清单14 三角函数的图象与性质(原卷版)-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练
展开清单14 三角函数的图象与性质
一、知识与方法清单
1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
(2)在余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
【对点训练1】已知函数.
(1)用“五点法”作出在上的简图.
(2)由图象写出在上的单调区间.
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 | y=sinx | y=cosx | y=tanx |
图象 | |||
定义域 | R | R |
|
值域 | [-1,1] | [-1,1] | R |
周期性 | 2π | 2π | π |
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
递增区间 |
|
| |
递减区间 | 无 | ||
对称中心 | |||
对称轴方程 |
| 无 |
【对点训练2】(2021上海市高三模拟)设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为,,…,,若,则___________.
3.三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式);②求三角函数的定义域经常借助两个工具,即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴;③对于较为复杂的求三角函数的定义域问题,应先列出不等式(组)分别求解,然后利用数轴或三角函数线求交集.
【对点训练3】(2021江苏省镇江市高三上学期10月月考)函数的定义域是( )
A. B. C. D.
4.y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)的值域,可根据(或
)来求.
【对点训练4】的值域为
5. 求y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)在某一区间上的值域,先求出ωx+φ在区间的范围,然后根据单调性求解.
【对点训练5】(2021福建省福州一中高三五模)函数,的最小值为( )
A. B. C. D.0
6.形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域;
【对点训练6】(2021天津市河西区高三下学期二模)函数的值域为( )
A.[-2,2] B.
C.[-1,1] D.
7.形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数求值域,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域;
【对点训练7】(2021年北京市高考数学试题)函数,试判断函数的奇偶性及最大值( )
A.奇函数,最大值为2 B.偶函数,最大值为2
C.奇函数,最大值为 D.偶函数,最大值为
8.形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域.
【对点训练8】的值域为
9.分式形式的函数求值域,要注意定义域的限制,
【对点训练9】的值域为
10. 周期函数的定义
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有________________,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【对点训练10】(2021年全国高考乙卷真题)函数的最小正周期和最大值分别是( )
A.和 B.和2 C.和 D.和2
11. 求三角函数周期的方法
①利用周期函数的定义.
②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
【对点训练11】(2021江西省贵溪市高三5月四模)函数的最小正周期是 ( )
A.对 B.错
12.注意区分下面几组函数的最小正周期:
(1);(2);(3);(4)
【对点训练12】的最小正周期为
13.求三角函数单调区间的两种方法:①求函数的单调区间应遵循简化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”②求形如y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.若ω<0,应先用诱导公式化x的系数为正数,以防止把单调性弄错.
【对点训练13】已知函数f(x)=4sin(-2x),x∈[-π,0],则f(x)的单调递减区间是( )
A.[-π,-] B.[-π,-]
C.[-π,-π],[-,0] D.[-π,-π],[-,0]
14.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内,不属于的,可先化至同一单调区间内.若不是同名三角函数,则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较,与1比较等)求解.
【对点训练14】(2021江苏省淮安市高三下学期5月模拟)设,,,则,,的大小关系为( )
A. B.
C. D.
15.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
【对点训练15】若函数在上单调递增,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
16.判断三角函数奇偶性时,必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数必为非奇非偶函数.另外,对较复杂的解析式,可选择先化简再判断,也可直接用-x取代x,再化简判断,还可利用f(-x)±f(x)=0是否成立来判断其奇偶性.
