清单 10函数的图象、函数与方程及函数的应用（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单 10函数的图象、函数与方程及函数的应用（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共35页。试卷主要包含了作函数的图象的两种基本方法，函数图象的辨识可从以下方面入手，函数图象主要应用于以下方面，图象对称性的证明，涉及函数图象对称性的几个结论，函数的零点，函数有零点的几个等价关系，函数的零点存在性定理等内容，欢迎下载使用。

1.作函数的图象的两种基本方法
(1)利用描点法作图,其一般步骤为：
①确定函数定义域；
②化简函数解析式；
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；
④描点并作出函数图象．
(2)图象变换法．
图象变换法,若函数图象可由基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
【对点训练1】作函数y＝eq \f(2x－1,x－1)的图象
【解析】y＝eq \f(2x－1,x－1)＝2＋eq \f(1,x－1),故函数的图象可由y＝eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图所示．
2．图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f (x)eq \(―――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f (x)．
②y＝f (x)eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f (－x)．
③y＝f (x)eq \(―――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f (－x)．
④y＝ax(a>0且a≠1)eq \(―――――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
(4)翻折变换
①y＝f (x)eq \(――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f (x)|.
②y＝f (x)eq \(―――――――――――→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f (|x|)．
【对点训练2】为了得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10)的图象,只需把函数y＝lgx的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
【答案】C
【解析】因为y＝lg eq \f(x＋3,10)＝lg(x＋3)－1.故选C.
3.函数图象的辨识可从以下方面入手
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复；
(5)从函数的特殊点,排除不合要求的图象．
【对点训练3】（2021四川省宜宾市高三三模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意,,其定义域为,由,即函数为奇函数,排除D,由,排除A,当时,,排除C,故选B.
4.函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数的最值；⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；求函数周期；求参数范围等．
【对点训练4】（宁夏回族石嘴山市高三二模）已知函数若方程有且仅有两个不等实根,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】已知,作出函数图像,
通过函数图像可以看出,当,函数无限趋近于1,但不等于1,当,函数无限趋近于0,但不等于0,所以有且仅有两个不等实根,可以得到.故选B.
5.图象对称性的证明
(1)证明函数的对称性,即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．
(2)证明曲线C1与C2的对称性,即证明C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在C2上,反之亦然．
【对点训练5】已知函数（）为奇函数.
（1）求实数a；
（2）设函数.
①求；
②试证明函数的图象关于点对称.
【解析】（1）因为为奇函数,所以对定义域内任意x,都有,
即,
则对定义域内任意x恒成立,所以,即,
由条件知,得到.
（2）①因为为奇函数,所以.
则,
所以.
②因为,所以函数的定义域为.
设点为图象上任意一点,则,
下证：点关于的对称点也在函数的图象上.
因为
,
所以也在函数的图象上,
即函数的图象关于点对称.
6.涉及函数图象对称性的几个结论
(1)若,则的图象关于直线对称；
(2)的图象与的图象关于直线对称；
(3)若,则的图象关于点对称.
【对点训练6】（2021四川省宜宾市高三三模）已知是定义在上的奇函数,满足,下列说法：
①的图象关于对称；
②的图象关于对称；
③在内至少有5个零点；
④若在上单调递增,则它在上也是单调递增.
其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．②③④D．①③④
【答案】D
【解析】由于是定义在上的奇函数,满足,所以,整理得,,所以
故对于①,函数的图象关于对称,故①正确,②错误.
对于③,函数,,,由于,
令,所以,整理得,,故③正确；
对于④,,所以函数在上单调递增,则它在上单调递增,故④正确；故选D.
7.函数的零点
对于函数y＝f (x)(x∈D),把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．
【解读】
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标,函数的零点是一个实数,不是一个点.当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.
(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图象与x轴无交点,如函数y=5,y=x2+1就没有零点.
方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点.若函数y=f(x)有零点,则零点一定在其定义域内.
【对点训练7】（2021湖北省黄冈中学高三5月适应性考试）若函数在区间（－1,1）上有两个不同的零点,则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．（2,＋∞）D．（0,2）
【答案】B
【解析】因为为开口向上的抛物线,且对称轴为,在区间（－1,1）上有两个不同的零点,
所以,即,解得,所以实数a的取值范围是.
