清单 08指数与指数函数（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单 08指数与指数函数（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共23页。试卷主要包含了正确区分与，已知,则，若,则,,， 的图象与的图象关于y轴对称等内容，欢迎下载使用。

清单08 指数与指数函数
知识与方法清单
1.进行指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,运算时应注意以下几点：①必须同底数幂相乘（除）,指数才能相加（减）；②运算的先后顺序：有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方运算,再乘除,最后后加减；③当底数是负数时,先确定符号,把底数化为正数；④运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数．
【对点训练1】= ________．
【答案】0
【解析】==0.
2.正确区分与：①表示的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶性的限制,,但其值受n的奇偶性的限制,当n为大于1的奇数时,=a,当n为偶数时,=；②表示的n次幂,当n为奇数时,=a,,当n为偶数时,=.
【对点训练2】若有意义,则x的范围是
【答案】
【解析】有意义,则,有意义,则,所以x的范围是.
3.为使开偶次方根时不出现符号错误,第一步先用绝对值表示开方的结果,第二步再去掉绝对值符号,去绝对值符号时要结合条件来分类讨论.
【对点训练3】是的( )
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】,当时,不一定成立,所以不是充分条件,当时,不成立,所以不是必要条件,故选D.
4.下列关系式在指数幂的运算中经常用到：①,②,③,④,⑤.
【对点训练4】若,则________．
【答案】3
【解析】设,则,所以由可得,解得(舍去),或,所以3.
5.已知(且),则.
【对点训练5】已知,且,则

________．
【答案】
【解析】由可得,所以,,,,所以.
6.根据指数式求值要重视整体代换及方程思想的应用.
【对点训练6】若,则________．
【答案】
【解析】由题意可知,因为,所以,
即,两边同时除以得,所以(舍去)或.
7.若(且),则,,
【对点训练7】已知点都在指数函数图象上,则下列各点一定在图象上的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可设(且) 点都在图象上,可得,所以,所以点一定在图象上,故选B.
8. (且)的图象与的图象关于y轴对称.
【对点训练8】（2021吉林省长春市高三四模）如图,①②③④中不属于函数,,的一个是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】根据函数与关于对称,可知①④正确,函数为单调递增函数,故③正确.
所以②不是已知函数图象.故选B
9.底数对指数函数的影响如图是指数函数(1)y＝ax,(2)y＝bx,(3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,要比较底数a,b,c,d与1之间的大小,可作直线,由直线与四个图象交点的上下位置关系可得c>d>1>a>b.由此我们还可得到以下规律：在第一象限内,指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高,底数越大．

【对点训练9】（2021北京市精华学校高三三模）已知实数满足等式,下列关系式中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出函数与函数的图像,如图,当时,根据图像得,故A选项正确；当时,根据图像得,故D选项正确；当时,根据图像得,故B选项正确；故不可能成立的是.故选C

10.(且)的图象经过定点,的图象经过定点.
【对点训练10】（2021四川省雅安市2021届高三三模）函数的图象恒过定点A,若点A在双曲线上,则的最大值为 （ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【解析】设,因为,所以点A的坐标为,又因为点A在双曲线上,所以,因此,当且仅当时取等号,即时取等号,故选B
11.指数函数的单调性取决于底数a的大小,若,指数函数单调递减；若,指数函数单调递减；若指数函数的底数a为参数,解题时通常分和进行分类讨论．
【对点训练11】已知且,若函数的图象恒过定点,且指数函数在上是减函数,则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意知,,由指数函数在上是减函数,可得,即,所以或,故实数的取值范围是.
12.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函
数,利用指数函数的单调性比较大小;当指数相同,底数不同时,常用作商法或利用函数图象比
较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值0,1比较,同时注意结合图像及特殊值. 对于
三个（或三个以上）数的大小比较,则应先根据值的大小对其分类,常将其分为三类：一
类是小于0的数,一类是大于0小于1的数,一类是大于1的数.
【对点训练12】（2021山东省青岛市高三三模）已知,则的大小关系正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】,,指数函数在上单调递减,,即,
又幂函数在上单调递增,,即,,故选B.
13.指数型函数的图象,一般可由基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到．如把(且)的图象经过平移、翻折、对称变换可得到的图象,注意的图象关于直线对称.
【对点训练13】若方程有两个不同的实根,则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】设,当时,图象如图所示,方程有两个不同的实根,则图象与直线有两个不同交点,由图知,当,即时满足题意；当时,,而,此时方程没有实根,综上得实数a的取值范围是．

