2023届高三数学一轮复习大题专练07导数构造函数证明不等式1含解析

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一轮大题专练7—导数（构造函数证明不等式1）
1．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：．
解：（1），．
，
时，，函数在上单调递增．
时，令，解得，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：当时，要证明：，即证明，
令，，
令，解得；令，解得．
函数在上单调递增，在上单调递减．
时，函数取得极大值即最大值，（e）．
令，
，
令，解得；令，解得．
函数在上单调递减，在上单调递增．
时，函数取得极小值即最小值，（2）．
．
，
即，也即．
2．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：．
（Ⅰ）解：由，可得，
则（1），又（1），
所以曲线在点，（1）处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）解：的定义域为，，
当时，，在上单调递增；
当时，令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，
则要证，即证，即证，
而，则，否则方程不成立），
所以即证，化简得，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以（1），而，
所以，
所以，得证．
3．已知函数，函数，
（1）记，试讨论函数的单调性，并求出函数的极值点；
（2）若已知曲线和曲线在处的切线都过点．求证：当时，．
解：（1），，
记，
当时，，在单调递增，无极值点，
当时，△，有异号的两根，，
，，，在单调递减，
，，，，在，单调递减，
有极小值点；
（2）证明：，，
（1），在处的切线方程为，过点得：，
（1），在处的切线方程为，过点得：，
，，
要证：，即证：，
即证：，
构造函数，则，
时，，
时，，在单调递减，
时，，在单调递增，
（1），故原不等式成立．
4．已知函数在处取得极值．
（Ⅰ）若对，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设，记函数在，上的最大值为，证明：．
（Ⅰ）解：，则，
又在处取得极值，则有（1），解得，
此时，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以确实在处取得极值，
故，
设，
则在上恒成立，即在上恒成立，
因为，
当，即时，在上恒成立，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
要使得在上恒成立，
则有，解得，
综上所述，实数的取值范围为，；
（Ⅱ）证明：要证，即证明即可，
因为，
则，
因为，时，恒成立，
设，，，则为单调递增函数，
又，
则存在，使得，即，
则当时，，，则，故单调递增，
当，时，，且不同时为0，则，故单调递减，
所以在，上的最大值为，
又，则，，
设，，
则对于恒成立，
故在上单调递增
故，
，
于是，
故．
5．已知函数，对于，恒成立．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：当时，．
解：（1）由恒成立，得对恒成立，
令，，
当，，单调递增，
当，，单调减，，
故所求实数的取值范围为，；
（2）证明：由（1）得．
欲证，只需证即可，
令，
，
令，则易知在单调递增，且，，
故存在，使得；
当，时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
又，，，
故当时，．
6．已知函数，．
（Ⅰ）已知恒成立，求的值；
（Ⅱ）若，求证：．
解：（1）已知恒成立，即恒成立，
令，则有，
当时，则恒有，此时函数单调递增，并且当时，，不满足题意；
，此时令；
；，即函数在上单调递减，在上单调递增，
，
若要满足题意，则需使，恒成立，
令（a），则有（a），
由此可得，当时，（a）；当时，（a）．
（a）（1），即得（a），
．
（2）令，则有恒成立，故可得在上单调递增，
即有恒成立，故有在上恒成立；
根据题意，要证，即证明，
即证，
即证，
令，则有，
，
，，
在上恒成立，即得函数在上单调递减，
（1），由此得证当时，原不等式成立．
7．已知函数，的反函数为（其中为的导函数，．
（1）判断函数在上零点的个数；
（2）当，求证：．
解：（1）由题意得，
则，
由得或，
由，得或，
由，得，
当在上变化时，，变化情况如下表：



，
1



0

0


单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
根据上表知，（1），
，
根据零点的存在性定理，函数在上存在唯一零点，又因为（1），
所以根据的单调性可知，函数在上零点的个数为2．
（2）证明：因为，其反函数为，
所以不等式为，
当时，，
所以在上单调递减，
所以（1），
设函数，
则，
设函数，则，
所以在上单调递增，
因为（1），
所以存在，使得，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增，
当时，，
当，时，，（1），
所以存在，使得，
所以当时，，
当，时，，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增，
因为，（1），
所以当时，，
所以，
所以．