故选B
8.函数有零点的几个等价关系
方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．
【对点训练8】（2021陕西省汉中高三下学期模拟）关于函数,下列说法正确的是（ ）
A．函数有2个零点B．函数有4个零点
C．是函数的一个零点D．是函数的一个零点
【答案】A
【解析】令,解得：或,所以函数有2个零点.
故选A
9.函数的零点存在性定理
如果函数y＝f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a)·f (b)<0,那么,函数y＝f (x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f (c)＝0,这个c也就是方程f (x)＝0的根．
【对点训练9】（北京市清华附中2021届高三考前热身）函数的零点一定位于区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得为连续函数,且在单调递增,
,,,
根据零点存在性定理,,所以零点一定位于区间.故选C
10.理解函数零点存在定理要注意三点：
(1)“函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可．如图①仅满足前者,图②仅满足后者,两函数均无零点．


图① 图②

(2)定理不可逆,就是说满足了(1)中的两个条件的函数一定有零点,但是一个函数有零点,不一定需要具备这两个条件．如图③f(a)f(b)＞0,但函数有零点．


图③ 图④

(3)该定理只能判断出零点的存在性,而不能判断出零点的个数．至少存在一个零点,就是说满足了(1)中的两个条件的函数一定至少有一个零点,但不一定只有一个零点,可能有其他更多的零点,如图④.但若该函数是单调函数,则有唯一零点．
【对点训练10】下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是 ( )

A B
C D

【答案】C
【解析】能用二分法求零点的函数的图象必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)<0.A,B中不存在f(x)<0,D中函数不连续．故选C.
11.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
【对点训练11】（2021浙江省杭州市高三5月模拟）已知二次函数有两个不同的零点,若有四个不同的根,且成等差数列,则不可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】设的两个不同零点为m,n,且m>n,
所以,,且,
又因为有四个不同的根,
所以对应的根为,对应的根为,
所以,,
所以,
同理,
因为成等差数列,
所以,则
所以,解得,
因为m>n,所以,解得,
所以,
所以当时,有最大值,所以不可能为3.故选D
12.确定函数零点个数的方法
(1)利用方程的根,转化为解方程,方程有几个根相对应的函数就有几个零点.
(2)利用函数y=f(x)的图象与x轴的交点的个数,从而判定零点的个数.
(3)结合函数的单调性.若函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,利用f(a)·f(b)<0,结合单调性可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点问题.
【对点训练12】（2021辽宁省高三决胜新高考名校交流5月联考）函数的零点个数为（ ）
A．B．或C．或D．或或
【答案】A
【解析】因为函数,所以,因为,
所以,从而在R上单调递增,又当时,,当时,,由零点存在定理得：函数有且只有一个零点.故选A.
13.判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值.
(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.
(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.
【对点训练13】已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表：那么函数f(x)一定存在零点的区间是（ ）
A．(﹣∞,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)
【答案】C
【解析】由题意可知：f（3）=﹣3.5<0,f（2）=2.9>0,所以f（2）f（3）<0.函数f(x)一定存在零点的区间是(2,3).故选C.
14.根据函数零点的情况求参数有三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解．
【对点训练14】（2021河南省新乡市高三三模）已知函数.若关于的方程恰有两个不同的实根,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时,,故不是方程的根,当时,由得,,方程恰有两个不同的实根等价于直线y=a与函数的图像有两个不同的交点,作出函数的大致图像如图所示,
由图可知,或.故选C.
15.用二分法求函数f(x)满足给定的精确度的零点近似值的步骤如下：
第一步,确定初始区间[a0,b0],验证f(a0)·f(b0)＜0,给定精确度ε；
第二步,求区间[a0,b0]的中点x0＝eq \f(a0＋b0,2)；
第三步,计算f(x0)：
①若f(x0)＝0,则x0就是函数的零点；
②若f(a0)·f(x0)＜0,则令a1＝a0,b1＝x0(此时零点∈[a1,b1])；
③若f(a0)·f(x0)＞0,则令a1＝x0,b1＝b0(此时零点∈[a1,b1])；
第四步,判断区间[a1,b1]是否达到精确度ε：即若|a1－b1|＜ε,则得到零点近似值a1(或b1)；否则重复第二到四步．
【对点训练15】（2021宁夏六盘山市高三上学期期末）用二分法求函数的一个零点,根据参考数据,可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（ ）（参考数据：,,,,）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：,
,又因为函数在上连续,所以函数在区间上有零点,约为,故选C.