【对点训练16】(2021东北两校(大庆实验中学、吉林一中)2021届高三4月联合模拟)已知函数在处取到最大值,则( )
A.奇函数 B.偶函数
C.关于点中心对称 D.关于轴对称
17.若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则:
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
【对点训练17】(2021天津市耀华中学高三下学期一模)已知,则“”是“为奇函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
18. f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)关于对称的充要条件是;关于点对称的充要条件是;
【对点训练18】(2021湖南省高三下学期3月联考)若曲线关于直线对称,则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、跟踪检测
一、单选题
1.(2021北京市精华学校高三三模)下列函数中,既是奇函数又以为最小正周期的函数是( )
A. B. C. D.
2.(2021四川省泸州市高三三模)已知函数()的图象关于点对称,则的取值不可能是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
3.(2021安徽省滁州市高三5月模拟)已知,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.(2021山西省夏县高三上学期11月联考)已知的最小正周期为,若为第二象限角,且,则( )
A. B. C. D.
5.(2021四川省仁寿第一中学高三仿真模拟)已知函数的最大值与最小值的差为,其图像与轴的交点坐标为,且图像的两个相邻的对称中心间距离为,则( )
A. B. C. D.
6.(2021四川省成都市石室中学高三三模)已知函数,则其大致图象是下列图中的( )
A. B.
C. D.
7.(2021黑龙江省佳木斯一中高三下学期三模)设函数的最小正周期为.且过点.则下列说法正确的是( )
A.
B.在上单调递增
C.的图象关于点对称
D.把函数向右平移个单位得到的解析式是
8.(2021江苏省南通学科基地高三高考数学全真模拟)已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为( )
A.0 B.2 C.4 D.6
9.(2021云南师范大学附属中学高三高考适应性月考)已知函数,则“函数在上单调递增”是“”的( )
A.充分必要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分而不必要条件 D.必要而不充分条件
10.(2021四川省射洪市高三高考考前模拟)已知函数,则下列说法错误的是( )
A.函数的最小正周期为
B.是函数图象的一条对称轴
C.函数的图象关于点中心对称
D.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象
11.已知函数的图象关于原点对称,且在区间上是减函数,若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
12.(2021甘肃省靖远县高三高考考前全真)函数在区间内单调递减,则的最大值为( )
A. B. C. D.
13.(2021山西省太原市高三一模)已知函数的图象关于对称,且,在上单调递增,则的所有取值的个数是( )
A.3 B.4 C.1 D.2
二、多选题
14.已知函数(为常数,)的图象有两条相邻的对称轴和,则下列关于函数的说法正确的是( )
A.的最大值为 B.的图象关于直线对称
C.在上单调递增 D.的图象关于点对称
15.(2021广东省惠州市高三下学期一模)已知函数,则下列结论正确的有( )
A.函数的最小正周期为
B.函数在上有2个零点
C.函数的图象关于点中心对称
D.函数的最小值为
16.已知函数在区间上的最大值为,最小值为,令,则下列结论中正确的是( )
A. B.的最大值为
C.的最小值为1 D.当时,
三、填空题
17.(2021黑龙江省哈尔滨市高三第四次模拟)函数的最小值为_______________________.
18.若是区间上的单调函数,则正数的最大值是___________.
19.已知函数(),若存在,,对任意,,则的取值范围是___________.
20.已知函数在上恰有10个零点,则m的取值范围是________________.
四、解答题
21.在①是函数图象的一条对称轴,②是函数的一个零点,③函数在上单调递增,且的最大值为,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知函数,__________,求在上的单调递减区间.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
22.(2021黑龙江省哈尔滨市高三五模)已知函数图象经过点,,且在区间上单调递增.
(1)求函数的解析式;
(2)当时,求的值域.
23.(2021福建省闽江口联盟校高三10月月考)已知函数.
(1)求的最小正周期和单调区间;
(2)用五点法作出其简图;
(3)求在区间上最大值和最小值.
清单33 抛物线(原卷版)-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练: 这是一份清单33 抛物线(原卷版)-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练,共12页。试卷主要包含了知识与方法清单,跟踪检测,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
清单32 双曲线(原卷版)-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练: 这是一份清单32 双曲线(原卷版)-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练,共13页。试卷主要包含了知识与方法清单,跟踪检测,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
清单31 椭圆(原卷版)-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练: 这是一份清单31 椭圆(原卷版)-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练,共11页。试卷主要包含了知识与方法清单,跟踪检测,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。