【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科） 统计（精解精析）

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 （文科）
统计（精解精析）
一、选择题
1．(2021年高考全国甲卷文科)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 (　　)
A．该地农户家庭年收入低于4．5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10．5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6．5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4．5万元至8．5万元之间
【答案】C
解析：因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率．样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值．
该地农户家庭年收入低于4．5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10．5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4．5万元至8．5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6．5万元，故C错误．
综上，给出结论中不正确的是C．
故选：C．
【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值．注意各组的频率等于．
2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古代文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》和《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 (　　)
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】C
【解析】某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，
其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，
阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出维恩图，得：

该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：．故选：C．
3．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 (　　)
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
【答案】C
【解析】从名学生中抽取名，每人抽一个，号学生被抽到，则抽取的号数就为，可得出号学生被抽到.
4．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是 (　　)
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
解法1：由题干可知，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为方便可设建设前后收入分别为100，200（单位省去）．
A中，种植收入前后分别为60，74，收入增加了，因此A选项不正确．
B中，其他收入前后分别为4，10．增加了一倍以上，B正确．
C中，养殖收入前后分别为30，60．收入增加了一倍，C正确．
D中，建设后，养殖收入与第三产业收入的和为，D正确．故选A
5．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)为评估一种农作物的种植效果,选了块地作试验田．这块地的亩产量(单位:kg)分别为,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 (　　)
A．的平均数 B．的标准差
C．的最大值 D．的中位数
【答案】 B
【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差,故选B;
【考点】样本特征数
【点评】众数:一组数据出现次数最多的数叫众数,众数反应一组数据的多数水平;
中位数:一组数据中间的数,(起到分水岭的作用)中位数反应一组数据的中间水平;
平均数:反应一组数据的平均水平;
方差:方差是和中心偏离的程度,用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小)并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定．
标准差是方差的算术平方根,意义在于反映一个数据集的离散程度．
6．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位：万吨)柱形图,以下结论中不正确的是 (　　)
(　　)
A．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关
【答案】D
解析：由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D．
考点：本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解
7．(2012年高考数学课标卷文科)在一组样本数据(不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为 (　　)
A．-1 B．0 C． D．1
【答案】D
解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1，选D．
考点：（1）10．3．1两个变量间的相关关系；
难度：A
备注：高频考点
二、填空题
8．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
【答案】0.98
【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为．
【点评】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
【答案】分层抽样
解析：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法．
三、解答题
10．(2021年高考全国甲卷文科)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：

0．050
0．010
0．001
k
3．841
6．635
10．828

【答案】（1）75%；60%；
（2）能．
解析：（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为．
（2）,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异．
11．(2021年全国高考乙卷文科)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9．8
103
10．0
102
9．9
9．8
10．0
10．1
10．2
9．7
新设备
10．1
10．4
10．1
10．0
10．1
10．3
10．6
10．5
104
10．5
旧设备和新设备生产产品该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
(1)求，，，；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
解析：（1），
，
，

（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；
(2)求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；
(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数r=，≈1．414．
【答案】（1）；（2）；（3）详见解析
【解析】（1）样区野生动物平均数为，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）样本(i=1，2，…，20)的相关系数为

（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，
由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，
采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，
从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题．
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1(优)
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(轻度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次≤400
人次>400
空气质量好


空气质量不好


附：，
P(K2≥k)
0．050
0．010
0．001
k
3．841
6．635
10．828

【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率分别为、、、；（2）；（3）有，理由见解析．
【解析】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为；
（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3）列联表如下：

人次
人次
空气质量不好


空气质量好



，
因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题．
14．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70．
(1)求乙离子残留百分比直方图中的a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用改组区间的中点值为代表)．
【答案】【解析】：（1）为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，
根据直方图得到（C）的估计值为0.70．
则由频率分布直方图得：
，
解得乙离子残留百分比直方图中，．
（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：
．
乙离子残留百分比的平均值为：
．
15．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率的频数分布表.
的分组