16.几类函数模型
【对点训练16】果农采摘水果,采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天,这种水果失去的新鲜度为10%,采摘后20天,这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知,结果取整数）（ ）
A．23天B．33天C．43天D．50天
【答案】B
【解析】,故,故,令,∴,故,故选B.
17.三种函数模型的性质
【对点训练17】（2021湖南省衡阳市高三下学期考前预测）数字通信的研究中,需要解决在恶劣环境（噪声和干扰导致极低的信噪比）下的网络信息正常传输问题.根据香农公式,式中是信道带宽（赫兹）,是信道内所传信号的平均功率（瓦）,是数据传送速率的极限值,单位是为信号与噪声的功率之比,为无量纲单位（如：,即信号功率是噪声功率的1000倍）,讨论信噪比时,常以分贝为单位即（信噪比,单位为）.在信息最大速率不变的情况下,要克服恶劣环境影响,可采用提高信号带宽的方法来维持或提高通信的性能.现在从信噪比的环境转到的环境,则信号带宽大约要提高（ ）
（附：）
A．10倍B．9倍C．2倍D．1倍
【答案】B
【解析】,
,
所以,,
所以,所以,即大约提高9倍.故选B.
18.几类函数模型的选择
(1)一次函数模型:当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数,一次函数的图象为直线.
(2)二次函数模型:二次函数是常用的重要模型,y是x或其他量的二次函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域.
(3)指数函数模型、对数函数模型:当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同,则为指数函数模型或对数函数模型,一般与增长率、衰减率、利息等现实生活联系紧密.
【对点训练18】（湖南省益阳市高三4月模拟）我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据,分别是小数记录与五分记录,如图所示(已隐去数据),其部分数据如表：
现有如下函数模型：①,②,表示小数记录数据,表示五分记录数据,请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时,医生告诉他的视力为4.7,则小明同学的小数记录数据为（ ）(附：)
A．0.3B．0.5C．0.7D．0.8
【答案】B
【解析】由数据可知,当时,,两个都符合,但当时,由,得,与表中的数据符合,而,与表中的数据不符合,所以选择模型更合适,此时令,则,所以.故选B.
19.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案．
【对点训练19】（江苏省泰州中学高三下学期四模）中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明,某种绿茶用的水泡制,再等到茶水温度降至时饮用,可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某硏究人员每隔测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况,下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且.故选B.
20. 增长率问题,在实际问题中常可以用指数型函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)和幂型函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式表示．解题时,往往用到指对数运算．
【对点训练20】根据2020年央行商业贷款基准利率的有关规定：一年以下（含一年）年利率为4.35%；至三年（含三年）利率为4.75%,三至五年（含五年）利率也为4.75%,五年以上利率为4.9%.某人向银行贷款100万元,按年复利的话,五年后一次性还清,则需要还款（ ）
A．万元B．万元
C．万元D．万元
【答案】C
【解析】由题意可知一至五年的利率均为,此人贷款100万元,五年后一次还清,
则五年后应还款为：100万元本金和五年内产生的利息,即万元,故选C
21.函数模型的选择
解题过程中选用哪种函数模型,要根据题目具体要求进行抽象和概括,灵活地选取和建立数学模型．一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升,则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(指数爆炸),则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大,函数值的增大速度越来越慢,则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系,不能用同一个关系式表示,则选择分段函数模型等．另外,常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题,通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型,特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变,则常选择指数型函数模型．
【对点训练21】某小区物业从某供应商购进定量小包装果蔬,供本小区居民扫码自行购买,每份成本20元,售价25元,若当天没有售出,供应商以每份15元回收．
（1）若某天物业购进21份,求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份,）的函数解析式．
