清单27 直线、平面平行及垂直的判定与性质（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单27 直线、平面平行及垂直的判定与性质（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共39页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

清单27 直线、平面平行及垂直的判定与性质
一、知识与方法清单
1．空间中直线与平面之间的位置关系
(1)直线在平面内，则它们有无数个公共点．
(2)直线与平面相交，则它们有1个公共点．
(3)直线与平面平行，则它们没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
【对点训练1】给出以下命题(其中a，b表示不同的直线，α表示平面)：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；
②若a∥b，b∥α，则a∥α；
③若a∥α，b⊂α，则a∥b；
④若α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.
其中正确命题的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，



A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故①错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故②错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故③错误；④显然正确．故选B.
2．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)

l∥α，a⊂β，α∩β＝b ⇒l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b
【对点训练2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
证明　(1)连接EC，
∵AD∥BC，BC＝AD，
∴BCAE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴O为AC的中点．
又F是PC的中点，∴FO∥AP，
又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，
∴FH∥PD，又PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，
∴FH∥平面PAD.
又O是BE的中点，H是CD的中点，
∴OH∥AD，又AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，
∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.
又GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
3．平面与平面之间的位置关系
(1)两个平面平行，则它们没有公共点．
(2)两个平面相交，则它们有一条公共直线，两个平面垂直是相交的一种特殊情况．
【对点训练3】如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是(　　)

A．垂直 B．相交不垂直
C．平行 D．重合
【答案】C
【解析】如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.

4．平面与平面平行的判定和性质

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
【对点训练4】如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是____________．(写出所有符合要求的图形序号)


①　　　　 　②

③ ④

【答案】①③
【解析】在①中，由于平面MNP与AB所在的侧面平行，所以AB∥平面MNP；在③中，由于AB与以MP为中位线的三角形的底边平行，所以AB∥MP，又因为MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP.所以AB∥平面MNP.②④中，只需平移AB，即可发现AB与平面MNP相交．故填①③.
5.证明平行时常用的其他性质
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【对点训练5】已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是 (　　)
A.若m⊥α，m⊥β，则α∥β
B.若α∥γ，β∥γ，则α∥β
C.若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
D.若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β
【答案】
【解析】由线面垂直的性质可知A正确；由面面平行的性质可知B正确；m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α，β可能平行，也可能相交．故C错误；由线面平行的性质和面面平行的判定定理可知D正确．故选C.
6.判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(aα，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，aα，aβ，a∥α⇒a∥β)．
【对点训练6】在如图所示的空间几何体中，AC⊥BC，四边形DCBE为矩形，点F，M分别为AB，CD的中点．求证：



(1)FM∥平面ADE；
(2)平面ACD⊥平面ADE.
证明：(1)取BE的中点N，连接MN，FN，因为F，M，N分别为AB，CD，BE的中点，所以MN∥DE，FN∥AE.
又因为AE，DE⊂平面ADE，FN，MN⊄平面ADE，
所以MN∥平面ADE，FN∥平面ADE.
又MN∩FN＝N，所以平面ADE∥平面FMN.
又FM⊂平面FMN，所以FM∥平面ADE.



(2)因为四边形DCBE为矩形，所以BC⊥DC.
又AC⊥BC，AC∩DC＝C，所以BC⊥平面ACD.
又因为BC∥DE，所以DE⊥平面ACD.
因为DE⊂平面ADE，所以平面ACD⊥平面ADE.
7.证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
【对点训练7】已知四棱锥S­ABCD的各条棱长都相等，且点E、F分别是SB、SD的中点．



(1)求证：AC⊥SB；
(2)在SC上是否存在点M，使平面MBD∥平面AEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：(1)证明：设AC∩BD＝O，则O为底面正方形ABCD的中心，连接SO，
因为S­ABCD为正四棱锥，
所以SO⊥平面ABCD，所以SO⊥AC.
又BD⊥AC，且SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD.
因为SB⊂平面SBD，故AC⊥SB.
(2)存在点M，设SO∩EF＝G，则G是SO的中点，连接AG，并延长AG交SC于点N.
过点O作AN的平行线，与SC的交点即为M.



