清单 09对数与对数函数（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单 09对数与对数函数（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共23页。试卷主要包含了＝N，对数的运算法则，0001)， 对数运算的一般思路等内容，欢迎下载使用。

清单09 对数与对数函数
知识与方法清单
1. 一般地,如果＝N(a>0,且a≠1),那么数b叫做以a为底N的对数,记作b＝logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数．ab＝N⇔b＝logaN(a>0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,它不仅体现了两者之间的相互关系,而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径.
【对点训练1】十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数,后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即．现已知,则________,________．
【答案】 1
【解析】因为,所以,即,,
故．
2.＝N(a>0,且a≠1).
【对点训练2】若,则________．．
【答案】
【解析】因为,所以.
3.对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．在运算性质logaMn＝nlogaM中,要特别注意条件,在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N＋,且n为偶数)．
【对点训练3】若,则=________．(精确到0.0001)
【答案】
【解析】.
4. 对数式的化简、求值问题,要注意对数运算性质的逆向运用,如：当时,
,其中a>0且a≠1.
【对点训练4】的值为________．
【答案】1
【解析】==1.
5. 对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常用到换底公式及其推论.
对数的换底公式：logab＝(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．
换底公式的两个重要结论：(1)logab＝；其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R.
【对点训练5】（2021山西省临汾市高三考前适应性训练）已知,且,则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【解析】由题知,,,则,
则,故选C
6. 对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
【对点训练6】
【解析】原式=
==.
7.对于含指数式的等式,有时通过两边取对数,可以把乘方运算转化为乘法运算,这种运算法则的改变或能简化运算,或能改变运算式子的结构,从而有利于寻找解题思路.
【对点训练7】设,,为正数,且,则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设,两边取对数得,则 ,,,所以=,所以,同理可得,,故选D.
8.对于含对数式的等式,有时可利用指数式与对数式之间的关系,把对数式化为指数式,这种改变或能简化运算,或能改变运算式子的结构,从而有利于寻找解题思路.
【对点训练8】（2021安徽省蚌埠市高三下学期最后一模）已知,则,,的大小排序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方法一：设.则,,,
又,所以,可得.
9. y＝logax(a＞0,且a≠1)的图象过定点对称,作y＝logax(a＞0,且a≠1)的图象应抓住三个关键点,(1,0),(a,1)．
【对点训练9】在同一直角坐标系中,函数f(x)＝xa(x＞0),g(x)＝logax的图象可能是(　　)

【答案】D
【解析】两图象均不可能过点(0,1),A错；B选项中f(x)＝xa中a满足a＞1,而g(x)＝logax中a满足0＜a＜1,矛盾,B错；类似B选项的判断方法知C错；D正确．故选D.
10.的图象与的图象关于x轴对称；的图象与的图象关于y轴对称.
【对点训练10】已知,若图象与图象关于原点对称,且图象经过点,则________．
【答案】
【解析】由图象与图象关于原点对称,且图象经过点,可得图象经过点,所以,,.
11.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．如图,作直线y＝1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0
【对点训练11】如图,①②③④分别为函数,,,的图象,则与0的大小关系为

【答案】
【解析】由图象可知,所以
12．若,则是增函数,若,是减函数.无论是讨论还是利用对数函数的性质,要分清函数的底数是,还是．
【对点训练12】已知,若存在实数t,使得在上的值域为,则a=________．
【答案】2
【解析】若,在上是增函数,则,整理得,解得；若,在上是减函数,则,整理得,
满足此条件的a不存在,综上得.
13. 比较对数式大小的类型及相应的方法：①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论．②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较．③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较．
【对点训练13】（2021湖南省衡阳市高三下学期联考）若,则a,b,c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】,,,
所以,又,故．故选A
14.若a＞0,且a≠1,则 ,.
【对点训练14】若,则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由a＞0,且a≠1,可得,所以由可得,因为,所以,所以实数a的取值范围是.
15. 一些简单的对数不等式,一般先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解,一些含有对数式的不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.具体做法是：对不等式变形,不等号两边对应两个函数．在同一坐标系下作出两个函数的图象,比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数,来确定参数的取值或解的情况.
【对点训练15】,则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】 ,所以x的取值范围是.
16. 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．
【对点训练16】若与是互为反函数,则
【答案】
【解析】.
17.作一些复杂函数的图象,首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来．一般是先作出基本函数的图象,通过平移、对称、翻折等方法,得出所求函数的图象．
【对点训练17】已知函数y＝loga(x＋c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是(　　)

