清单07 二次函数与幂函数（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单07 二次函数与幂函数（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共24页。试卷主要包含了二次函数解析式的三种形式，二次函数的图象与性质，二次函数在闭区间上的最值，一元二次方程根的讨论等内容，欢迎下载使用。

清单07 二次函数与幂函数
知识与方法清单
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ (a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝ (a≠0)．
【解读】根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,方法如下：

【对点训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,则二次函数的解析式为________．
【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7
方法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0),由题意得解之得
所以所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.
方法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),因为f(2)＝f(－1),所以抛物线对称轴为x＝＝,所以m＝,又根据题意,函数有最大值为8,所以n＝8,所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1,即
a＋8＝－1.解之得a＝－4.所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2,x2＝－1,即g(x)＝f(x)＋1的两个零点为2,－1,
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0),即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8,即＝8,解之得a＝－4,所以所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x－2×(－4)－1＝－4x2＋4x＋7.
2．二次函数的图象与性质
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线,它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：
(1)对称轴：x＝ ；
(2)顶点坐标：；
(3)开口方向：a＞0时,开口向上 ,a＜0时,开口向下；
(4)值域：a＞0时,y∈ ,a＜0时,y∈ ；
(5)单调性：a＞0时,f(x)在上是减函数,在上是增函数；a＜0时,f(x)在上是增函数,在上是减函数．
【解读】对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c,若是二次函数,就隐含a≠0,当题目未说明是二次函数时,就要分a＝0和a≠0两种情况讨论．②在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,a的正负决定抛物线开口的方向(a的大小决定开口大小),c确定抛物线在y轴上的截距,b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)．
【对点训练2】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分,图象过点A(－3,0),对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：



①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是 (　　)
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【答案】B
【解析】因为图象与x轴交于两点,所以b2－4ac＞0,即b2＞4ac,①正确；对称轴为x＝－1,即 －＝－1,2a－b＝0,②错误；结合图象,当x＝－1时,y＞0,即a－b＋c＞0,③错误；由对称轴为x＝－1知,b＝2a,又函数图象开口向下,所以a＜0,所以5a＜2a,即5a＜b,④正确．故选B.
3.根据二次函数单调性求参数范围,常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系,若二次函数在某区间上单调,则该区间在对称轴的一侧,若二次函数在某区间上不单调,则对称轴在该区间内（非端点）,
【对点训练3】（安徽省六安市高三上学期月考）如果函数在区间上单调递减,那么实数a满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由二次函数的对称轴为且开口向上,若在区间上单调递减,
可得：,解得,故选C.
4．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根,也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的端点．
【对点训练4】不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
∵不等式的解集为,∴,∴,
,图象开口向下,两个零点为．故选C．
5．二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得,可分别求值再比较大小,最后确定最值．
【对点训练5】（2021江苏省南通市高三上学期月考）若,使得不等式成立,则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为,使得不等式成立,所以,使得不等式成立,令,,因为对称轴为,,所以,
所以,故选C
6.含参二次函数在闭区间上的最值要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
【对点训练6】（2021浙江省台州市高三上学期期中）已知为正实数,函数,且对任意,都有成立.若对每一个正实数,记的最大值为,若函数的值域记为B,则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数的图象开口向上,对称轴为
①时,在,上为减函数,,
对任意的,,都有,．,即,
当,即时,,
当,即时,
②时,在,上为减函数,在,上为增函数,
则,,
,且,即,的最大值为
综上可得,当时,当时,
函数的值域为,故选．
7．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)
设x1,x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根,则x1,x2的分布范围与系数之间的关系如表所示．
根的分布
(m＜n＜p且m,
n,p均为常数)　
图象
满足的条件
x1＜x2＜m

①
m＜x1＜x2

②
x1＜m＜x2

③f(m)<0.
m＜x1＜x2＜n

④
m＜x1＜n＜x2＜p

⑤
m
⑥
只有一根


在区间(m,n)内

⑦ f(m)·f(n)<0.
【解读】对一元二次方程根的问题的研究,主要分三个方面：①根的个数问题,由判别式判断；②正负根问题,由判别式及韦达定理判断；③根的分布问题,依函数与方程思想,通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解
【对点训练7】已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根,其中一根在区间(－1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围．
【解析】(1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内,作出函数f(x)的大致图象,得


　　⇒
所以－ 故m的取值范围为.
(2)由抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内,作出函数f(x)的大致图象,得



⇒
,所以－ 故m的取值范围为.
8.幂函数的定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数．注意的系数为1.
【对点训练8】下列函数是幂函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由幂函数的定义可知是幂函数.
【提醒】注意与的区别,前者是幂函数,后者不是幂函数,虽然,但这两个函数的定义域不同,的定义域时,的定义域为.
9.幂函数解析式的确定
由于幂函数的形式是y＝xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式．
【对点训练9】已知幂函数(m∈N*)的图象经过点(2,),则=______．
【答案】
【解析】因为函数f(x)的图象经过点(2,),所以即
所以m2＋m＝2,解得m＝1或m＝－2.又因为m∈N*,所以m＝1,
10.的图象.
在同一坐标系内,这5个幂函数的图象如图所示,这5个幂函数代表了幂函数的5种基本类型,是考纲要求掌握的5个幂函数.