所以OM∥AN，即OM∥AG，
又EF∥BD，OM，BD⊄平面AEF，AG，EF⊂平面AEF，
所以OM∥平面AEF，BD∥平面AEF，
又OM∩BD＝O，
所以平面MBD∥平面AEF.
在△SOM中，GN∥OM，因为G是OS的中点，则N是SM中点．同理，M是CN中点，所以＝2.
8.证明线面或面面平行时要转化为证明线性平行，在几何体中证明线性平行常要用到平面几何知识，如三角形的中位线与第3边平行，若四边形的一组对边平行且相等，则另一组对边平行等。
【对点训练8】如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求四面体N-BCM的体积．
(1)证明　由已知得AM＝AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，
所以四边形AMNT为平行四边形，
于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB.

(2)解　因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，
所以N到平面ABCD的距离为PA.
取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.
由AM∥BC得M到BC的距离为，
故S△BCM＝×4×＝2.
所以四面体N-BCM的体积
V四面体N-BCM＝×S△BCM×＝.
9.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．
【对点训练9】如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
(1)证明　∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)解　设EF＝x(0 ∵EF∥AB，FG∥CD，
∴＝，则＝＝＝1－.
∴FG＝6－x.
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又∵0 即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
10．线线垂直
如果两条直线所成的角是(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．
【对点训练10】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
【答案】C
【解析】由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.
11.直线与平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．
【对点训练11】如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：

(1)SG⊥平面EFG；
(2)SD⊥平面EFG；
(3)GF⊥平面SEF；
(4)EF⊥平面GSD；
(5)GD⊥平面SEF.
正确的是(　　)
A．(1)和(3) B．(2)和(5)
C．(1)和(4) D．(2)和(4)
【答案】C
【解析】因为正方形中折叠前后都有SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG.(1)正确，(2)错误．
因为SG⊥GF，SG⊥GD，所以GF并不垂直于SF，GD并不垂直于SD，即(3)(5)错误．
因为EF⊥GD，EF⊥SG，GD∩SG＝G，所以EF⊥面GSD.(4)正确．故选C.
12.直线与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

，
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b
【对点训练12】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a.求证：

(1)PD⊥平面ABCD；
(2)平面PAC⊥平面PBD.
证明：(1)因为PD＝a，DC＝a，PC＝a，
所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，
所以PD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PDB.
同时AC⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBD.
13.直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．
(2)范围：.
【对点训练13】（2021届陕西省高三下学期第三次教学质量检测）如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】平面，与平面所成的角为.又，，可得，而平面平面，与平面所成角的正弦值为.故选B.
14．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2) 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
【对点训练14】（2022届浙江省名校协作体高三上学期开学联考）如图所示，将两块斜边等长的直角三角板拼接（其中，），将沿翻折至，记，，所成角为，，，则在翻折过程中，下列选项一定错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在沿翻折至的过程中，点的运动轨迹始终为射影垂直于的弧上，当的射影点在左侧时，为钝角，为锐角，故；
当的射影点在上时，为直角，为锐角，故；
当的射影点在右侧时，为锐角，为锐角，

