第四章 导数专练15—证明数列不等式-2022届高三数学一轮复习

这是一份第四章 导数专练15—证明数列不等式-2022届高三数学一轮复习，共8页。试卷主要包含了已知函数，曲线在处的切线方程为，已知函数，已知函数的图象在处的切线斜率为，已知关于的函数，已知函数，，已知对任意，恒成立等内容，欢迎下载使用。
第四章 导数专练15—证明数列不等式1．已知函数，曲线在处的切线方程为．（1）求证：当时，；（2）求证：．证明：（1）函数，（1）．，（1），曲线在处的切线方程为：，．（1）令，．则，，函数在单调递增，（1），函数在单调递增，（1）．当时，．（2）由（1）可得：，令，则化为：，，，，，，，，．2．已知函数．（1）若在区间，上单调递增，求实数的取值范围；（2）求证：且．解：（1）依题意，在，上恒成立，即在，上恒成立，，即实数的取值范围为，；（2）证明：当时，，在区间上单调递增，，即，令得，，，且，即得证．3．已知函数．（1）若，且，求的值；（2）证明：．（1）解：由题意知，，当时，，所以在上递减，又（1），所以不符合题意；当时，令，所以在上递减，上递增，所以，令（a），则，当时，（a），所以（a）递增；当时，（a），所以（a）递减，所以（a）（1），而，所以．（2）证明：方法一：由（1）知，当时，，所以，令，则，所以，所以，，，，累加得，所以，．方法二：由（1）知，当时，，所以，令，则，即，所以，，，，累加得，又，所以，所以，．4．已知函数的图象在处的切线斜率为．（Ⅰ）求证：时，；（Ⅱ）求证：．证明：（Ⅰ）由，得，由题意，，得，故，，令，可得在上单调递增，，即，在上单调递减，则，则时，；（Ⅱ）当，时，，，，则，由（1）知，时，，令，，3，，，，，，，，相加得：．5．已知关于的函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）证明：当时，．解：（Ⅰ）由得，知当时，，故在上单调递减，当时，，故当时，，在，递增，当时，，在递减，综上：时，在上单调递减，当时，在递减，在，递增；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知时，在递减，在，递增，，即有，，，，，，上列各式累加得：，故．6．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：对任意，都有．（1）解：函数，定义域为，，①当，即时，对恒成立，所以在上单调递增；②若，即时，方程的两个根为，当时，，当时，，当时，，所以在和，上单调递增，在，上单调递减，综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和，上单调递增，在，上单调递减；（2）证明：当时，，由（1）可知，在上单调递增，即对任意的，都有，故，整理可得，令，2，3，，，则，迭加可得，，下面证明：对任意的，，令函数，则，，当时，，则函数在区间上单调递减，所以（1），故函数在区间上单调递减，所以（1），故对于，则有，令，则有，所以，故对任意，都有．7．已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）若有两个零点，，且，证明：．解：（1）的定义域是，，时，，时，，故在递增，在递减，即时，取最大值（1），若，则，，即的取值范围是，；（2）证明：由（1）知，，，，故，，令，则，由（1）可知，，当且仅当时“”成立，故，当且仅当时“”成立，故，即单调递增，故当时，（1），当时，（1），故，，故．8．已知函数，．（1）若在，单调递增，求的取值范围；（2）若，求证：．解：（1）在，上单调递增，当，时，恒成立，即恒成立．令，则，在区间，上单调递增，（1），，即的取值范围为，；（2）证明：由（1）知，当，时，在，上单调递增，不妨令，则在，上单调递增，（1），在，上恒成立．令，则有，，（证毕）．9．已知对任意，恒成立．（1）求的范围；（2）证明：．（参考数据：，，，，解：（1），令，当时，即恒成立，故在单调递增，又，故恒成立．当时，由，设且，则时，即，因此在上单调递减，又，故时，，不符合题意．综上，的取值范围为，．（2）证明：由（1）知，取，当时，，故对，，即，所以，所以．