【对点训练10】幂函数(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,所以m2－4m<0,即0 又函数的图象关于y轴对称且m∈Z,又m2－4m为偶数,因此m＝2.
11.幂函数图象的规律
对于幂函数y＝xα的图象应注意以下两个方面：
(1)α的正负：α＞0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升；α＜0时,图象不过原点,过(1,1),在第一象限的图象下降．
(2)曲线在第一象限的凹凸性,α＞1时,曲线下凸；0＜α＜1时,曲线上凸；α＜0时,曲线下凸．
【对点训练11】幂函数y＝xa,当a取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)．设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα,y＝xβ的图象三等分,即有BM＝MN＝NA.那么αβ＝(　　)

A．1 B．2 C．3 D．无法确定
【答案】A
【解析】由条件得M,N,由一般性,可得＝,＝,即α＝log,β＝log.所以αβ＝log·log＝·＝1.故选A.
12.根据图象高低判断幂指数大小的方法
幂函数的幂指数的大小,大都可通过幂函数的图象与直线的交点纵坐标的大小反映．一般地,在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,图象越远离x轴(不包括幂函数y＝x0)．
在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴．
【对点训练12】如图,曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象,已知n取2,3,,－1四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n依次为 ．

【答案】3,2,,－1.
【解析】
解法一(数形结合法)：

如图,作直线x＝t(t>1),由于函数y＝xn的图象与直线x＝t的交点为(t,tn),可见指数n的大小与图象交点的“高低”是一致的,结合图象,可得答案．
解法二(特殊值法)：当x＝2时,y1＝23＝8,y2＝22＝4,y3＝20.5＝,y4＝2－1＝,∵8>4＞＞,∴y1＞y2＞y3＞y4,故填3,2,,－1.
13.幂函数的单调性
当α>0时幂函数在(0,＋∞)上单调递增；(2)当α<0时,幂函数在(0,＋∞)上单调递减．
【对点训练13】幂函数与在上都是单调递增函数,则满足条件的整数的值为（ ）
A. 0 B. 1和2 C. 2 D. 0和3
【答案】C
【解析】由题意可得： ,解得： ,故选C.
14.幂函数的奇偶性
形如y＝或y＝ (m,n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断
当m,n都为奇数时,幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数,n为偶数时,幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数,n为奇数时,幂函数在定义域上为偶函数.
【对点训练14】（2021北京市中国人民大学附属中学高三考前热身练）设则“的图象经过”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由,由的图像经过,则的值为,此时为奇函数.又当为奇函数时,则的值为,此时的图象经过.
所以“的图象经过”是“为奇函数”的充要条件,故选C
15.幂值大小的比较
比较两个幂的大小,首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同,可利用指数函数的单调性；如果指数相同,可转化为底数相同,或利用幂函数的单调性,也可借助函数图象；如果指数不同,底数也不同,则要利用中间量.
【对点训练15】（河南省九师联盟高三五月联考）已知,,,,则,,,的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数,则,当时,,
故在上单调递减,所以,所以,即,
所以,所以；因为在上单调递增,所以,
同理,所以,即.故选B.
16.把的图象通过伸缩与平移变换,可以得到的图象,利用图象可进一步研究函数的性质.
【对点训练16】的图象的对称中心的坐标为________．
【答案】
【解析】因为,所以的图象可由的图象向右平移3个单位,向上平移2个单位得到,由是奇函数,其图象关于原点对称,所以的图象关于点对称.
跟踪检测
一、单选题
1．（2021湖北省黄冈市高三下学期第四次模拟）设,,若,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为,所以,所以,因为函数,在上单调递增,且,所以.故选B
2.（2021安徽省六安市高三上学期月考）如果函数对任意的实数x,都有,那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对任意的实数,都有,函数的对称轴方程为.抛物线开口向上,称轴方程为,距离最近,距离最远,
.故选B.
3.（2021. 北京市延庆区高三模拟）已知定义在上的幂函数（为实数）过点,记,,,则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得.函数是上的增函数.
因为,,所以,
所以,所以.故选A
4.（江西省重点中学盟校高三第二次联考）已知函数是幂函数,直线过点,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由是幂函数,知：,又在上,
∴,即,则且,∴.
故选D.
5.（2021徽省合肥市高三6月最后一卷）若,则下列函数①；②；③；④；⑤满足条件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件,所以只有①②③⑤满足.故选D.
6.（2021浙江省杭州市高三5月模拟）已知二次函数有两个不同的零点,若有四个不同的根,且成等差数列,则不可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】设的两个不同零点为m,n,且m>n,
所以,,且,
又因为有四个不同的根,
所以对应的根为,对应的根为,
所以,,
所以,
同理,
因为成等差数列,
所以,则
所以,解得,
因为m>n,所以,解得,
所以,
所以当时,有最大值,所以不可能为3.故选D