过作于，过作交于,连接,因为,所以平面，因为平面，所以平面平面，过作于，因为平面平面，所以平面，因为平面，所以,过作于，连接，则平面，因为平面，因此，所以，同理作过作于，连接，则，所以,，显然，所以，则；
综上：，故B一定不成立；故选B.
15.平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
【对点训练15】下列命题中错误的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【答案】D
【解析】对于选项A，可在α内作直线平行于交线即可，A正确；对于选项B，假设在α内存在直线垂直于平面β，则α⊥β，这与已知矛盾，所以原命题成立，B正确；对于选项C，因为平面α⊥平面γ，所以在平面γ内存在一条直线m⊥α.所以m⊥l.同理可知在平面γ内存在直线n⊥β，n⊥l.若直线m，n重合，则面α与β重合或平行，这与已知矛盾，所以直线m，n相交，又l⊥m，l⊥n，所以l⊥面γ，C正确；对于选项D，易知α与β的交线l并不垂直于面β，D错误．故选D.
16.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α
【对点训练16】若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是(　　)
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
【答案】C
【解析】若m⊂β，α⊥β，则m与α的关系可能平行也可能相交或m⊂α，则A为假命题；选项B中，α与β可能平行也可能相交，则B为假命题；选项D中β与γ也可能平行或相交(不一定垂直)，则D为假命题．故选C.
17.判断(证明)线线垂直的方法
(1)根据定义．
(2)如果直线a∥b，a⊥c，则b⊥c.
(3)如果直线a⊥面α，c⊂α，则a⊥c.
(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零．
【对点训练17】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：

(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明：(1)因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.
因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.
又因为AB⊥AD且PA∩AD＝A，
所以AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，
所以AB⊥PD.又因为AB∩AE＝A，
所以PD⊥平面ABE.
18.证明直线和平面垂直的常用方法
(1)利用判定定理：两相交直线a，b⊂α，a⊥c，b⊥c⇒c⊥α.
(2)a∥b，a⊥α⇒b⊥α.
(3)利用面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β.
(4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m，a⊂α，a⊥m⇒a⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m⇒m⊥γ.
【对点训练18】如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.

(1)求证：CE⊥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱锥P­ABCD的体积．
解：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以PA⊥CE.
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.
又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD.
(2)由(1)可知CE⊥AD.
在Rt△ECD中，CE＝CD·sin45°＝1，DE＝CD·cos45°＝1，
又因为AB＝1，则AB＝CE.
又CE∥AB，AB⊥AD，
所以四边形ABCE为矩形，四边形ABCD为梯形．
因为AD＝3，所以BC＝AE＝AD－DE＝2，
SABCD＝(BC＋AD)·AB＝(2＋3)×1＝，
VP­ABCD＝SABCD·PA＝××1＝.
于是四棱锥P­ABCD的体积为.
19．证明面面垂直的主要方法
(1)利用判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.
(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．
(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：α∥β，α⊥γ⇒β⊥γ.
【对点训练19】如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．

(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
解：(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角，因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.
而A1B1＝1，B1M＝＝，
故tan∠MA1B1＝＝.
(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，
得A1B1⊥BM.①
由(1)知，B1M＝，又BM＝＝，B1B＝2，
B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.②
又A1B1∩B1M＝B1，由①②得BM⊥平面A1B1M.
而BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.
20．平面与平面垂直的性质的应用
当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等．
【对点训练20】如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．

(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN的长；
(2)证明：直线ME与BN是两条异面直线．
解：(1)取CD的中点G连接MG，NG.

因为四边形ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG.
所以MN＝＝.
(2)证明：BM∥CD∥EF，故B，M，E，F共面，N在该面外，且BN不过该平面内的点M.故ME与BN异面．
21.在证明几何体中的线线垂直时常要用到平面几何知识，如等腰三角形底边上的中线垂直底边，菱形的对角线互相垂直等，注意下面两个垂直关系：

【对点训练21】（2022届湖南省天壹名校联盟高三上学期入学考试）在四棱锥中，，，，，，平面平面．

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值．
【解析】（1）证明：点为的中点，连接，过点作，

又，，
，
又平面平面，平面平面，
平面，
又平面，
，
，，，，
四边形是正方形，
，，
，
在中，，
，即，
，，，
平面，
又平面，
，
又，，
平面，
平面，
平面平面.
（2）由（1）可知平面，是等腰直角三角形，
点是的中点，是等腰直角三角形，

分别以射线、、为轴、轴、轴的正半轴，点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
由，得：，令，解得：

设平面的一个法向量为
由，得：，令，解得：


所以，二面角的正弦值是.
22．几何体中给出有关棱长证明或判断线线垂直，常利用勾股定理。
【对点训练22】如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC­A1B1C1的体积．
解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.

