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    2023届高三数学一轮复习大题专练08导数构造函数证明不等式2含解析

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    2023届高三数学一轮复习大题专练08导数构造函数证明不等式2含解析

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    这是一份2023届高三数学一轮复习大题专练08导数构造函数证明不等式2含解析,共8页。试卷主要包含了已知函数,已知函数与,已知等内容,欢迎下载使用。
    一轮大题专练8—导数(构造函数证明不等式2)
    1.已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)证明:当时,.
    解:(1)函数的定义域为,,
    令,
    当时,,此时在上单调递减;
    当时,为二次函数,△,
    ①若△,即时,的图象为开口向下的抛物线且,则,此时在上5单调递减;
    ②当△,即或时,令,解得,
    当时,的图象为开口向下的抛物线,,
    当,,时,,则,单调递减,当,时,,则,单调递增;
    当时,的图象为开口向上的抛物线,,
    当,,则,单调递减,当,,,则,单调递增;
    综上,当时,在上单调递减,在上单调递增;
    当时,在上单调递减,在上单调递增;
    当时,在上单调递减.
    (2)证明:由(1)知,当时,在上单调递减,在上单调递增,
    因此对任意恒有(1),即,
    又,要证,只需证,
    令,则,,

    ,则在,上单调递增,又(1),
    当时,恒成立,则在,上单调递增,又(1),
    对任意恒有(1),即,即得证.
    2.已知函数.
    (1)求在处的切线方程;
    (2)已知关于的方程有两个实根,,当时,求证:.
    解:(1),
    ,,
    故时的切线方程是,
    即;
    (2)证明:由(1)知:在递减,在递增,
    ,,
    当时,方程有2个实根,,则,,
    令,
    则,
    令,则,
    故在递增,故,
    故在递增,故,故,
    故,
    故,
    故时,,故,
    故.
    3.已知函数与.是自然对数的底数,
    (1)讨论关于的方程根的个数;
    (2)当,时,证明:.
    解:(1)令,,,
    当时,不满足
    当时,,
    ,,,
    因此在区间上单调递增,
    (1),在区间上单调递减,
    ,,根据零点定理,在上存在唯一零点.
    当,,,
    ,,,,在上单调递增,
    (1),(e),
    根据零点定理,在上存在唯一零点,
    因此,根的个数为2个.
    (2)
    设,,,
    在,上单调递减,在,上单调递减,,
    所以,,
    要证明,仅需要证明,
    设,

    当,,
    在该区间上单调递增,
    所以,,
    所以,,
    综上所述,当,时,.
    4.已知.
    (1)求的单调区间;
    (2),若有两个零点,,且.求证:.(左边和右边两个不等式可只选一个证即可)
    解:(1),
    当时,,在单调递增;
    当时,令,解得,令,解得,
    在单调递增,在单调递减;
    综上,当时,的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;
    (2)证明:,令,则,
    设,则,
    易知函数在单调递减,在单调递增,且时,,当时,,(1),

    又,则,
    ①若证所证不等式的左边,即,即证,
    又(b),则,故即证,即证,
    设(b),,则,
    (b)在上单调递减,
    (b)(1),即得证;
    ②若证所证不等式的右边,即,即证,即证,
    又(a),即,故即证,即证,
    设(a),,则,
    (a)在单调递减,故(a)(1),即得证.
    5.已知函数,且函数与有相同的极值点.
    (1)求实数的值;
    (2)若对,不等式恒成立,求实数的取值范围;
    (3)求证:.
    解:(1)令,解得,
    易知函数在单调递增,在单调递减,故函数的极大值点为,
    令,则由题意有,(1),解得,经验证符合题意,
    故实数的值为1;
    (2)由(1)知,函数在单调递增,在单调递减,
    又,且,
    当时,(1),(3),
    ①当,即时,对,不等式恒成立,即为恒成立,
    则,

    又,
    此时的取值范围为;
    ②当,即时,对,不等式恒成立,即为恒成立,
    则,

    又,
    此时的取值范围为,
    综上,实数的取值范围为,,;
    (3)证明:所证不等式即为,
    下证:,即证,
    设,则,,
    易知函数在上单调递减,且,
    故存在唯一的,使得,即,,
    且当时,,单调递增,当,时,,单调递减,

    在单调递减,
    又时,,故,即;
    再证:,即证在上恒成立,
    设,,
    在单调递增,则,故,
    综上,,即得证.
    6.已知函数.
    (1)讨论的极值情况;
    (2)若时,,求证:.
    解:(1)的定义域是,,
    ①时,,在上单调递增,无极值,
    ②时,令,解得:,令,解得:,
    故在递减,在递增,
    故,无极大值;
    综上:时,在上单调递增,无极值,
    时,,无极大值;
    (2)证明:①时,,使,
    则,,此时成立,
    ②时,由(1)得时,,
    ,则,解得:,
    故,
    设,则,
    为上的减函数,且,,
    则存在唯一实数,,使得,,
    当时,,递增,
    当,时,,递减,
    故当时,的最大值是,
    为,上的增函数,
    时,,则,
    故(a),原结论成立.


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