14.形如若(且,)的函数的性质
若(且,),则的定义域为,当时
在上是减函数,在上是增函数,的值域为；当时在上是增函数,在上是减函数,的值域为.
【对点训练14】函数在上是减函数,则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意可得,所以.故实数a的取值范围是.
15. 形如(且,)的函数的性质
若(且,),则的定义域为,当时的单调性与的单调性一致,当时的单调性与的单调性相反；当或时的值域为；当或时的值域为；的图象关于直线对称.
【对点训练15】若的图象关于直线对称,则的值域为________．
【答案】
【解析】由的图象关于直线对称,得,所以=.因为是减函数,所以,故的值域为.
16.研究函数的性质通常采用换元法转化为二次函数进行研究.换元时,应注意确定新元的范围,以达到等价转化的目的,避免失误.
【对点训练16】求函数的值域.
【解析】设则,且
所以==,
因为,所以,所以,
所以函数的值域为.
17.求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察是型,还是型,前者的定义域受的定义域的影响,后者的定义域与的定义域相同,而求型的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).
【对点训练17】若,求函数的定义域.
【解析】由,及,可得,
要使函数有意义,应满足,即,
因为,所以,所以的定义域为.
18.指数不等式的解法
⑴若,则,特别的,若,的解集为R,若,的解集为；
⑵若,则,特别的,若,的解集为R,若,的解集为.
【对点训练18】若不等式解集为R,且不等式的解集为
【答案】
【解析】由不等式解集为R,得,所以由得,即,解得,所以不等式的解集为.
19.给出函数定义域与值域的关系求参数的取值或取值范围,通常是先确定所给函数的单调性,然后根据函数单调性列出关于参数的方程或不等式,通过解方程或不等式(组)求参数的值或取值范围.
【对点训练19】已知函数的定义域和值域都是,
则________．
【答案】
【解析】①当时,在上递增．又的定义域和值域都是,所以该方程组无解；②当时,在上递减．又的定义域和值域都是,所以,解得所以．
20.指数型函数的奇偶性是高考考查的一个热点,且常以以下函数为生长点：, (a>0且a≠1).
【对点训练20】（2021宁夏银川市高三二模）已知函数（ ）
A．是偶函数,且在单调递增 B．是奇函数,且在单调递减
C．是偶函数,且在单调递减 D．是奇函数,且在单调递增
【答案】D
【解析】因为,,所以,即函数为奇函数,当时,单调递增,故选D
21.根据题中所给指数式的特点,构造指数型函数,然后利用指数型函数的性质解题,这是函数思想的应用.
【对点训练21】（2021湘豫名校高三5月联考）设实数,满足,,则,的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】A
【解析】假设,则,,由得,
因函数在上单调递减,又,则,所以；
由得,因函数在上单调递减,又,则,所以；即有与假设矛盾,所以,故选A
跟踪检测
一、单选题
1．（2021陕西省西安地区八校高三下学期联考）已知,则（ ）
A．120 B．210 C．336 D．504
【答案】C
【解析】,得,解得：,
所以.故选C
2.（2021山西省太原市高三三模）已知实数,满足,,则下列正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】,
,
故.故选B.
3.（2021浙江省绍兴市2高三3月适应性考试）已知,且．若,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意,且,,当时,,,由此排除BD选项.当时,,可能相同,如,由此排除C选项.故选A
4.函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由,可得其定义域为∪,
且,故为奇函数,排除选项A和B,又,由此可知时,函数单调递减.故选C.
5.（2021陕西省宝鸡市高三下学期适应性训练）已知函数,则（ ）
A． B．
C．4 D．4042
【答案】C
【解析】因为,
所以
.故选C
6.（2021重庆市南开中学高三下学期质量检测）国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京年冬奧会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物,那么污染物消除至最初的还需要（ ）小时.