A．a>1,c>1 B．a>1,01 D．0 【答案】D
【解析】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数,∴0 18.求含有对数式的复合函数的定义域要注意满足对数式本身有意义.
【对点训练18】的定义域为
【答案】
【解析】由得,所以,的定义域为
19.对于形如( a>0,a≠1,)的函数,高考考查重点是其图象的应用及根据函数在给定区间上的单调性,求参数取值范围,对于后一类问题,一定要注意定义域优先原则.
【对点训练19】在上是减函数,则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】设,由 a>0,a≠1,可知是减函数,根据复合函数的单调性可得,根据在在上有意义,可得,即,综上可得.
20.对于形如的函数,要求会求该类函数的定义域、值域及单调区间.
其中判断该类函数单调性的步骤为：1.求定义域2.判断对数函数的底数与1的关系,当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时,要考查其单调性,就必须对底数进行分类讨论．3.判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调.
【对点训练20】已知函数f(x)＝．
(1)若f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是________；
(2)若函数f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是________；
(3)若的定义域为R,则实数a的取值范围是________；
(4)若函数f(x)有最小值,则实数a的取值范围是________；
(5)若函数f(x)在上有意义,则实数a的取值范围是________；
(6)若函数f(x)在上是增函数,则实数a的取值范围是________.
【答案】(1)；(2)；(3) ；(4) ；(5) ；(6).
【解析】设.(1)若 f(x)的定义域为R,则恒成立,所以,即；(2)若f(x)的值域为R,则的值域中包含所有正数,所以,即或；(3)若的定义域为R,则恒成立且恒成立,即恒成立且恒成立,即,所以；(4) 若函数f(x)有最小值,则在R上的最小值为正数,所以,即或；(5)若函数f(x)在 内有意义,则时,即恒成立,由可得,所以；(6)若函数f(x)在上是增函数,则在上是增函数,且,即,所以.
21.形如的函数,可通过设,把函数转化为二次函数问题求解.
【对点训练21】函数的最小值为_________.
【答案】
【解析】==,所以当时,取得最小值为.
22. 设,若 且,则.
【对点训练22】函数f(x)的图象向左平移2个单位长度,所得图象与曲线关于直线 对称,若,且 则的最小值为________．
【答案】
【解析】的图象与的图象关于关于直线 对称,把的图象向右平移2个单位长度,得f(x)的图象,所以,所以由可得,,所以.
23.对数型函数的奇偶性是高考的一个热点,高考考查时常以以下几类函数为载体：
,,.
【对点训练23】已知函数,则（）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由是奇函数,可得,所以
.故选D.
跟踪检测
一、单选题
1．（2021山东省济南市实验中学高三二模）设,,,则,,的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由,∴.故选D
2.（2021江西省重点中学盟校高三第二次联考）科学家以里氏震级来度量地震的强度,若设为地震时所散发出来的相对能量程度,则里氏震级可定义为.2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏级地震,2020年1月1日四川自贡发生里氏级地震,则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（ ）倍．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设自贡地震所散发出来的能量为,余江地震所散发出来的能量,
则,故,故,故选C.
3.（2021陕西省宝鸡市高三5月预测题）设,,,则a,b,c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】,,,即,,,即,
.故选A.
4.（浙江省宁波市高三下学期适应性考试）设,则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意得：命题p：,
所以,即,因为,所以,则,
所以,所以命题p是命题q的充分条件；因为,所以,
若,则,若,则,所以命题p是命题q的非必要条件,
所以是的充分不必要条件,故选A
5.（2021庆市高三模拟调研卷四）知函数,若,其中为自然对数的底数,则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】B
【解析】函数,则,
则,则,
若,则有,变形可得,
则,当且仅当时等号成立,
即的最小值为8,故选．
6.（2021安徽省合肥市高三考前诊断）已知函数则使得成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵可化为为偶函数,且在上单调递增,∴由得,即,解得或．故选A．
7.（2021卓越高中千校联盟高考终极押题）设正数,,满足,则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设,所以,,,
由已知得,所以函数在上单调递增,
且,,,
所以.故选D.
8.（2021. 全国高考临门一卷）已知函数,其中且,,,则和的值一定不会是（ ）
A．和 B．-3和4
C．3和-1 D．和
【答案】C
【解析】令,,易得,,所以,因为,所以为奇数,验证可知A、B、D三组数值和均为奇数,C组数值和为偶数,故C组数值一定不是和的值.故选C.
9．（2021全国100所名校2021年高考冲刺卷）已知,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为,所以.若,,,则,A项不正确；当时,,,则,当时,,,不等式不一定成立,B项不正确；当时,,,当时,存在,所以C项不正确；当时,,,则,当时,由指对函数的变化趋势,知,即恒成立,D项正确．故选D
10.（2021江苏省南通市高三5月四模）我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”,操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“,”2种叠加态,2个超导量子比特共有“,,,”4种叠加态,3个超导量子比特共有“,,,,,,,”8种叠加态,…,只要增加1个超导量子比特,其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有种叠加态,则是一个（ ）位的数.(参考数据：)
A．18 B．19 C．62 D．63
【答案】B
【解析】根据题意,设个超导量子比特共有种叠加态,所以当有62个超导量子比特共有种叠加态.两边取以为底的对数得,
所以,由于,故是一个19位的数.故选B
11.（2021浙江省嘉兴市高三4月教学测试）若正实数,满足,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由复合函数单调性知,,在上单调递增,
则,,
又,因此,则,故选B
12．（2021河南省实验中学高三下学期第四次模拟）已知不相等的两个正实数x,y满足,则下列不等式中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知,因为2log4x＝log2x,所以原式可变形,令,,函数 与均为上的增函数,且,且,当时,由,则,可得,
当时,由,则,可得,要比较x与y的大小,只需比较 与的大小,
设,则,,故在上单调递减,又,,则存在使得,
所以当时,,当时,,又因为,所以当时,,当时,正负不确定,故当时,,所以,故,当时,正负不定,所以与的正负不定,所以均有可能,即选项A,C,D均有可能,选项B不可能．故选B．
二、多选题
13．（2021辽宁省高三高考压轴试卷）设函数,则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上单调递减
C．若且时,
D．关于的方程恒有个不同的实根
【答案】AC
【解析】对于A选项,,
故函数的图象关于直线对称,A选项正确；
对于B选项,当时,,,
则,故函数在上单调递增,B选项错误；
对于C选项,若,则,
不妨设,由,可得,
即,故,即,亦即,C选项正确；
对于D选项,当时,由,可得,解得或,D选项错误.
故选AC.
14.（2021江苏省泰州市高三下学期考前练）已知,若函数有两个零点,有两个零点,则下列选项正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】因为函数有两个零点,所以,所以,令=0,所有两个零点,

