上海期末全真模拟试卷（2）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）

上海期末全真模拟试卷（2）

本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题，满分100分。考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号，用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷相对应的位置上，并认真核对；

2．答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；

3．考生答题必须答在答题卷上，保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。

一、填空题（每题3分，共36分）

1．已知向量且，则______．

【答案】

【分析】由，得，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】解：，，

，即，

，

故答案为：.

2．已知复数z满足，则的最小值为_________．

【答案】3

【分析】可得表示复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，的最小值即为复数对应的点到的距离的最小值.

【详解】由可得复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，

表示复数对应的点到的距离，

点到点的距离为，

则的最小值.

故答案为：3.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确理解复数的几何意义，判断出表示复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上.

3．当时，函数的最小值是________.

【答案】

【分析】化简，根据，得，再利用二次函数的性质求解的最大值，即可得函数的最小值.

【详解】，

当时，，所以，

，即的最小值为.

故答案为：

4．已知是函数的两个零点，若的最小值为，则的单调递增区间为____________.

【答案】

【分析】分析题意，判断出的最小值即为相邻的两个对称中心的距离，可求得，从而得，然后利用整体法代入求解单调递增区间.

【详解】由题意可知，两个零点之差的最小值为，即相邻的两个对称中心的距离为，即，所以可得，所以，所以，，所以函数的单调递增区间为.

故答案为：.

5．设都是锐角，且，则________．

【答案】

【分析】根据都是锐角，可得，再利用两角差的余弦公式以及同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】都是锐角，且，

，

所以，，

.
故答案为：

6．已知在△中，，，则△外接圆的半径是____________.

【答案】1

【分析】又余弦定理可求出，再由正弦定理即可求出.

【详解】，即，

，

，，

设△外接圆的半径为，则，即.

故答案为：1.

7．如图所示，在四边形中，已知，，，，，___________．

【答案】

【分析】在中，利用余弦定理得到，求出；在中，利用正弦定理，由，即可求出.

【详解】在中，，，，

由余弦定理可得：，

即，解得或（舍）；

又，所以；

在中，，，，

由正弦定理可得，所以.

故答案为：.

8．在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为_________．

【答案】

【分析】由三点共线及平面向量基本定理得的关系，然后结合基本不等式得最小值．

【详解】因为，所以，

又三点共线，所以，

所以，当且仅当，妈时等号成立．所以的最小值为．

故答案为：．

【点睛】结论点睛：是平面上不共线三点，是平面上任一点，，

则三点共线，若在线段内部（不含端点），则．

9．已知，在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点间的距离为，则________.

【答案】

【分析】作出图形，利用勾股定理可得出关于的表达式，即可求得的值.

【详解】作出函数与的图象如下图所示：

函数与的最小正周期均为，

由图象可知，，

由已知条件可得，可得，

过点作，垂足为点，则为的中点，且，

由勾股定理可得，可得，因此，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据图形结合勾股定理得出关于的等式求解，注意在求解的值时，需要分析出相应三角函数的最小正周期.

10．已知函数的部分图象如图所示，则___________.

【答案】

【分析】由图可得，即可求得：，再由图可得：当时，结合即可得，代入即可求解.

【详解】由图可得：，

所以，解得：

由图可得：当时，，

即：，所以 （）

又，所以，

，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：根据“五点法”求函数图象的解析式，一般先根据周期求，再由特殊点求，属于中档题.

11．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则___________.

【答案】

【分析】将2sin18°替换t代入所求值的式子中，利用三角变换公式化简即得.

【详解】因t=2sin18°，则有

.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：含非特殊角三角函数式求值问题，合理选择诱导公式、同角三角函数基本关系、和差角的三角函数公式，二倍角公式等三角变换公式，借助通分、约分，合并等方法解决.

12．已知A、B、C、D是单位圆上的四个点，且A、B关于原点对称，则的最大值是________．

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，设，，，用向量数量积的坐标表示表示出来，再根据三角恒等变换以及二次函数的性质即可求出.

【详解】

建立平面直角坐标系，如图所示：

设，，，

所以

，当且仅当且时取等号．

故答案为：．

【点睛】思路点睛：本题主要考查数量积的运算，涉及有关平面向量数量积运算的最值问题，一般通过解析法解决，根据题目条件引入参数，用三角函数定义表示出点的坐标，再根据三角恒等变换转化为函数的值域问题，变形难度较大，考查学生综合运用知识的能力．

二、选择题（每题4分，共16分）

13．已知为复数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则为实数

C．若，则为纯虚数 D．若，则

【答案】B

【分析】应用特殊值法判断A、D的正误，根据复数的概念结合已知条件判断B、C的正误.