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得,可得,设,
可得,解得.因此,污染物消除至最初的还需要小时.故选C.
7.（2021全国100所名校高考冲刺卷）已知,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为,所以.若,,,则,A项不正确；当时,,,则,当时,,,不等式不一定成立,B项不正确；当时,,,当时,存在,所以C项不正确；当时,,,则,当时,由指对函数的变化趋势,知,即恒成立,D项正确．故选D
8.（2021. 内蒙古乌兰察布高三一模）已知,则以下命题：①；②；③.正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为,且在上为增函数,所以,
所以,,所以①②正确；因为当时,满足,此时,则,即,所以③错误,故选C
9．（2021. 湖南省长沙市四大名校名高三下学期猜题卷） 镜片的厚度是由镜片的折射率决定,镜片的折射率越高,镜片越薄,同时镜片越轻,也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中,甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片,折射率分别为,,．则这三种镜片中,制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学
【答案】C
【解析】,．∵．∴．又∵,,∴．∴有．又因为镜片折射率越高,镜片越薄,故甲同学创作的镜片最厚,乙同学创作的镜片最薄．故选C.
10.（2021北京市海淀区高三二模）已知指数函数,将函数的图象上的每个点的横坐标不变,纵坐标扩大为原来的倍,得到函数的图象,再将的图象向右平移个单位长度,所得图象恰好与函数的图象重合,则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得,再将的图象向右平移个单位长度,得到函数,
又因为,所以,,整理可得,因为且,解得.故选D.
11.（2021辽宁省沈阳市高三三模）已知,则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为,函数是单调增函数,所以比较a,b,c的大小,只需比较当时的大小即可.用特殊值法,取,容易知,再对其均平方得,显然,所以,所以
故选B.
12．已知,若,则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【解析】因为,所以,即,设,则,令=0,得,当时,,单调递增,当时,,单调递减；
因为,,所以,所以,即.故选C.
二、多选题
13．（2021山东省潍坊市高三三模）已知函数（且）的图象如下图所示,则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由图可得,即,单调递减过点,故A正确；
为偶函数,在上单调递减,在上单调递增,故B正确；
为偶函数,结合指数函数图象可知C错误；,根据““上不动、下翻上”可知D正确；故选ABD.
14.（2021山东省济南市高三二模）已知函数,则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为减函数
C．有且只有一个零点 D．的值域为
【答案】AC
【解析】,,,,
故为奇函数,又,在R上单调递增,
,,,,,即函数值域为
令,即,解得,故函数有且只有一个零点0.综上可知,AC正确,BD错误.
故选AC
15．（2021湖南省常德市高三下学期一模）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】函数,在上单调递增,∴,故A错误；函数,在上单调递减,,函数,在上单调递增,,,故B正确；函数单调递减,,故C正确；
,故D错误,故选BC．
16.若函数,则下述正确的有（ ）
A． 在R上单调递增 B．的值域为
C． 的图象关于点对称 D． 的图象关于直线对称
【答案】AC
【解析】因为是定义在R上的增函数,是定义在R上的减函数,所以在R上单调递增,故A正确；因为,故B错误；
因为,
所以的图象关于点对称,故C正确,D错误．故选AC．
17．若实数,,满足,其中,则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】由条件可知,,,,且,,所以,,即,故A正确；,,即,故B正确；,,因为,所以,即,故C正确；
,,即,故D不正确.故选ABC
18．（2021福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”高三三校联考）已知实数,且,,,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由题意,可表示为函数,,分别与函数交点的横坐标,分别作出函数图像,由图可知,,故B正确；因为,左右两边取对可得,即,同理可得,,因为函数在上为增函数,且,所以,即,故D正确.
故选BD