因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝.
又A1C＝，则A1C2＝OC2＋OA，故OA1⊥OC.
因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC­A1B1C1的高．
又△ABC的面积S△ABC＝，故三棱柱ABC­A1B1C1的体积为V＝S△ABC×OA1＝3.
23．线面角、二面角求法
求这两种空间角的步骤：
根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲．
也可用射影法：
设斜线段AB在平面α内的射影为A′B′，AB与α所成角为θ，则cosθ＝；
设△ABC在平面α内的射影三角形为△A′B′C′，平面ABC与α所成角为θ，则cosθ＝.
【对点训练23】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′­BCDE，其中A′O＝.

(1)证明：A′O⊥平面BCDE；
(2)求二面角A′­CD­B的平面角的余弦值．
解：(1)证明：在图1中，易得OC＝3，AC＝3，AD＝2.如图示，连接OD，OE，在△OCD中，由余弦定理可得OD＝＝.由翻折不变性可知A′D＝2，易得A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE.

又因为OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.
(2)过O作OH⊥CD交CD的延长线于H，连接A′H，因为A′O⊥平面BCDE，易知A′H⊥CD，所以∠A′HO为二面角A′­CD­B的平面角.
结合图1可知，H为AC中点，又O为BC中点，故OH＝AB＝，从而A′H＝＝，
所以cos∠A′HO＝＝.
所以二面角A′­CD­B的平面角的余弦值为.
二、跟踪检测
一、单选题
1．（2021届陕西省西安中学高三下学期模拟）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题中正确的是（ ）
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③
【答案】D
【解析】①，由直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，若α∥β⇒⇒l⊥m，故①正确；
②，若α⊥β⇒l∥m或l、m异面或l、m相交，故②错误；
③，利用面面垂直的判定，若l∥m⇒α⊥β，故③正确；
④，若l⊥m⇒α∥β或α、β相交或α、β垂直，故④错误.
所以①③正确.故选D
2．（2021届广西柳州市高三下学期三模）已知三个不同的平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，，则或与相交，故不是充分条件，反之，若，，则，故是必要条件，故选B．
3．（2022届广东省深圳市六校高三上学期第一次联考）已知两条不同的直线和两个不同的平面，则：
（1）若，则；
（2）空间中，三点确定一个平面；
（3）若，则；
（4）若且，则.
以上假命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于（1），当时，与可能平行，可能相交不垂直，可能垂直，可能在内，所以（1）错误，
对于（2），当空间中的三点不共线时，这三点确定一个平面，当空间中的三点共线时，则过这三点有无数个平面，所以（2）错误，
对于（3）当，若∥时，则不一定平行，所以（3）错误，
对于（4），如图，过直线作平面，，，，所以∥，同理可得∥，所以∥，因为，，所以∥，因为，，所以 ∥，所以，所以（4）正确，故选C

4．（2022届上海市实验学校高三上学期摸底）下列说法中正确的是（ ）
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内.
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①②④
【答案】D
【解析】由线面平行的性质定理：一条直线如果和一个平面平行，经过这条直线的另一个平面与已知平面相交，那么可得这条直线与交线平行，由于可以做出无数条交线，故①正确；
由线面平行的定义：一条直线和一个平面平行，那么直线与平面没有公共点，所以直线与平面内的直线没有公共点，可得②正确；
因为经过线外一点可作一直线与已知直线平行,而经过这条直线可作无数个平面与已知直线平行,∴③错误；
过平面α内一点和直线l确定一平面β，设，根据线面平行的性质定理可得l//m.故④正确.故选D.
5．（2022届安徽省蚌埠市高三上学期第一次教学质量检查）正四面体中，点是棱上的动点（包含端点），记异面直线与所成角为，直线与平面所成角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，过点作，过点作底面，垂足为，所以异面直线与所成角，即为角，即，因为底面，可得为直线与平面所成的角，即，（1）当不过点时，过点作，连接，如图所示，因为底面，底面，可得，又由，所以平面，因为平面，所以，在直角中，可得，在直角中，可得
在直角，中可得，所以，
因为且在区间上为单调递减函数，所以；
（2）当过点时，此时，由，可得，
综上可得：.故选C.