（2）物业对20天该小区对这种小包装果蔬的日需求量（单位：份）进行统计,得到条形图如图：
①若这20天物业每天购进21份,求这20天的日平均利润；
②从日需求量为20与21的6天中任取1天、日需求量为23与24的6天中任取1天,若抽取的2天的日需求量之和为,求的分布列与数学期望．
【解析】（1）当时,日利润,
当时,日利润,．
∴关于的函数解析式为．
（2）①由（1）知,日利润为75元的天数为1,日利润为85元的天数为1,日利润为95元的天数为2,日利润为105元的天数为16,
这20天的日平均利润为（元）．
②由题知,日需求量为20的天数为2,日需求量为21的天数为4,日需求量为23的天数为4,日需求量为24的天数为2,的所有可能取值为43,44,45,
且,,,
∴的分布列为
∴．
22.解函数应用问题的步骤
(1)审题：数学应用问题的文字叙述长,数量关系分散且难以把握,因此,要认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实际背景,收集整理数据信息,这是解答数学问题的基础．
(2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括,将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,合理引入自变量,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数),将实际问题转化为数学问题,即实际问题数学化,建立数学模型．
(3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答,求得结果．
(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义,回答数学应用题提出的问题．
以上过程可以用示意图表示为：

【对点训练22】（上海市嘉定区高三三模）数学建模小组检测到相距3米的A,B两光源的强度分别为a,b,异于A,B的线段上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和,设米.
（1）假设某处的光强度与光源的强度成正比,与到光源的距离的平方成反比,比例系数为常数,测得数据：当时,；当时,,求A,B两处的光强度,并写出函数的解析式；
（2）假设某处的光强度与光源的强度成正比,与到光源的距离成反比,比例系数为常数,测得数据：当时,；当时,,问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度.
【解析】（1）由已知,得
所以,,故,.
（2）由已知,得,所以,
故,.
因为,
当且仅当
所以当时的C处,光强度最弱为．
跟踪检测
一、单选题
1．（2021广东省肇庆市高三下学期5月模拟）某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化,设第天进店消费的人数为y,且y与(表示不大于t的最大整数)成正比,第1天有10人进店消费,则第4天进店消费的人数为（ ）
A．74B．76C．78D．80
【答案】C
【解析】由题可设,当时,代入可得,解得,
所以,令,则,故选C
2.（2021河北省秦皇岛市高三二模）已知,,,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】,,因为在R上单调递增,且,,所以,所以.故选C
3.（2021广西玉林市第高三下学期高考热身考试）函数的部分图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为,所以,解得,即函数的定义域为,又,故函数为奇函数,排除B；
当时,,,所以,故排除CD；故选A
4.（2021浙江省高考数学试题）已知函数,则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A,,该函数为非奇非偶函数,与函数图象不符,排除A；
对于B,,该函数为非奇非偶函数,与函数图象不符,排除B；
对于C,,则,
当时,,与图象不符,排除C.故选D.
5.已知函数,若方程有四个不同的解且,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.先作图象,由图象可得
因此为,,
从而.故选A
6.（2021北京市顺义区高三二模）把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是,空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得,其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体,放在10℃的空气中冷却,以后物体的温度是38℃,则k的值约为（ ）
A．0.25B．C．0.89D．
【答案】A
【解析】由题意可知：,当,,时,,代入公式得：即,则.故选A.
7.（2021山东省泰安肥城市高三三模）某化工厂对产生的废气进行过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：,其中是正的常数．如果在前消除了的污染物,则污染物减少需要花费的时间为（ ）
（精确到,参考数据）
A．30B．31C．32D．33
【答案】D
【解析】由题意当时,,当时,,
所以,解得,所以．
当时,有,
即,解得．故选D．
8.（2021. 江西省高三5月适应性联考）已知函数,若函数,仅有1个零点,则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令,故,作出函数的大致图像如图所示,观察可知,临界状态为直线与曲线在处的切线,当时,,则,所以切线的斜率为,所以,故选A.