三、填空题
19．（2021北京市延庆区高三模拟考试）同学们,你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上,两根电线杆之间的电线；峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为（其中,是非零常数,无理数…）,对于函数以下结论正确的是______．
①如果,那么函数为奇函数；
②如果,那么为单调函数；
③如果,那么函数没有零点；
④如果那么函数的最小值为2．
【答案】②③
【解析】对①：当时,函数,此时为偶函数,故①错误.
对②：当时,令,函数在其定义域上为单调递增函数,函数在其定义域上也为单调递增函数,故函数在其定义域上为单调递增函数；当,函数在其定义域上为单调递减函数,函数在其定义域上也为单调递减函数,故函数在其定义域上为单调递减函数；综上：如果,那么为单调函数；故②正确.
对③：当时,函数,
当时,函数；
综上：如果,那么函数没有零点；故③正确.
对④：由,则,
当时,函数；
当时,函数；
故时,函数没有最小值；故④错误.故答案为②③
20．若存在实数,使得函数在上的值域是,则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由在上是增函数,可得,故是方程的两个根,所以方程有两个不相等的实根,设,问题转化为方程有两个不相等的正根,所以,解得,所以实数a的取值范围是.
21．（2021江苏省南通高三数学全真模拟）已知函数
（1）若,则函数的零点是________；
（2）如果函数满足对任意,都存在,使得,称实数为函数的包容数.在给出的① ；② ；③ 三个数中,为函数的包容数是________．（填出所有正确答案的序号）
【答案】；②③
【解析】（1）当,,令,即或解得,故函数的零点为
（2）由题意可得的值域为的值域的子集,
当时,由时,；
由时,, ,不满足题意；
当时,由时,；
由时,,,,,满足题意；
当时,由时,,；
由时,, ,满足题意．
综上可得函数的包容数是②③．
故答案为：；②③
四、解答题
22．（2021上海市青浦高级中学高三三模）已知函数.
（1）设是图象上的两点,直线斜率存在,求证：；
（2）求函数在区间上的最大值.
【解析】（1）∵单调递增,单调递减,
∴在定义域上是单调增函数,而,
∴恒成立,结论得证.
（2）由题意,有且,
令,则,开口向上且对称轴为,
∴当,即时,,即；
当,即时,,即；
23．（2021豫南九校高三上期教学指导卷）已知函数的图象关于原点对称.
（1）求实数的值；
（2）若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意,,解得,
所以,
所以
所以函数为奇函数,符合题意.
（2）由（1）,易知在上单调递增.
因为,
所以,
所以,
即
即在上恒成立,
令,则,对时恒成立,
①当,即时,,对时恒成立；
②当,即时,
由题意,得或,
解得.
综上,实数的取值范围是.
24．已知函数,函数．
（1）若函数的图象过点,求m的值；
（2）在（1）的条件下,求函数在区间上的最小值；
（3）若对,都存在,使得,求m的取值范围．
【解析】（1）由得：,
令,则
所以或（舍）,则
（2）由（1）知函数
令,,则：
当时递增,函数在上递增,
所以函数在R上递增,
则当时,；
另一方面,函数的图象关于对称,且先增后减,
则当时,,
所以,当且仅当时,的最小值为
（3）法1：与问题（2）同理,
已知函数在R上单增,
故在上的值域为,
设的值域为B,则,
①当时,当时,
函数在上递减,
故,
设函数,
令,,则：
当时,递减,
函数在上递增,
所以函数在R上递减,
故当时,,
即,不满足；
②当时,的图象关于对称,
且在递增,在上递减,
故,又,
故,
由情况①知,
即,
不满足；
③当时,的图象关于对称,
且在递增,在上递减,
故,又,
故,,
由有：,所以此时；
④当时,当,函数在上递增,
故,
由有：,所以此时；
综合①②③④有：
法2：与问题（2）同理,
易知函数在R上单增,
故在上的值域为,
设的值域为B,则
函数,则,
因此只需在上的最小值即可．
由于函数的图象关于对称,且先增后减,
故当时,,
又
则必有：,
而当,时,
在上递增,此时,
故当且仅当时,满足,
因此所求范围为．