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2023年全国高考数学真题分类组合第5章《平面向量》试题及答案
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这是一份2023年全国高考数学真题分类组合第5章《平面向量》试题及答案,共5页。
第五章 平面向量
第一节 平面向量的概念及线性运算
1.(2023新高考II卷13)已知向量满足,,则______.
【解析】解法一(向量运算):因为,所以①
因为,所以,
化简得,代入①得,.
解法二(向量运算加减几何意义):
如图所示,,,所以,
所以四边形为等腰梯形,则.
即.
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
1.(2023新高考I卷3)已知向量,.若,则( )
A. B. C. D.
【解析】,
所以.故选D.
第三节 平面向量的数量积及应用
1.(2023北京卷3)已知向量满足,,则( )
A. B. C. D.
【分析】利用平面向量数量积的运算律,数量积的坐标表示求解作答.
【解析】向量满足,
所以.
故选B.
2.(2023全国甲卷理科4)向量,且,则( )
A. B. C. D.
【分析】作出图形, 根据几何意义求解.
【解析】因为, 所以,
即, 即, 所以.
如图所示, 设,,,
由题知,,,是等腰直角三角形,
边上的高,,所以,
,,
.
故选D.
3.(2023全国甲卷文科3)已知向量,,则( )
A. B. C. D.
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得,从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【解析】因为,所以,
则,,
所以.
故选B.
4.(2023全国乙卷理科12)已知圆的半径为 1,直线与圆相切于点,直线与圆交于两点,为的中点,若,则的最大值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】依题意为等腰直角三角形,,
. 因为要求的最大值,所以一定在同侧,如图所示,
设,,则,.
所以
=
当时等号成立,所以的最大值为.故选A.
5.(2023全国乙卷文科6)正方形的边长是2,是的中点,则( )
A. B. C. D.
【分析】解法一:以为基底向量表示,再结合数量积的运算律运算求解;解法二:建系,利用平面向量的坐标运算求解;解法三:利用余弦定理求,进而根据数量积的定义运算求解.
【解析】解法一(基底法):以为基底向量,可知,
则,
所以.
解法二(建系法):如图所示,以为坐标原点建立平面直角坐标系,
则,可得,
所以.
解法三(定义法):由题意可得:,
在中,由余弦定理可得,
所以.
故选B.
6.(2023天津卷14)在中,,,点为的中点,点为的中点,若设,则可用表示为_________;若,则的最大值为_________.
【分析】空1:根据向量的线性运算,结合为的中点进行求解;空2:用表示出,结合上一空答案,于是可由表示,然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【解析】空1:因为为的中点,所以,即,则;
空2:因为,则,由题意可得,
得到,即,即.
于是.
记,
则,
在中,根据余弦定理:,
于是,
由和基本不等式,,
故,当且仅当取得等号,
则时,有最大值.
故答案为:;.
第五章 平面向量
第一节 平面向量的概念及线性运算
1.(2023新高考II卷13)已知向量满足,,则______.
【解析】解法一(向量运算):因为,所以①
因为,所以,
化简得,代入①得,.
解法二(向量运算加减几何意义):
如图所示,,,所以,
所以四边形为等腰梯形,则.
即.
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
1.(2023新高考I卷3)已知向量,.若,则( )
A. B. C. D.
【解析】,
所以.故选D.
第三节 平面向量的数量积及应用
1.(2023北京卷3)已知向量满足,,则( )
A. B. C. D.
【分析】利用平面向量数量积的运算律,数量积的坐标表示求解作答.
【解析】向量满足,
所以.
故选B.
2.(2023全国甲卷理科4)向量,且,则( )
A. B. C. D.
【分析】作出图形, 根据几何意义求解.
【解析】因为, 所以,
即, 即, 所以.
如图所示, 设,,,
由题知,,,是等腰直角三角形,
边上的高,,所以,
,,
.
故选D.
3.(2023全国甲卷文科3)已知向量,,则( )
A. B. C. D.
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得,从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【解析】因为,所以,
则,,
所以.
故选B.
4.(2023全国乙卷理科12)已知圆的半径为 1,直线与圆相切于点,直线与圆交于两点,为的中点,若,则的最大值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】依题意为等腰直角三角形,,
. 因为要求的最大值,所以一定在同侧,如图所示,
设,,则,.
所以
=
当时等号成立,所以的最大值为.故选A.
5.(2023全国乙卷文科6)正方形的边长是2,是的中点,则( )
A. B. C. D.
【分析】解法一:以为基底向量表示,再结合数量积的运算律运算求解;解法二:建系,利用平面向量的坐标运算求解;解法三:利用余弦定理求,进而根据数量积的定义运算求解.
【解析】解法一(基底法):以为基底向量,可知,
则,
所以.
解法二(建系法):如图所示,以为坐标原点建立平面直角坐标系,
则,可得,
所以.
解法三(定义法):由题意可得:,
在中,由余弦定理可得,
所以.
故选B.
6.(2023天津卷14)在中,,,点为的中点,点为的中点,若设,则可用表示为_________;若,则的最大值为_________.
【分析】空1:根据向量的线性运算,结合为的中点进行求解;空2:用表示出,结合上一空答案,于是可由表示,然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【解析】空1:因为为的中点,所以,即,则;
空2:因为,则,由题意可得,
得到,即,即.
于是.
记,
则,
在中,根据余弦定理:,
于是,
由和基本不等式,,
故,当且仅当取得等号,
则时,有最大值.
故答案为:;.