9．（2021广西柳州市高三下学期三模）若的图象上两点关于原点对称,则称这两点是一对对偶点,若的图象上存在两对对偶点,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时,关于原点对称的函数为,恰有两对“对偶点” 与恰有个交点,（）,即与在上恰有个交点,因为,当或时,,函数为增函数,
当时, ,函数为减函数,且,,
故,解得.故选A
10.（2021安徽省合肥高三下学期最后一卷）已知函数,若关于x的方程有四个不同的解,则实数m的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设,则有四个不同的解,因为,
所以为偶函数,且当时,为增函数,所以当时,为减函数,
所以,即,当时,,
则,令,解得,所以当时,,为减函数,当时,,为增函数,又,
作出时的图象,如图所示：

所以当时,的图象与图象有2个交点,且设为,
作出图象,如下图所示：
此时与分别与有2个交点,即有四个不同的解,满足题意.
综上实数m的取值范围为.故选A
11.（2021四川省天府名校高三4月诊断）设函数,已知且,若的最小值为,则的值为（ ）
A．B．C．或D．2
【答案】A
【解析】令,由图象可知.
因为,则,,得,,所以.
令,则,∴当时,在上单调递减,
所以,解得；∴当时,在上单调递减,在上单调递增,所以,解得,舍去.综上可得.
故选A.
12．（2021天津市武清区高三下学期高考热身训练）设函数若方程恰有2个实数解,则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】化简得
,当时,设
∴,
当时,,在上单调递增；
当时,,在上单调递减；
,且当时, ；
当时,设
易知函数在分别单调递减,
画出函数图像
根据图像可得.故选D.
二、多选题
13．（2021辽宁省高三高考压轴试卷）设函数,则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上单调递减
C．若且时,
D．关于的方程恒有个不同的实根
【答案】AC
【解析】对于A选项,,
故函数的图象关于直线对称,A选项正确；
对于B选项,当时,,,
则,故函数在上单调递增,B选项错误；
对于C选项,若,则,
不妨设,由,可得,
即,故,即,亦即,C选项正确；
对于D选项,当时,由,可得,解得或,D选项错误.
故选AC.
14.（2021江苏省泰州市高三下学期考前练）已知,若函数有两个零点,有两个零点,则下列选项正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】因为函数有两个零点,
所以,所以,
令=0,所有两个零点,
所以,所以,
因为,所以,
因为,所以选项A正确；
因为,
所以因为,
所以,所以选项B正确；
因为,所以选项C错误；
,
所以,所以选项D错误.故选AB
15．已知函数,则下列结论正确的是（ ）
A．函数的周期为1
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上有3个零点
D．函数在[0,2]上的最大值为1
【答案】BD
【解析】对于A选项,由题可知,,,因为,所以函数的周期不为1,选项A错误．对于B选项,因为,所以函数的图象关于直线对称,选项B正确．对于C选项,令,得或,解得或,,所以函数在上有4个零点,选项C错误．
对于D选项,当时,,,所以单调递减,；当时,,所以；当时,．故在[0,2]上的最大值为1,选项D正确,故选BD．
16.（2021广东省广州市高三下学期二模）对于函数,则下列结论中正确的是（ ）
A．任取,都有恒成立
B．
C．对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是
D．函数有且仅有个零点
【答案】BC
【解析】作出的大致图象如下图所示：
A．取,所以,
所以,故错误；
B．因为,
所以,故正确；
C．显然不符合条件,
由图象可知：的最大值点为,,
所以若不等式恒成立,只需,即,
又因为,所以在上递减,
所以,所以,故正确；
D．令,当时,,,
又,所以,
所以,所以在上有零点,
又因为,所以是的一个零点,
又因为,且时,,所以,
所以在上有零点,所以至少有三个零点,故错误；故选BC.
17．（2021辽宁省沈阳市高三三模）已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,,那么函数在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．B．C．6D．8
【答案】BC
【解析】函数是上的奇函数,,时,,
当时,可得或,当时,令,即,若时,显然无解,
若时,,即时,在上有一个零点
当时,在上没有零点,
综上,由函数是奇函数知,时,函数有4个零点,
当时,函数有6个零点．故选BC．
三、填空题
18．（2021福建省厦门市高三5月二模）已知函数则函数的所有零点之和为___________.
