清单14 三角函数的图象与性质（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单14 三角函数的图象与性质（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共25页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

清单14 三角函数的图象与性质
一、知识与方法清单
1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是：(0,0),,(π,0),,(2π,0)．
(2)在余弦函数y＝cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是：(0,1),,(π,－1),,(2π,1)．
【对点训练1】已知函数.

（1）用“五点法”作出在上的简图.
（2）由图象写出在上的单调区间.
【解析】（1）列表：

0













1

1

1

描点､连线如图所示：

（2）由函数图象可知,在上的单调增区间为,,单调减区间为.
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象



定义域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间



递减区间


无
对称中心



对称轴方程


无
【对点训练2】（2021上海市高三模拟）设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为,,…,,若,则___________.
【答案】
【解析】因为,则有或,,,
解得或,,,又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为,,…,,所以,,,,,,…,
故,,所以,即,
则,解得,故.
3.三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域经常借助两个工具,即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴；③对于较为复杂的求三角函数的定义域问题,应先列出不等式(组)分别求解,然后利用数轴或三角函数线求交集．
【对点训练3】（2021江苏省镇江市高三上学期10月月考）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知, 由,解得
由解得,,
当时,由,解得.当时,区间和无交集；
当时,区间和无交集；所以函数的定义域.故选A.
4.y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的值域,可根据（或
）来求.
【对点训练4】的值域为
【答案】
【解析】当时,当时,所以的值域为.
5. 求y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)在某一区间上的值域,先求出ωx＋φ在区间的范围,然后根据单调性求解．
【对点训练5】（2021福建省福州一中高三五模）函数,的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】