所以,所以,因为,所以,
因为,所以选项A正确；
因为,
所以因为,
所以,所以选项B正确；
因为,所以选项C错误；
,
所以,所以选项D错误.故选AB
15．（2021重庆市蜀都中学高三4月月考）已知函数满足,有,且,当时,,则下列说法正确的是（ ）
A．
B．时,单调递增
C．关于点对称
D．时,方程的所有根的和为
【答案】CD
【解析】由题设知：,故在上为奇函数且单调递减,又,即关于、,对称,且最小周期为4,A：,错误；B：等价于,由上易知：上递减,上递增,故不单调,错误；
C：由上知：关于对称且,所以关于对称,正确；
D：由题意,只需确定与在的交点,判断交点横坐标的对称情况即可求和,如下图示,

∴共有6个交点且关于对称,则,
∴所有根的和为,正确.故选CD
16.（2021高考冲刺金卷）设函数满足：①；②；③．当时,函数与函数交点的横坐标从左到右依次构成数列,则下列结论正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．函数是偶函数
C．对任意的,,数列的前项和
D．当,时,满足的的最小值为17
【答案】BCD
【解析】A：当时,得,错误；B：设,,则,故函数是偶函数,正确；
C：对,,由总与图象在第一象限有交点,如下图示,数列的前项和,正确；

D：由②③可知,函数是周期为4的周期函数,且为周期内的对称轴．而时．要使,则取到的最小值为17,正确.