6．已知在三棱锥中，为线段的中点，点在(含边界位置)内，则满足平面的点的轨迹为（ ）
A．线段，的中点连接而成的线段
B．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
C．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
D．线段靠近点的三等分点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
【答案】A
【解析】如图所示，P、Q分别为线段，的中点，所以,平面,平面，所以平面，同理平面，,
所以平面平面，若平面,则会有平面，故点的轨迹为线段，的中点连接而成的线段，故选A.

7．（2022届河北省邯郸市高三上学期开学摸底）如图，在正方体中，E是棱的中点，F是四边形内一点（包含边界）.平面，当线段EF长度最大时，与平面所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为a，如图，取的中点G，连接，过G作，与交于点H，则点，且平面，则即为与平面所成角，
当长度最大时，点F与点H重合，，，
得.故选B.

8．在正四面体中，E，F分别为，的中心，则下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．平面
C．异面直线，所成的角为90°
D．
【答案】D
【解析】取的中点O，连接、，如图所示：

对于A，点A、F、O和点B、E、O分别共线，
因为点E、F分别为和的中心，所以，
所以，所以选项A正确；
对于B，因为，，且，所以平面，
即平面，选项B正确；
对于C，因为平面，所以，选项C正确；
对于D，因为，设，所以，
在中，，
所以，选项D错误．故选D．
9．（2022届浙江省百校高三上学期开学联考）如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论一定成立的是（ ）

A．三棱锥的体积大小与点的位置有关
B．与平面相交
C．平面平面
D．
【答案】C
【解析】对于A中，由，在正方体中，
可得平面，所以到平面的距离不变，
即三棱锥的高不变，又由的面积不变，
因此三棱锥的体积不变，
即三棱锥的休积与点的位置无关，故A不成立.

对于B中，由于，平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
又由，所以平面平面，
因为平面，所以平面，所以B不成立.

对于C中，因为，，，
所以平面，则，同理，
又因为，所以平而.
又由平面，所以平面平面，所以C成立.
对于D中，当与重合时，可得与的夹角为，所以D不成立.故选C.
10．（2021届江苏省常州市高三下学期学情检测）如图，等边三角形中，为边的中点，于．将沿翻折至的位置，连结．那么在翻折过程中：
①总有成立；
②存在某个位置，使；
③在线段上，存在异于两端点的点，使线段的长度始终不变．
其中所有正确结论的编号是（ ）

A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】对于①，因为，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以，所以①正确，
对于②，假设存在某个位置，使得，连接，则由正三角形性质得，因为，所以平面，所以，由①可得，因为，所以平面，所以，所以，显然不可能，所以假设错误，所以②错误，
对于③，存在点，满足，取的中点，连接，可得，∥，设底面三角形的边长为4，则，
因为平面，所以平面，所以，
所以为直角三角形，
因为
所以为定值，所以③正确，
故选B

11．（2020届北京市石景山区高三4月统一测试）点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形 (包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，分别取的中点，连接，，
则‖，
因为是的中点，所以‖，
所以‖，
因为平面，平面，
所以‖平面，
因为是的中点，是的中点，
所以‖，，
因为‖，，
所以‖，，
所以四边形为平行四边形，所以‖，，
因为平面，平面，
所以‖平面，
因为，所以平面‖平面，
因为平面平面，
所以点在上运动，使面，
因为的棱长为2，
所以
所以当点与或重合时，最长，当点在的中点时，最短，
的最小值为，
所以的长度范围是，
故选：B

