大题专练训练36：导数（构造函数证明不等式1）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练36：导数（构造函数证明不等式1）-2022届高三数学二轮复习，共8页。试卷主要包含了已知a是常数，函数flnx﹣x，已知函数为常数），已知函数，，已知函数等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练36—导数（构造函数证明不等式1）1．已知a是常数，函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若0＜a＜1，证明：f（ea）＞﹣1．（1）解：函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x的定义域为（0，+∞），又，①当a≤0时，令f'（x）＝0，解得x＝1，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；②当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝1或x＝2a，（i）当2a＜1，即时，当2a＜x＜1时，f'（x）＜0，当0＜x＜2a或x＞1时，f'（x）＞0，故f（x）在（2a，1）上单调递减，在（0，2a），（1，+∞）上单调递增；（ii）当2a＝1，即时，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；（iii）当2a＞1，即时，当1＜x＜2a时，f'（x）＜0，当0＜x＜1或x＞2a时，f'（x）＞0，故函数在（1，2a），上单调递减，在（0，1），（2a，+∞）上单调递增．（2）证明：f（ea）＝a（ea﹣a2）﹣ea，要证f（ea）＞﹣1，即证a（ea﹣a2）﹣ea＞﹣1，即证（a﹣1）ea＞a3﹣1，因为0＜a＜1，也就是证明ea＜a2+a+1，即证，下面证明成立，令g（a）＝（0＜a＜1），则，当0＜a＜1时，g'（a）＞0，故g（a）在（0，1）上单调递增，所以g（a）＞g（0）＝1，即成立．故f（ea）＞﹣1．2．已知函数为常数）．（1）若曲线在处的切线方程为，求，的值；（2）讨论函数函数的单调性；（3）当，时，求证：．解：（1），（1），（1），曲线在处的切线方程为：，即：，由题意：，，，；（2），，当时，在上恒成立；当时，令，即，解得，令，即，解得．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在，上单调递减．（3）证明：令，则，令，则，令得：   令得：，在上单调递减，在上单调递增，（1）（1），，，存在使，且当或时，，当，时，，在上递增，在，上递减，在上递增，又（1），所以有：，即，．3．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当且时，求证：．解：（1）由题意，得分①若，令，得，令，得故函数在上单调递减，在上单调递增；分②若，令，得，令，得故函数在上单调递增，在上单调递减；分③若，令，为常量函数，不存在单调性分（2）证明：当时，，则证，即证，不等式两端同时除以，即证，得，分记函数，则．设，当时，，所以函数在上单调递增．所以当时，（1）分所以，所以函数在上单调递增．所以（1），即成立，故得证分4．已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）设函数，当时，若函数的极大值点为，证明：．解：（1）的定义域为，，①当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，②当时，由，解得，，此时，当，，时，，函数单调递减，当，，，函数单调递增，综上所述，当时，在上单调递减，在，上单调递增，当时，在，，时，单调递减，在，，单调递增．证明：（2），，当时，即或时，令，则的两个根为，，函数的极大值点为，，又，，，，由，可得，则，，，令，，，，，当时，，当时，，在上单调递增，在，上单调递减，，在上单调递减，（1），故．5．已知函数，．（1）证明：当时，；（2）若，求．解：（1）证明：，，，考虑到，，所以①当，时，，此时，②当，时，，所以单调递增，所以，所以函数单调递减，，③当，时，，所以单调递增，所以，所以函数单调递增，，当，时，，综上所述，当时，．（2）构造函数，考虑到，，，，由（1）可知：在时恒成立，所以在，上单调递增，①若，则在，为负，为正，在，单调递减，递增，所以，而当时，，故满足题意．②若，，因为，所以，由零点存在定理，必存在，，使得，此时满足时，，单调递减，所以，矛盾，舍去，③若，，因为当时，，所以当时，，此时必存在，使得，此时满足，时，，单调递增，所以，矛盾，舍去，而当时，当，所以在，时，成立，单调递增，，矛盾，舍去．综上所述，．6．已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：．（Ⅰ）解：因为，所以，当时，恒成立，则在上单调递增；当时，令，则，所以，令，则，所以，所以的增区间为，减区间为．综上：当时，的增区间为；当时，的增区间为，减区间为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，，，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，故（1），所以又因为，所以则，从而，所以．