【答案】
【解析】时,,,由,可得或,或；
时,,,由,可得或,或；
函数的所有零点为,,,,所以所有零点的和为
19．（2021江苏省南京师范大学《数学之友》高三下学期一模）若函数存在个零点,则所有这些零点的和等于_____________．
【答案】
【解析】函数,且,,
即是其定义域上的奇函数,其图象关于点(0,0)对称,而,
则图象可由图象右移一个单位而得,于是图象关于点(1,0)对称,
因存在个零点且点(1,0)不在图象上,从而为偶数,
设这个零点依次为,点与关于点(1,0)对称,即,所以.
20．（2021湖南省衡阳市高三下学期考前预测）已知函数,则方程（是自然对数的底数）的实根个数为__________.
【答案】6
【解析】令,方程为：,即,
与 的性质如下：
1、：在上单调递增,值域为；上递增,上递减,
值域为且、；上单调递增,值域为；
2、：过定点,定义域上单调递减；
∴可得函数图象如下图示,
∴共有三个交点,横坐标分别为 ,且,
∴当,显然无解；当时,有四个实根；当时,有两个实根,
∴如下图示：一共有6个实根.
21．（2021天津市河西区高三下学期质量调查）设函数,若,则的最小值为___________；若恰有2个零点,则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】,当时,；
当时,的对称轴为,所以,
所以的最小值为；若恰有2个零点,
当在上有个零点时,即,即时,
此时必须且只需在上有个零点,即,
所以,所以此时；
当在上没有零点,即或时,
此时必须且只需在上有个零点,所以,
所以此时.
综上,的取值范围是
四、解答题
22．（2021上海市青浦高三三模）某温室大棚规定,一天中,从中午12点到第二天上午8点为保温时段,其余4小时为工作作业时段,从中午12点连续测量20小时,得出此温室大棚的温度(单位：摄氏度)与时间(单位：小时)近似地满足函数关系,其中为大棚内一天中保温时段的通风量.
（1）当时,若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变,求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到)；
（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于,求大棚一天中保温时段通风量的最小值.
【解析】（1）由题设知：,又均单调递减,
∴在上单调递减,故当时,,
∴大棚一天中保温时段的最低温度.
（2）由题意,且,
∴当时,由（1）知递减,故只要即可,则,
当时,,
当且仅当时等号成立,故只要即可,则,
若有,此时成立.
∴综上,在上,要保持一天中保温时段的最低温度不小于,
大棚一天中保温时段通风量的最小值为
23．（2021四川省天府名校高三5月诊断）已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）画出函数的大致图象,并说明理由；
（3）求函数的零点的个数.
【解析】（1）函数的定义域为R,且,
令得,则,的变化情况如下表示：
∴得单调递减区间是,单调递增区间是.
当,有极小值为,无极大值.
（2）令有：当时,；当时,,且经过,,.
当,与一次函数相比,指数函数增长更快,从而；
当时,,,
根据以上信息,画出大致图象：
（3）函数的零点的个数为与的交点个数.
由（1）及（2）的图象,当时,有极小值.
∴关于函数的零点个数有如下结论：
当时,零点的个数为0个；
当或,零点的个数为1个；
当时,零点的个数为2个.
24．（2021山东省济南市高三一模）已知函数.
（1）若,求的最小值；
（2）若恰好有三个零点,求实数的取值范围.
【解析】（1）时,.
当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
此时的极小值为；
当时,在上单调递减,在上单调递增,
此时的极小值为；
因为,所以的最小值为；
（2）显然；
因为时,有且只有一个零点,
所以原命题等价于在上有两个零点.
所以,解得,
故实数的取值范围是.Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
x
1
2
3
4
f(x)
6.1
2.9
﹣3.5
﹣1
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f (x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠0)
反比例函数模型
f (x)＝eq \f(k,x)＋b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型
f (x)＝ax2＋bx＋c
(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型
f (x)＝bax＋c
(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数函数模型
f (x)＝blgax＋c
(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数模型
f (x)＝axn＋b(a,b为常数,a≠0)
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0,＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有lgax小数记录
0.1
0.12
0.15
0.2
…
？
…
1.0
1.2
1.5
2.0
五分记录
4.0
4.1
4.2
4.3
…
4.7
…
5.0
5.1
5.2
5.3
43
44
45
x
0
单调递减
单调递增