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2023届高三数学一轮复习大题专练08导数构造函数证明不等式2含解析
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这是一份2023届高三数学一轮复习大题专练08导数构造函数证明不等式2含解析,共8页。试卷主要包含了已知函数,已知函数与,已知等内容,欢迎下载使用。
一轮大题专练8—导数(构造函数证明不等式2)
1.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:当时,.
解:(1)函数的定义域为,,
令,
当时,,此时在上单调递减;
当时,为二次函数,△,
①若△,即时,的图象为开口向下的抛物线且,则,此时在上5单调递减;
②当△,即或时,令,解得,
当时,的图象为开口向下的抛物线,,
当,,时,,则,单调递减,当,时,,则,单调递增;
当时,的图象为开口向上的抛物线,,
当,,则,单调递减,当,,,则,单调递增;
综上,当时,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在上单调递减.
(2)证明:由(1)知,当时,在上单调递减,在上单调递增,
因此对任意恒有(1),即,
又,要证,只需证,
令,则,,
,
,则在,上单调递增,又(1),
当时,恒成立,则在,上单调递增,又(1),
对任意恒有(1),即,即得证.
2.已知函数.
(1)求在处的切线方程;
(2)已知关于的方程有两个实根,,当时,求证:.
解:(1),
,,
故时的切线方程是,
即;
(2)证明:由(1)知:在递减,在递增,
,,
当时,方程有2个实根,,则,,
令,
则,
令,则,
故在递增,故,
故在递增,故,故,
故,
故,
故时,,故,
故.
3.已知函数与.是自然对数的底数,
(1)讨论关于的方程根的个数;
(2)当,时,证明:.
解:(1)令,,,
当时,不满足
当时,,
,,,
因此在区间上单调递增,
(1),在区间上单调递减,
,,根据零点定理,在上存在唯一零点.
当,,,
,,,,在上单调递增,
(1),(e),
根据零点定理,在上存在唯一零点,
因此,根的个数为2个.
(2)
设,,,
在,上单调递减,在,上单调递减,,
所以,,
要证明,仅需要证明,
设,
,
当,,
在该区间上单调递增,
所以,,
所以,,
综上所述,当,时,.
4.已知.
(1)求的单调区间;
(2),若有两个零点,,且.求证:.(左边和右边两个不等式可只选一个证即可)
解:(1),
当时,,在单调递增;
当时,令,解得,令,解得,
在单调递增,在单调递减;
综上,当时,的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;
(2)证明:,令,则,
设,则,
易知函数在单调递减,在单调递增,且时,,当时,,(1),
,
又,则,
①若证所证不等式的左边,即,即证,
又(b),则,故即证,即证,
设(b),,则,
(b)在上单调递减,
(b)(1),即得证;
②若证所证不等式的右边,即,即证,即证,
又(a),即,故即证,即证,
设(a),,则,
(a)在单调递减,故(a)(1),即得证.
5.已知函数,且函数与有相同的极值点.
(1)求实数的值;
(2)若对,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:.
解:(1)令,解得,
易知函数在单调递增,在单调递减,故函数的极大值点为,
令,则由题意有,(1),解得,经验证符合题意,
故实数的值为1;
(2)由(1)知,函数在单调递增,在单调递减,
又,且,
当时,(1),(3),
①当,即时,对,不等式恒成立,即为恒成立,
则,
,
又,
此时的取值范围为;
②当,即时,对,不等式恒成立,即为恒成立,
则,
,
又,
此时的取值范围为,
综上,实数的取值范围为,,;
(3)证明:所证不等式即为,
下证:,即证,
设,则,,
易知函数在上单调递减,且,
故存在唯一的,使得,即,,
且当时,,单调递增,当,时,,单调递减,
,
在单调递减,
又时,,故,即;
再证:,即证在上恒成立,
设,,
在单调递增,则,故,
综上,,即得证.
6.已知函数.
(1)讨论的极值情况;
(2)若时,,求证:.
解:(1)的定义域是,,
①时,,在上单调递增,无极值,
②时,令,解得:,令,解得:,
故在递减,在递增,
故,无极大值;
综上:时,在上单调递增,无极值,
时,,无极大值;
(2)证明:①时,,使,
则,,此时成立,
②时,由(1)得时,,
,则,解得:,
故,
设,则,
为上的减函数,且,,
则存在唯一实数,,使得,,
当时,,递增,
当,时,,递减,
故当时,的最大值是,
为,上的增函数,
时,,则,
故(a),原结论成立.