二、多选题
12．（2022届江苏省如皋市部分学校高三上学期8月调研）在空间中，如下四个命题正确的有（ ）
A．平行于同一个平面的两条直线是平行直线
B．垂直于同一条直线的两个平面是平行平面
C．若平面内有不共线的三个点到平面b距离相等，则
D．过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直
【答案】BD
【解析】对于选项A，平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面，不正确；
对于选项B，由线面垂直的性质定理知垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，正确；
对于选项C，若平面内有不共线的三个点到平面距离相等，则与可能平行，也可能相交，不正确；对于选项D，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面，所以过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直，正确.故选BD.
13．（2021届重庆市第一中学高三下学期第二次月考）中华文化博大精深，劳动人民充满智慧！古人把按如图所示，从一个长方体中挖出的三棱锥A－BCD称为“鳖臑”，点E，F分别在线段AC，AD上，关于这种立体图形，下列说法正确的是（ ）

A．该几何体有且只有三个面是直角三角形
B．直线BC与直线AD是异面直线
C．若BE⊥AC，BF⊥AD，则BF⊥FE且EF⊥AC
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，因为平面，平面，平面，所以，，所以都为直角三角形，因为平面，平面，平面，所以，所以都为直角三角形，所以有4个直角三角形，所以A错误；
对于B，因为平面，平面，，所以直线BC与直线AD是异面直线，所以B正确；
对于C，因为平面，平面，所以，因为，，所以平面，因为平面，平面，所以，因为,，所以平面，因为平面，所以，所以C正确；
对于D，由A的结论可知有4个直角三角形，所以，所以，所以D正确，
故选BCD
14．（2021届广东省揭阳市高考模拟）已知二面角，不同的两条直线，，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若二面角大小为钝角，，，则与所成角为
D．若平面，，，则
【答案】CD
【解析】对于：若，则不一定与垂直，故不正确；
对于：若，则或，故不正确；
对于：因为，，所以二者所定平面与棱垂直，此平面与两个半平面产生的交射线所成角即为二面角的平面角，显然与所成角与二面角的平面角互补，故正确；对于：由，可得，又，，得，正确；
故选．
15．（2022届重庆市巴蜀中学高三上学期入学考试）如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是（ ）

A．对任意的点，存在点，使得
B．对任意的点，存在点，使得平面
C．当时，与的交点满足
D．当时，的外接圆的面积最小
【答案】ACD
【解析】正方体中，连接，如图，显然平面，平面，则，
由正方形得：，而，平面，于是得平面，
取CC1中点Q，而P是BC中点，则有，从而有平面，当G是CD上任意点时，平面，必有，A正确；

当点G与点D重合时，连PD，显然与不垂直，否则，因，必有平面，矛盾，
即与PG不垂直，无论在线段上何处，此时与平面都不垂直，B不正确；
当时，连接AP并延长交DC延长线于点E，作直线EQ交C1D1于R，则R在截面S内，如图，

显然，，则，又，于是得，C正确；
如图，令CQ=a，则有，而，

在中，由余弦定理得： ，
则，设的外接圆为r，
由正弦定理得：，即
，当且仅当，即时取“=”，
因此，当且仅当时，的外接圆半径取得最小值，的外接圆的面积也取最小值，D正确.故选ACD
三、填空题
16．如图，、、、分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是异面直线的图形有______.

【答案】②④
【解析】根据题意，
在①中，且，则四边形是平行四边形，有，不是异面直线；
图②中，、、三点共面，但面，因此直线与异面；
在③中，、分别是所在棱的中点，所以且，故，必相交，不是异面直线；
图④中，、、共面，但面，与异面．
所以图②④中与异面．
故答案为：②④.
17．（2022届贵州省贵阳市五校高三年级联合考试）如图，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于，.设，，给出以下四个结论：①平面平面； ②当且仅当时，四边形的面积最小； ③四边形的周长，是单调函数；④四棱锥的体积在上先减后增.其中正确命题的序号是__________．

【答案】①②
【解析】对于①：连接，，则由正方体的性质可知，平面，又平面，所以平面平面，故①正确；
对于②：连接，因为平面，所以，所以四边形是菱形．四边形的面积，四边形的对角线是固定的，，所以当且仅当时，四边形的面积最小，故②正确；
对于③：因为，所以四边形是菱形．当时，的长度由大变小；当时，的长度由小变大．所以函数不单调．故③错误；
对于④：四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以为底，以，分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形的面积是个常数．，到平面的距离是个常数，所以四棱锥的体积为常值函数，故④错误．
故答案为：①②.