因为,所以
故当,即时,,故选A.
6.形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式,再求值域；
【对点训练6】（2021天津市河西区高三下学期二模）函数的值域为（ ）
A．[-2,2] B．
C．[-1,1] D．
【答案】B
【解析】f(x)=sinx-cos=sinx-cosx+sinx=sinx-cosx=sin,
所以函数f(x)的值域为,故选B
7.形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数求值域,可先设sinx＝t,化为关于t的二次函数求值域；
【对点训练7】（2021年北京市高考数学试题）函数,试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A．奇函数,最大值为2 B．偶函数,最大值为2
C．奇函数,最大值为 D．偶函数,最大值为
【答案】D
【解析】由题意,,所以该函数为偶函数,
又,
所以当时,取最大值.故选D.
8.形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数,可先设t＝sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域．
【对点训练8】的值域为
【答案】.
【解析】,设,则,当,当,.
9.分式形式的函数求值域,要注意定义域的限制,
【对点训练9】的值域为
【答案】
【解析】,
因为,所以的值域为.
10. 周期函数的定义
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有________________,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【对点训练10】（2021年全国高考乙卷真题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【解析】由题,,所以的最小正周期为,最大值为.
故选C．
11. 求三角函数周期的方法
①利用周期函数的定义．
②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
【对点训练11】（2021江西省贵溪市高三5月四模）函数的最小正周期是 （ ）
A．对 B．错
【答案】A
【解析】函数的最小正周期是.故选A.
12.注意区分下面几组函数的最小正周期：
(1);(2);(3);(4)
【对点训练12】的最小正周期为
【答案】
【解析】,所以其最小正周期为.
13.求三角函数单调区间的两种方法：①求函数的单调区间应遵循简化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”②求形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间时,要视“ωx＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．若ω＜0,应先用诱导公式化x的系数为正数,以防止把单调性弄错．
【对点训练13】已知函数f(x)＝4sin(－2x),x∈[－π,0],则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．[－π,－] B．[－π,－]
C．[－π,－π],[－,0] D．[－π,－π],[－,0]
【答案】C
【解析】f(x)＝4sin(－2x)＝－4sin(2x－)．
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z),得
－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)．
所以函数f(x)的递减区间是[－＋kπ,π＋kπ](k∈Z)．
因为x∈[－π,0],
所以函数f(x)的递减区间是[－π,－π],[－,0]．
14.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内,不属于的,可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数,则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较,与1比较等)求解．
【对点训练14】（2021江苏省淮安市高三下学期5月模拟）设,,,则,,的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为,所以有,
即,所以；
因为,而,
所以有,所以,即；
因为,而
所以；显然,,而,所以,即
所以,故选D
15.已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．
【对点训练15】若函数在上单调递增,则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由知,,在区间上单增,应满足：
,,解得,又,易知k只能取0,
解得,故选B
16.判断三角函数奇偶性时,必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间,如果是,再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性；如果不是,则该函数必为非奇非偶函数．另外,对较复杂的解析式,可选择先化简再判断,也可直接用－x取代x,再化简判断,还可利用f(－x)±f(x)＝0是否成立来判断其奇偶性．
【对点训练16】（2021东北两校（大庆实验中学、吉林一中）2021届高三4月联合模拟）已知函数在处取到最大值,则（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．关于点中心对称 D．关于轴对称
【答案】B
【解析】因为在处取到最大值,
即,其中,则,
所以,,所以,
则为偶函数．故选B．
17.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A,ω≠0),则：
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
【对点训练17】（2021天津市耀华中学高三下学期一模）已知,则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时,为奇函数；当是奇函数时,,
所以“”是“为奇函数”的充分不必要条件,故选A.
18. f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A,ω≠0)关于对称的充要条件是；关于点对称的充要条件是；
【对点训练18】（2021湖南省高三下学期3月联考）若曲线关于直线对称,则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵图象关于直线对称,∴,,
∴,,∵,∴当时,的最大值为.故选B.
二、跟踪检测
一、单选题
1．（2021北京市精华学校高三三模）下列函数中,既是奇函数又以为最小正周期的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A选项：是周期为的偶函数,故A不正确；
B选项：是周期为的奇函数,故B正确；
C选项：,周期为且非奇非偶函数,故C不正确；
D选项：是周期为的奇函数,故D不正确.故选B.
2．（2021四川省泸州市高三三模）已知函数（）的图象关于点对称,则的取值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】因为函数（）的图象关于点对称,所以,解得,故,故选B
3．（2021安徽省滁州市高三5月模拟）已知,,则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵,∴,∴,,,∴,故选D.
4．（2021山西省夏县高三上学期11月联考）已知的最小正周期为,若为第二象限角,且,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由的最小正周期可得,故,,
由为第二象限角,且可得,
故．故选B
5．（2021四川省仁寿第一中学高三仿真模拟）已知函数的最大值与最小值的差为,其图像与轴的交点坐标为,且图像的两个相邻的对称中心间距离为,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为,所以有,
,,即,,解得,
所以,又,即,而,所以．故,．故选C．
6．（2021四川省成都市石室中学高三三模）已知函数,则其大致图象是下列图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为定义域为,又,
所以函数是偶函数,故排除AD,结合选项BD,只需求解函数与直线在时交点的横坐标,令,,解得即,
当时,,所以函数与直线在时的第一个交点的横坐标为,结合函数图象可知,选项C符合题意,故选C.
7．（2021黑龙江省佳木斯一中高三下学期三模）设函数的最小正周期为.且过点.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．把函数向右平移个单位得到的解析式是
【答案】D
【解析】函数,
由于函数的最小正周期为. 所以,且过点.
所以,所以
,由,故,故A错误,
对于B：函数.
函数在上单调递减,所以函数在上单调递减,故B错误；
对于C：当时,,故C错误；
对于D：函数向右平移个单位,得到的图象,故D正确；故选D.
8．（2021江苏省南通学科基地高三高考数学全真模拟）已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】,令,,于是
,所以是奇函数,从而的最大值G与最小值g的和为0,而.故选B
9．（2021云南师范大学附属中学高三高考适应性月考）已知函数,则“函数在上单调递增”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分而不必要条件 D．必要而不充分条件
【答案】C
【解析】∵,
由“函数在上单调递增”,可得：,
,解得,是的真子集,所以由“函数在上单调递增”是的充分不必要条件.故选C.
10．（2021四川省射洪市高三高考考前模拟）已知函数,则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．是函数图象的一条对称轴
C．函数的图象关于点中心对称
D．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象
【答案】C
【解析】,
A．最小正周期,故正确；
B．因为为最小值,所以是图象的一条对称轴,故正确；
C．因为,所以的图象不关于点中心对称,故错误；
D．,的图象向右平移个单位后得到：
,故正确；故选C.
11．已知函数的图象关于原点对称,且在区间上是减函数,若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点,则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的图象关于原点对称,,
即,
因为区间上是减函数,所以在是增函数,
令,解得,
又是含原点的增区间,所以令,
则,所以,又,则解得,
在上的图象与直线有且仅有一个交点,
即在上仅有一个最小值,所以在仅有一个最大值,
由正弦函数的性质,令,即,
所以有,解得,综上可得,即的最大值为.
故选B.
12．（2021甘肃省靖远县高三高考考前全真）函数在区间内单调递减,则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】,则,
因为函数在区间内单调递减,则,
所以,,解得,
由,可得,因为且,则,.
因此,正数的最大值为.故选B.
13．（2021山西省太原市高三一模）已知函数的图象关于对称,且,在上单调递增,则的所有取值的个数是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
【答案】D
【解析】由于函数的图象关于对称,
则：,①,
由于,所以②,
得：,
所以,故为奇数,
且在上单调递增,
所以,解得．
当,
故的取值为：1,3,5,7,
当时,可以求得,
时,,满足条件；
当时,因为,所以不满足条件；
当时,,
时,,满足条件；
当时,,,既有增区间,又有减区间,
所以不满足条件；
所以满足条件的的所有取值的个数是2,故选D．
二、多选题
14．已知函数(为常数,)的图象有两条相邻的对称轴和,则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增 D．的图象关于点对称
【答案】BC
【解析】由已知,函数的最小正周期,解得.
因为函数的图象关于直线对称,
所以,即,解得,
所以,
显然,函数的最大值为2,故A项错误；
当时,,
而函数的图象关于直线对称,故B项正确；
当时,,
当时,,
而函数在区间上单调递增,故C项正确；
当时,,
而函数的图象不关于点对称,故D项错误.故选BC.
15．（2021广东省惠州市高三下学期一模）已知函数,则下列结论正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上有2个零点
C．函数的图象关于点中心对称
D．函数的最小值为
【答案】CD
【解析】对于A,因为,排除A选项；
由,根据对称性,奇函数在上必定有奇数个零点,排除B选项；
设函数上任意点,则关于点对称的点为,
,
所以,总在函数上,故C选项正确；

