人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线综合训练题

3.3.2 抛物线的简单几何性质（2） -B提高练

一、选择题

1．（2020·江西宜春高二期中）已知点A，抛物线C：的焦点F．射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则=（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），定点A（2，0），∴抛物线C的准线方程为y=-1.

设准线与y轴的交点P，则FM：MN=FP：FN，又F（0，1），A（2，0），∴直线FA为：x+2y-2=0，当y=-1时，x=4，即N（4，-1），，=.

2．（2020·辽宁大连高二月考）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，设在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为，则，根据抛物线的定义可知点到该抛物线的准线的距离为,则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和，故选A.

3.已知拋物线y2=8x的焦点为F,过点F的直线与该抛物线交于A,B两点,且16≤|AB|≤24,O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则的取值范围是(　　)

A.[-2,-]∪[,2] B.[-,-1]∪[1,]       C.[-2,-1]∪[1,2] D.[-]

【答案】B

【解析】对于一般的抛物线方程y2=2px,设过焦点的直线方程为x=my+,

与抛物线方程联立可得y2-2pmy-p2=0,设A,B,故y1+y2=2pm,

则=m=,

其中k为直线AB的斜率,设AB所在直线的倾斜角为θ,由抛物线的焦点弦公式可知|AB|=∈[16,24],则sin2θ∈,tan2θ=-1=,故∈[1,2],

所以的取值范围是[-,-1]∪[1,].

4．（2020·河南洛阳高二月考）已知抛物线y2=16x的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于M,N两点,则的最小值为(　　)

A. B.- C.- D.

【答案】D

【解析】抛物线y2=16x的焦点为F,则F(4,0),当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4,

由可得M(4,8),N(4,-8),∴|MF|=|NF|=8,∴.

当直线l的斜率存在时,设过点F的直线l的方程为y=k(x-4),不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),

由消y可得k2x-(16+8k2)x+16k2=0,∴x1+x2=8+,x1x2=16,

∴|MF|=x1+=x1+4,|NF|=x2+=x2+4,

∴.∴-1≥2-1=,

当且仅当|NF|=6时取等号.故的最小值为.

5．（多选题）（2020·江苏如皋高二月考）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为

B．若，，三点共线，则

C．若直线与的斜率之积为，则直线过点

D．若，则的中点到轴距离的最小值为2

【答案】BCD

【解析】由抛物线，可得，则焦点坐标为，故A错误；设直线的方程为，联立方程组，可得，所以，

所以，所以，故B正确；

设直线的方程为，联立方程组，可得，所以，所以，

因为直线与的斜率之积为，即，可得，解得，

所以直线的方程为，即直线过点，故C正确；

因为，

所以，所以，因为，

所以的中点到轴的距离：

，当且仅当时等号成立，

所以的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确，综上所述，正确命题为BCD.

6. （多选题）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,点P在l上的射影为P1,则下列结论中正确的是(　　)

A.若x1+x2=6,则|PQ|=8

B.以PQ为直径的圆与准线l相切

C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|≥

D.过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条

【答案】ABC

【解析】若直线的斜率存在,设y=k(x-1),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

x1+x2=,x1x2=1.对于A,若x1+x2=6,则k2=1,故k=1或-1,|PQ|=×4=8,故A成立;对于B,取PQ点中点N,N在l上的投影为N',Q在l上的投影为Q',根据抛物线的定义,|PP1|=|PF|,|QQ'|=|QF|,NN'为梯形的中位线,故|NN'|=(|PP1|+|QQ'|)=|PQ|,故B成立;

对于C,M(0,1),|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|MF|=,故C成立;对于D,过M(0,1)且与抛物线相切的直线有2条,过M(0,1)且与x轴平行的直线与抛物线相交且有一个交点,所以至多有三条,故D不成立.

二、填空题

7．（2020·博兴第三中学高二月考）以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.

【答案】

【解析】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，

所以圆的圆心为，半径为，故圆的标准方程为.

故答案为：

8.已知M,N是过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线C的交点,O是坐标原点,且满足=3,S△OMN=|MN|,则p的值为　　　　　. 

【答案】8

【解析】不妨设直线MN的斜率k>0,过M,N作抛物线准线的垂线,垂足分别为G,H,

过N作NK⊥MG于K,由=3,得|MF|=3|FN|,∴|MG|=3|NH|,

∴|MK|=2|NH|=2|NF|=|MN|,∴|NK|=|MN|,

由S△OMN=S△OMF+S△ONF=|OF|·|NK|=p|MN|,又S△OMN=|MN|,∴p|MN|=|MN|,得p=8.

9．（2020·华南师大附中高二月考）已知抛物线在第一象限内的一点到抛物线焦点F的距离为4，若P为抛物线准线上任意一点，则当的周长最小时，点P到直线的距离为______.

【答案】

【解析】由已知及抛物线的定义得点A到准线的距离为4，因此有，解得，故抛物线方程为，从而.当的周长最小即的值最小，

设F关于准线的对称点为，则，连接，则与准线的交点即为使得的值最小的点P，此时可求得.又因为，所以直线的方程为，即，故点P到直线的距离.

10. （2020·山西师大附中高二月考）抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行x轴方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为　　　　　. 

【答案】y2=3x

【解析】由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点F.

当直线PQ斜率不存在时,易得|PQ|=2p;当直线PQ斜率存在时,设PQ的方程为y=k,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得k2=2px,整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,

所以x1+x2=p+,x1x2=.所以|PQ|=x1+x2+p=2p>2p.综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,

又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,∴抛物线方程为y2=3x.

三、解答题

11. （2020·利川市第五中学高二期中）已知动点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，动点满足.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）点，过点且斜率为的直线交轨迹于两点，设直线的斜率分别为，求的值.

【解析】（1）设点，可得，则可得出点的坐标为，得动点轨迹的方程为.

（2）设过点的直线方程为，

联立方程有，可得，

则.

，

.

12.（2020·全国高二专题练）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上．

（1）求p的值及抛物线的准线方程 ；

（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；  

（3）当xA∈（1，2）时，求△ABC面积的最大值．

【解析】（1）点为抛物线的焦点，即，即，

抛物线的方程为，准线方程为；

（2）证明：设过的直线方程为，，，，，，，

即有，，，

联立直线和抛物线可得，

可得，，

则，

由的重心在轴上，可得，即，

即有，

当直线的斜率不存在时，求得，，的坐标，可得．

则直线与直线的倾斜角互补；

（3）由（2）可得，，

可得，解得，

由抛物线的定义可得，

由，即，即，，

的坐标为，，

到直线的距离为，

可得的面积为，

由，可得，

设，则，

由，则在递减，

可得；

当直线的斜率不存在时，设，，可得，

的面积为，

可得的面积的最大值为2．