7.（2021浙江省普通高中强基联盟协作体高三下学期统测安）已知,对任意的,．方程在上有解,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,,则,.
要对任意的,．方程在上都有解,
取,,此时,任意,都有,
其他的取值,方程均无解,则的取值范围是.故选D.
8.（2021浙江省台州市、绍兴市高三5月模拟）已知关于的不等式在上恒成立（其中、）,则（ ）
A．当时,存在满足题意 B．当时,不存在满足题意
C．当时,存在满足题意 D．当时,不存在满足题意
【答案】D
【解析】因为关于的不等式在上恒成立,
所以必需要满足、,
即对于函数,必有一零点为且零点左右函数值符号不同,
即当时,；当时,,
A项：,,令,,,
此时,不满足零点左右函数值符号不同,A错误；
B项：,,令,,,
此时,存在满足题意,B错误；
C项：,,令,,,
此时,不满足零点左右函数值符号不同,C错误；
D项：,,令,,,
此时,不满足当时且当时,,
即不存在满足题意,D正确,故选D.
9． （2021安徽省六安市高三上学期第一次月考）在同一直角坐标系中,指数函数,二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】指数函数图象位于x轴上方,据此可区分两函数图象．二次函数,有零点．A,B选项中,指数函数在R上单调递增,故,故A错误、B正确．C,D选项中,指数函数在R上单调递减,故,故C,D错误．故选B
10.已知函数,则“”是“方程有两个不同实数解且方程恰有两个不同实数解”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由表示开口向下的抛物线,对称轴的方程为,
要使得方程有两个不同实数,只需,要使得方程恰有两个不同实数解,设两解分别为,且,则满足,
因为时,,所以,所以必要性成立；
反之,设,即,当有两个正根,且满足,若,
此时方程恰有四个不同实数解,所以充分性不成立.所以“”是“方程有两个不同实数解且方程恰有两个不同实数解”的必要不充分条件.故选C.
11.已知是定义在上的奇函数,当时,,若存在实数,使在上的值域为,则的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】因为为奇函数,所以,如图,