令,则,或；
当时,；当时,；
所以,函数在为增函数,在为减函数；

选项D正确；故选CD.
16．已知函数在区间上的最大值为,最小值为,令,则下列结论中正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为1 D．当时,
【答案】AB
【解析】
．
A：当时,由,得,此时,
∴,,于是,正确．
由可得,所以函数的单调递增区间为．
当,即时,则有,而,
∴,即．
当,即时,．
∵函数的最小正周期,而区间的长度为,即,
∴由正弦函数的图象与性质可知,的最大值为,最小值为,故B正确,C错误．
D：当时,必有,或,,由于区间的长度为,即,所以,即,错误．故选AB
三、填空题
17．（2021黑龙江省哈尔滨市高三第四次模拟）函数的最小值为_______________________．
【答案】
【解析】由题设,,
∴当且仅当时,有.
18．若是区间上的单调函数,则正数的最大值是___________.
【答案】
【解析】,
由且,所以,
因为在上为增函数,所以,可得,
所以正数的最大值是.
19．已知函数(),若存在,,对任意,,则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
,
.
因为对任意,,所以,,
即,
因为,所以,,
所以.
20．已知函数在上恰有10个零点,则m的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
∵
,
∴,
∵在上恰有10个零点,∴在上恰有10个解,
∴,解得
四、解答题
21．在①是函数图象的一条对称轴,②是函数的一个零点,③函数在上单调递增,且的最大值为,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答．
已知函数,__________,求在上的单调递减区间．
注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．
【解析】


．
①若是函数图象的一条对称轴,
则,,即,,
得,,
又,∴当时,,．
②若是函数的一个零点,
则,即,,
得,．
又,∴当时,,所以,．
③若在上单调递增,且的最大值为．
则,故,所以．
由,,
得,,
令,得,令,得,
又,
所以在上的单调递减区间为,．
22．（2021黑龙江省哈尔滨市高三五模）已知函数图象经过点,,且在区间上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）当时,求的值域．
【解析】（1）由题意知,故,
又,,,即,,
因为,所以,
所以．
（2）,,
∵在单调递增,在单调递减,
所以,所以函数的值域为．
23．（2021福建省闽江口联盟校高三10月月考）已知函数．
（1）求的最小正周期和单调区间；
（2）用五点法作出其简图；
（3）求在区间上最大值和最小值．
【解析】
（1）
．
所以,函数的最小正周期,
令,解得．
令,解得．
所以,的单调增区间是,减区间是,；
(2)列表：

0
















作出函数图象如图：

（3）,,
所以,当时,取得最小值,当时,取得最大值2．