【详解】A：时，，显然，错误；

B：则虚部为0，即为实数，正确；

C：为非零实数时，也成立，错误；

D：，时，，错误.

故选：B.

14．函数的部分图象如图所示，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由的最大值可得A，由图可知，从而可求，逆用五点作图法可得，进而可求解.

【详解】解：由图可知，所以A=1，

，

，解得，

，

逆用五点作图法可得，即，

，

，

故选：D.

15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由正弦定理，由题中条件，得到，再由三角形有两个解，得到，从而可求出结果.

【详解】因为，，

由正弦定理可得，所以，

又满足题意的三角形有两个，所以只需，即，

解得.

故选：C.

15．如图，在等边中，，向量在向量上的 投影向量为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将向量用表示，求得模长及，从而利用投影公式求得向量在向量上的投影向量即可.

【详解】由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，

则，

，，

则向量在向量上的投影向量为：

，

故选：D

【点睛】关键点点睛：表示出，计算得到，利用投影公式求解.

三、解答题（本大题共5题，共48分，解答各题必须写出必要步骤）

17．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且满足.

（1）求C；

（2）若，求当函数取最小值时的周长；

（3）求的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）先由题中条件，得到，再由正弦定理将该式变形整理，求出，即可得出角；

（2）先将化简整理，得到，确定其取最小值时，，进而可求出各边长，得到三角形的周长；

（3）先由（1）得到，，将所求式子化为，化简整理后，利用三角函数的性质，即可求出其范围.

【详解】

（1）由题意可得，

根据正弦定理可得，则，

所以，又为三角形内角，所以，因此，所以；

（2）因为，

由可得，因此；所以当且仅当时，取得最小值，此时；

因为，所以，，

则的周长为；

（3）因为，所以，，

因此，

因为，所以，

因此，所以，

即的取值范围是.

【点睛】思路点睛：

求解三角形的相关问题时，一般先利用正弦定理或余弦定理将题中条件进行转化，求出所需角或边；再结合题中条件，进行求解；有时也会利用三角函数的性质或基本不等式求解最值或范围问题.

18．已知函数，，，的两对称中心之间的最小距离为．

（1）求；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）化简解析式，根据的两对称中心之间的最小距离求得，由此求得.

（2）求得在区间上的值域，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】（1），

，

依题意可知，则.

（2），，

，，

，∴，.

19．已知向量

（1）若，求的值；

（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）且.

【分析】（1）首先算出、，然后可建立方程求解；

（2）由条件可得且与不共线，然后求解即可.

【详解】（1）因为

所以，

因为，所以，解得

（2）因为向量与的夹角为锐角

所以且与不共线

所以，解得且

20．（1）计算；

（2）已知复数和它的共轭复数满足，求．

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）利用复数的乘法与除法可化简所求复数；

（2）利用复数的四则运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出复数.

【详解】（1）；

（2）由已知可得，

所以，，解得或，

因此，或.

21．已知函数，的部分图象，如图所示，、分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为，点的坐标为，且.

（1）求解析式；

（2）若方程在区间内恰有一个根，求的取值范围.

【答案】（1）=；（2）.

【分析】（1）由题设求的周期，根据P的坐标并结合图象有求，过作x轴的垂线，垂足为，利用列方程求A，写出解析式即可.

（2）令，将问题转化为在在区间内恰有一个零点，应用换元法令可得且，讨论在区间内的零点情况，并结合正弦函数、二次函数的性质确定a的范围.

【详解】（1）由解析式知： 又点的横坐标为，

∴，即．过作x轴的垂线，垂足为，则，

故，

∴，故=.

（2）令，

∴方程在区间内恰有一个根等价于函数在在区间内恰有一个零点.

设，当时，，又，

∴，，

令，则函数在内恰有一个零点，可知在内最多有一个零点.

①当0为的零点时，显然不成立；

②当为的零点时，由，得，把代入中，得，解得，，不符合题意.

③当零点在区间时，

若，得，此时零点为1，即，由的图象知不符合题意；

若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内，所以，解得.

综上，的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：

（1）由最高点坐标及图象求φ，应用线段的几何关系，结合三角函数列方程求参数A，写出解析式；

（2）利用辅助角公式、换元法，将问题转化为二次函数在闭区间内最多只有一个零点，注意所得零点需结合换元前的三角函数，验证是否只存在一个零点.