,如x=﹣1时,f(x﹣1)+f(x+1)=f(﹣2)+f(0)=﹣8,而2f(﹣1)=﹣2,不满足不等式,
（2）1°当x为有理数时,具有性质P,理由如下：
f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=(x﹣1)2+(x+1)2﹣2x2﹣n(x﹣1+x+1﹣2x)=2≥0,
2°当x为无理数时,具有性质P,理由如下：
f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=(x﹣1)2+(x+1)2﹣2x2=2>0,
综上可知g(x)具有性质P.
（3）证明：假设f(x)为f（1）,f（2）,…,f(n﹣1)中第一个大于0的值,则f(k)﹣f(k﹣1)>0,
因为函数f(x)具有性质P,所以f(n+1)﹣f(n)≥f(n)﹣f(n﹣1),
所以f(n+1)﹣f(n)≥f(n)﹣f(n﹣1)≥…≥f(k)﹣f(k﹣1)>0,
所以f(n)=[f(n)﹣f(n﹣1)]+[f(n﹣1)﹣f(n﹣2)]+…+f（1）>0,
与f(n)=0矛盾,所以假设错误,原命题正确,
即对于任意的1≤k≤n﹣1,k∈N*,均有f(k)≤0.
相关试卷
清单31 椭圆(解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练： 这是一份清单31 椭圆(解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共28页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单27 直线、平面平行及垂直的判定与性质（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练： 这是一份清单27 直线、平面平行及垂直的判定与性质（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共39页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单14 三角函数的图象与性质（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练： 这是一份清单14 三角函数的图象与性质（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共25页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