18．如图，在棱长为的正方体中，，在线段上，，分别在线段，上，且，，，动点在平面内，若，与平面的所成角相等，则线段长的最小值是______．

【答案】
【解析】

因为，且，故，
又因为，且，所以平面，
因为，同理可得平面，
所以，与平面所成角分别为，，
则．
又因为，，且，
所以，
又因为，所以．

在平面中，以线段所在直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，，，
设，由可得，
，
化简整理得，
所以点在圆心为，半径为的圆上，
此时线段长的最小值是．
故答案为：.
四、解答题
19．（2022届广东省高三上学期联合质量测评）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，∠BAD=90°，已知，.

（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.
【解析】（1）过作交于点，则，
在直角中，则，
取中点为点，连接，
因为，所以，
又因为，且平面，所以平面，
又由平面，所以.

（2）由题意知，二面角的余弦值为，
由（1）知，二面角的平面角为，故，
在中，可得，所以,
所以，
设点到平面的距离为，则，
又梯形的面积为，
故四棱锥的体积.
20．（2021届江苏省南京市高三上学期10月阶段性检测）如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．

（1）求证：平面CC1D1D⊥底面ABCD；
（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段ED1的长度．
【解析】（1）证明：因为底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，
所以AD⊥CD，AD⊥DD1，
又CD∩DD1＝D，CD，DD1⊂平面CDD1C1，
所以AD⊥平面CDD1C1，又D1E⊂平面CDD1C1，
所以AD⊥D1E，又CD⊥D1E，且CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ABCD，
故D1E⊥平面ABCD，又D1E⊂平面CC1D1D，
则平面CC1D1D⊥平面ABCD；
（2）解：取AB得中点F，连结EF，则四边形EFBC为正方形，
所以EF⊥CD，故以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设D1E＝a，则E（0，0，0），F（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，a），
所以，
设平面BCC1B1的法向量为，
则有，即，
令z＝1，则，
因为FC⊥BE，又FC⊥D1E，BE∩D1E＝E，BE，D1E⊂平面BED1，
所以FC⊥平面BED1，
故为平面BD1E的一个法向量，
所以，
因为平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，
，解得a＝1，所以D1E＝1．

21．（2022届安徽省名校联盟高三上学期开学考试）如图在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，PB⊥BC，PD=DB=BC=AB=AD=2.

（1）证明：PA⊥平面ABC；
（2）求点B到平面ACD的距离.
【解析】（1）侧面PAB⊥底面PBC，PB⊥BC，所以BC⊥侧面PAB
又PA侧面PAB，所以PA⊥BC
又PD=DB=DA，所以PA⊥AB
又ABBC=B，所以PA⊥平面ABC
（2）由（1）可知：PA⊥平面ABC，
在直角三角形PAB中，.
D是PB的中点，所以三棱锥D-ABC为三棱锥P-ABC体积的.
故
由已知：，又AD=2，底边AD上的高为.
故面积为：
设点B到平面ACD的距离为d，
则
所以，解得，
点B到平面ACD的距离为
22．（2022届云南省昆明市高三上学期第一次摸底）如图，已知四棱锥的底面是菱形，AC交BD于O，平面ABC，E为AD的中点，点F在PA上，.

（1）证明：平面BEF；
（2）若，，求三棱锥的体积.
【解析】（1）设交于，连结.因为，分别是，的中点，
所以，即. 又因为，所以，
所以，又因为平面，平面，所以平面．
（2）在菱形中，因为，，所以是边长为2的等边三角形，故.因为，平面，所以.
故点到平面的距离等于，所以，即三棱锥的体积为.