由区间概念可推知,得,
（1）当时,,从而,即,所以,由图得在上为减函数,所以,这两个关系等价于“,是方程的两个根,且”,
由方程,得,解得,,
所以,,即；
（2）当时,
,从而,即,所以,
由图得在上为减函数,所以,这两个关系等价于“,是方程的两个根,且”,由方程,得,解得,,
解得,,即,故选D.
12．（2021上海市普陀区高三一模）设、均为实数,关于的方程在复数集上给出下列两个结论：
①存在、,使得该方程仅有两个共轭虚根；
②存在、,使得该方程最多有个互不相等的根．
其中正确的是（ ）．
A．①与②均正确 B．①正确,②不正确
C．①不正确,②正确 D．①与②均不正确
【答案】A
【解析】令,为正实数,则存在两个共轭的虚根,如,则存在两个共轭虚根,,故①正确；
若为实数,则方程可看做,只需保证有两个正解即可,此时方程有四个实根；若为虚数,则设, 有,等价于,所以,又为虚数,所以,则有,即,,即最多有两个根,所以方程最多有6个解.只需即可,如,方程有四个实根,有 两个虚根.故②正确；故选A.
13．（2021河南省南阳市2高三期中质量评估）如果函数（其中）在上单调递减,则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分以下几种情况讨论：
（1）当时,即当时,在上单调递减,可得,
解得,,可得,不合乎题意；
（2）当时,即当时,
由于函数在上单调递减,则,
可得,即,可得,由,可得,
所以,,当且仅当时,即当时,等号成立,则；
（3）当时,即当时,
由于函数在上单调递减,则,可得,即,,即,,解得,不合乎题意.
综上所述,的最大值为.故选C.
二、多选题
14.已知函数有两个零点,,以下结论正确的是（ ）
A． B．若,则
C． D．函数有四个零点
【答案】ABC
【解析】二次函数对应二次方程根的判别式,故A正确；
韦达定理 ,故B正确；因为对称轴为 ,点关于对称轴对称,故C正确；当时,只有两个零点,故D不正确.
故选ABC
15．（2021湖南省常德市高三上学期第月考）若二次函数的图象和直线无交点,现有下列结论：
①方程一定没有实数根；
②若,则不等式对一切实数x都成立；
③若,则必存在实数,使；
④函数的图象与直线一定没有交点.
其中,正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ABD
【解析】因为函数的图象与直线没有交点,所以或恒成立.
因为或恒成立,所以没有实数根,故①正确；
若,则不等式对一切实数x都成立,故②正确；若,则不等式对一切实数x都成立,所以不存在实数,使,故③错误；由函数与的图象关于y轴对称,所以和直线也一定没有交点. 故④正确,故选ABD
16.（2021江苏省无锡市高三上学期期初检测）已知函数,则（）
A．函数在有唯一零点
B．函数在上单调递增
C．当时,若在上的最大值为8,则
D．当时,若在上的最大值为8,则
【答案】ACD
【解析】,A．,,在上有一个零点,又函数对称轴是,还有一个零点小于1,因此函数在有唯一零点,A正确；
B．由对称轴知B错；,C．,时,,由得或（舍去）,,且时,,满足题意．若,解得或,均舍去,C正确；D．,时,,与C类似,得,D正确．故选ACD．
17．已知函数f (x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f (x)＝x－x2,则下列说法正确的是（ ）
A．f (x)的最大值为
B．f (x)在(－1,0)上是增函数
C．f (x)＞0的解集为(－1,1)
D．f (x)＋2x≥0的解集为[0,3]
【答案】AD
【解析】∵x≥0时,f (x)＝x－x2＝－＋,∴f (x)的最大值为,A正确；f (x)在上是减函数,B错误；f (x)＞0的解集为(－1,0)∪(0,1),C错误；x≥0时,f (x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0,3],x＜0时,f (x)＋2x＝x－x2≥0无解,故D正确．故选AD.
18．（2021湖南省常德市高三下学期一模）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】函数,在上单调递增,∴,故A错误；
函数,在上单调递减,,函数,在上单调递增,,
,故B正确；函数单调递减,,故C正确；,故D错误,故选BC．
三、填空题
19．（2021青海省西宁市高三二模）已知函数,,若在区间上的最大值是3,则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题易知,即,所以,
又,所以.下证时,在上最大值为3.
当时,,;
当,若,即,则,满足;
若,即,此时,
而,满足;因此,符合题意.
20．（2021江苏省苏州市高三5月三模）已知函数f(x)同时满足①；②在[1,3]上单调递减；③.该函数的表达式可以是f(x)=___________.
【答案】
【解析】由可知：关于对称；可设f(x)为二次函数,又且f(x)在[1,3]上单调递减,所以可设符合题意.
21．已知函数,若时,,则的最大值是___________.
【答案】
【解析】由题意,函数,当时,,
因为,可得,所以,所以；
当时,,因为,可得,所以,所以；
当时,,由知,,
因为,所以,所以,
所以,综上可得,的最大值是.
四、解答题
22.已知幂函数f(x)＝(m﹣1)2在（0,+∞）上单调递增,函数g(x)＝2x﹣k．
（1）求m的值；
（2）当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B＝A,求实数k的取值范围．
【解析】（1）依题意得：(m﹣1)2＝1,
解得m＝0或m＝2
当m＝2时,f(x)＝在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去
∴m＝0．
（2）由（1）知f(x)＝x2,当x∈[1,2]时,f(x),g(x)单调递增,
∴A＝[1,4],B＝[2﹣k,4﹣k],
∵A∪B=A,得到B⊆A,,
∴,解得,0≤k≤1故实数的取值范围为[0,1].
23．设求函数的最小值的解析式.
【解析】,,
函数图像的对称轴为直线,
∴当时,即时,
.
当,即时,在上是减函数,
∴.
当时,在上是增函数,
∴.
综上：.
23．（2021天津市第八中学高三上学期期中）已知函数,,
（1）当时,求函数的最大值和最小值；
（2）若在区间上是单调增函数,求实数a的取值范围.
【解析】（1）当时,,
则函数图像的对称轴为直线,
可知,.
（2）由已知得,函数图像的对称轴为,
要使在区间上是单调增函数,则满足,即.
24．（2021浙江省衢州市高三上学期考试）已知二次函数,且时,．
（1）若,求实数的取值范围；
（2）的最大值；
（3）求证：当时,.
【解析】（1）当时,
因为时,,所以,解得,
函数的对称轴方程为
所以时,等价于
可解得：
（2）,故解得：
因为时,,所以


又 (如当时等号成立.)
所以
（3）
当时,
故