企业数





(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于的企业比例、产值负增长的企业比例；
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到)
附：.
【答案】解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的个企业中产值增长率不低于的企业频率为.
产值负增长的企业频率为.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于的企业比例为，产值负增长的企业比例为.
（2），

，
，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为，.
16．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828

【答案】【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．
（2）．
由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
17．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)(12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量







频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量






频数
1
5
13
10
16
5
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
【答案】解：（1）

（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于的频率为
，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为．
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

估计使用节水龙头后，一年可节省水．
18．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)(12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶元，售价每瓶元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关．如果最高气温不低于，需求量为瓶；如果最高气温位于区间，需求量为瓶；如果最高气温低于，需求量为瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温






天数






以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率．
【答案】(1);(2)
【解析】(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,
得到最高气温位于区间[20,25)和最高气温低于20的天数为2+16+36=54,
根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关．
如果最高气温不低于25,需求量为500瓶,
如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶,
如果最高气温低于20,需求量为200瓶,
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
(2)的可能值列表如下:
最高气温













低于:;
:;
不低于:
∴大于0的概率为．
【考点】古典概型概率
【点评】点睛:古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法．
(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法．
(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．
19．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)(12 分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:),其频率分布直方图如下:

(1)记表示时间“旧养殖法的箱产量低于”,估计的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关:

箱产量<
箱产量
旧养殖法


新养殖法


(3)根据箱产量的频率分布直方图,对两种养殖方法的优劣进行比较．
附:
【答案】(1)0．62．(2)有把握(3)新养殖法优于旧养殖法
【试题分析】(1)根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率,计算的概率
(2)将数据填入对应表格,带入卡方公式,计算对照参考数据可以判断有的把握,(3)先从均值比较大小,越大越好,再从数据分布情况看稳定性,月集中越好,综上可得新养殖法优于旧养殖法．
【试题解析】
(1)旧养殖法的箱产量低于的频率为

因此,事件A的概率估计值为0．62．
(2)

箱产量< 50 kg
箱产量50 kg

旧养殖法


100
新养殖法


100



200

所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)设新养殖法箱产量的中位数的估计值为．
则．
解得:．
箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法．
【考点】频率分布直方图,独立性检验．
【点评】(1)频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率,所有小长方形面积之和为1;
(2)频率分布直方图中均值等于组中值与对应概率乘积的和
(3)均值大小代表水平高低,方差大小代表稳定性
20．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9．95
10．12
9．96
9．96
10．01
9．92
9．98
10．04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10．26
9．91
10．13
10．02
9．22
10．04
10．05
9．95
经计算得,,
,,其中为抽取的第个零件的尺寸,
．
(1)求的相关系数,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查．
(ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?
(ⅱ)在之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0．01)
附:样本的相关系数．
【答案】(1),可以;(2)(ⅰ)需要;(ⅱ)均值与标准差估计值分别为,．
【解析】(1),
,
故
． 所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
(2)(i),
第13个零件的尺寸为,,
所以从这一天抽检的结果看,需对当天的生产过程进行检查．
(ii)剔除,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为,
方差为

故标准差为．
(ii)解法二:剔除,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为,由,得,
剔除离群值,这条生产线当天生产的零件尺寸的方差

21．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014．
(Ⅰ)由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
(Ⅱ)建立关于的回归方程(系数精确到0．01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【答案】（1）可用线性回归模型拟合变量与的关系．（2）我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理亿吨．
【解析】（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得，，

因为与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得
所以，关于的回归方程为：．
将2016年对应的代入回归方程得：，
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约亿吨．
22．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，表示购机的同时购买的易损零件数．
(I)若=19，求y与x的函数解析式；
(II)若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0．5，求的最小值；
(III)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
【答案】 （I）（II）19（III）19
【官方解答】（Ⅰ）当时，；当时，，
所以与的函数解析式为．
（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的概率为0．46，不大于19的概率为0．7
故的最小值为19．
（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件
则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为．
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．
23．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)(本小题满分12分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到地区用户满意度评分的频率分布直方图和地区用户满意度评分的频率分布表．
地区用户满意度评分的频率分布直方图