故选BCD．
17．（2021山东省临沂市高三二模）若,,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】对于A：,又,且为增函数,所以,所以,即.故A正确；对于B：,,因为为增函数,所以；故B正确；
对于C：因为,,所以,故C错误；对于D：因为,所以,而又,所以,所以,所以,故D错误.
故选AB.
三、填空题
18．（2021湖南省衡阳市高三下学期考前预测）设为正项等比数列(公比)前项的积,若,则__________
【答案】
【解析】由题意得：,
所以,根据等比数列的性质,可得：,
设等比数列的公比为q,
所以,,
所以.
19．（2021江苏省南通高三数学全真模拟）已知函数,则方程（是自然对数的底数）的实根个数为__________.
【答案】6
【解析】令,方程为：,即,
与 的性质如下：
1、：在上单调递增,值域为；上递增,上递减,
值域为且、；上单调递增,值域为；
2、：过定点,定义域上单调递减；
∴可得函数图象如下图示,

∴共有三个交点,横坐标分别为 ,且,
∴当,显然无解；当时,有四个实根；当时,有两个实根,
∴如下图示：一共有6个实根.

20．（2021福建省莆田高三二模）如图,已知过原点O的直线与函数的图象交于A,B两点,分别过A,B作y轴的平行线与函数图象交于C,D两点,若轴,则四边形ABDC的面积为___________.

【答案】
【解析】设点A,B的横坐标分别为,由题意知,.则点A,B的纵坐标分别为,,
因为A,B在过点O的直线上,所以,点C,D的坐标分别为,.
由BC平行于x轴知, ,即,,
代入,得,由知,.
考虑,解得.于是点A的坐标为,即,
,,
梯形ABDC的面积为
21．（2021西南名校联盟高三下学期4月适应性考试）已知函数,则单调递增区间为__________；若函数在区间上单调,则a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】,函数的定义域满足,解得或．函数单调递减,的单调减区间为,
故单调递增区间为．
函数为偶函数,定义域满足,解得或．
当时,单调递增,单调递减,故单调递减,
当时,单调递减,单调递减,故单调递增,
又函数在区间上单调,
则,解得,或,无解．故．
四、解答题
22．（2021山西省上海市格致中学高三三模）“弗格指数”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标,其中b是该地区的最低保障收入系数,a是该地区收入中位系数,x是该地区收入均值系数,经换算后,a、b、x都是大于1的实数,当时,该地区收入均衡性最为稳定.
（1）指出函数的定义域与单调性（不用证明）,并说明其实际意义,经测算,某地区的“弗格指数”为0.89,收入均值系数为3.15,收入中位系数为2.17,则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01）？
（2）要使该地区收入均衡性最为稳定,求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b表示）.
【解析】（1）要使函数有意义,则,又且,解得,
所以,函数的定义域为；
令,则.
因为,所以当时,函数单调递减；
又,所以在上单调递增,
故在定义域上是减函数.
其实际意义是：当该地区收入均值系数大于该地区的最低保障收入系数时,收入均
值系数越大,弗格指数越小.
将,,代入函数得,
所以,用计算器可解得.
（2）要使该地区收入均衡性最为稳定,则,
即,又,所以,
即,又,,所以,
解得,
即该地区收入均值系数的取值范围是.
23．（2021陕西省宝鸡市高三下学期第一次适应训练）已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若,求证：.
【解析】（1）函数的定义域为,,
所以当时,,单调递减；
当时,,单调递增.
减区间是,增区间是,当时,取得极小值,无极大值.
（2）证明：由（1）可知,在上单调递增,
,
,即
,
同理可得,

,当且仅当时等号成立,又,
,即.
24．已知,函数．
（1）当时,解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）设a＞0,若对任意t∈[,1],函数f（x）在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差都不超过1,求实数a的取值范围．
【解析】（1）a＝﹣5时,f（x）＝log2（﹣5）,
令f（x）＞0,得,得,
故不等式的解集是.
（2）因为函数f（x）在区间[t,t+1]上单调递减,
所以,,
由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1对任意t∈[,1]恒成立,
即对任意t∈[,1]恒成立,
即,即对任意t∈[,1]恒成立,
设1﹣t＝r,因为,所以,
所以,
当r＝0时,,
当时,,
∵在上单调递减,所以当时,取得最小值,
此时取得最大值.
所以.