地区用户满意度评分的频率分布表
满意度评分分组





频数
2
8
14
10
6
(Ⅰ)在答题卡上作出地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度．(不要求计算出具体值,给出结论即可)
地区用户满意度评分的频率分布直方图

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由．
【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大．
分析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散．（II）由直方图得 的估计值为, 的估计值为,所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大．
解析：（Ⅰ）

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散．
（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大．
记 表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”．
由直方图得 的估计值为,
的估计值为,
所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大．
考点：本题主要考查频率分布直方图及概率估计．
24．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：)和年利润(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费和年销售量(=1,2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。








46．6
56．3
6．8
289．8
1．6
1469
108．8
表中，。
(Ⅰ)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
(Ⅲ)已知这种产品的年利率与、的关系为．根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
(i)年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
(ii)年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

【答案】（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型（Ⅱ）（Ⅲ）46．24
分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令，先求出建立关于的线性回归方程，即可关于的回归方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用关于的回归方程先求出年销售量的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0．2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用．
解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型．
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，
∴=563-68×6．8=100．6．
∴关于的线性回归方程为，
∴关于的回归方程为．
（Ⅲ）(ⅰ)由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值
=576．6，
．
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
，
∴当=，即时，取得最大值．
故宣传费用为46．24千元时，年利润的预报值最大．……12分
考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识
25．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：

(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
(Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
(Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．
【答案】解：（Ⅰ）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75．
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67．
（Ⅱ）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙两部门的评分高于90的比率分别为，，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0．1，0．16．
（Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评价较高、评价较一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．（考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分），
考点：（1）茎叶图的应用；（2）样本的数字特征估计总体的数字特征；（3）古典概型的应用．
难度：B
备注：常考题，易错题
26．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(III)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
【答案】解析：（1）

（II）质量指标值的样本平均数为
80×0．06+90×0．26+100×0．38+110×0．22+120×0．08
=100．
质量指标值的样本方差为

=104．
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．
（III）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0．38+0．22+0．08=0．68．
由于该估计值小于0．8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
考点：（1）频率分布直方图；（2）样本的极差、平均数和方差；（3）的绘图能力和精确的计算能力。
难度：B
备注：高考频点
27．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了该农产品。以(单位：，)表示下一个销售季度内的市场需求量，(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
(Ⅰ)将表示为的函数；
(Ⅱ)根据直方图估计利润不少于元的概率；

【答案】解　(1)当时，

当时，

所以
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当．
由直方图知需求量的频率为0．7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0．7．
考点：（1）2．1．4分段函数及其应用；（2）2．1．7求函数的解析式；（3）10．2．1频率分布直方图的绘制与应用；（4）10．4．2随机事件的频率与概率
难度：C
备注：高频考点、典型题
28．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为药，药)的疗效，随机地选取位患者服用药，位患者服用药，这位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：)，试验的观测结果如下：
服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1．2 2．7 1．5 2．8 1．8 2．2 2．3 3．2 3．5
2．5 2．6 1．2 2．7 1．5 2．9 3．0 3．1 2．3 2．4
服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1．7 1．9 0．8 0．9 2．4 1．2 2．6 1．3 1．4
1．6 0．5 1．8 0．6 2．1 1．1 2．5 1．2 2．7 0．5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

【答案】（1）A药的疗效更好；（2）A药的疗效更好
解析：（1）设A药观测数据的平均数为 ，B药观测数据的平均数为 ，又观测结果可得

由以上计算结果可得，因此可看出。
（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好。
考点：平均值的求解；绘制茎叶图
难度：A
备注：高频考点