上海期末真题精选50题（大题提升版）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）

上海期末真题精选50题（大题提升版）

1．（2020·上海市川沙中学高一期末）某轮船以海里/小时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东60度．轮船从处向北航行30分钟后到达处，测得油井在南偏东15度，且海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达点．

（1）求轮船的速度；

（2）求、两点的距离（精确到l海里）．

2．（2020·上海高一期末）已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）解三角方程.

3．（2020·上海市建平中学高一期末）如图，学校门口有一块扇形空地，已知半径为常数，，现由于防疫期间，学校要在其中圈出一块矩形场地作为体温检测使用，其中点、在弧上，且线段平行于线段.取的中点为，联结，交线段于点.记，

（1）用表示线段和的长度；

（2）当取何值时，矩形的面积最大？最大值为多少？

4．（2020·上海高一期末）如图，矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上，，.如果与的夹角为，那么当为何值时，矩形的周长最大？并求这个最大值.

5．（2019·上海高一期末）已知函数，.

（1）把化成（，，）的形式，并写出函数的最小正周期和值域；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）定义：对于任意实数、，，设，（常数），若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数的取值范围.

6．（2019·上海市文来中学高一期末）已知，，是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.

（1）如图1，如果与间的距离是1，与间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在，，上，求这个正三角形ABC的边长.

（2）如图2，如果与间的距离是1，与间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在，，上，如果能放，求BC和夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.

（3）如果边长为2的正三角形ABC的三顶点分别在，，上，设与间的距离为，与间的距离为，求的取值范围.

7．（2018·上海高一期末）已知余切函数.

（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）

（2）求证：余切函数在区间上单调递减.

8．（2019·上海上外附中）已知函数.

（1）若，求函数的值；

（2）求函数的值域.

9．（2020·上海上外附中期末）已知两个平面向量与的夹角为，且记.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求与的夹角.

10．（2020·上海师大附中期末）在中，D是AB的中点.

（1）求证：；

（2）若是等边三角形，且外接圆半径为2，圆心为O（如图），P为⊙O上的一动点，试求的取值范围.

11．（2021·上海市行知中学高一期末）已知角是第三象限角，.

（1）求的值；

（2）求的值.

12．（2020·上海市行知中学高一期末）已知．

（1）化简：；

（2）在中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若，，且的面积，求a、b的值．

13．（2020·上海市七宝中学高一期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，满足，

（1）求角的大小；

（2）若，△的面积为，求的值.

14．（2020·上海交大附中高一期末）已知，设，，记函数.

（1）求函数的最小值，并求出函数取最小值时的值；

（2）设的角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积的最大值.

15．（2020·上海高一期末）今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现､早隔离.现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区.经测量，边界与的长都是200米，，.

（1）若，求的长(结果精确到米)；

（2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？(不计损耗，结果精确到米).

16．（2020·上海市青浦高级中学高一期末）某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，是一块边长为100的正方形地皮，扇形是运动场的一部分，其半径是80，矩形就是拟建的健身室，其中、分别在和上，在上，设矩形的面积为，.

（1）将表示为的函数；

（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点在何处？

17．（2020·上海交大附中高一期末）已知，，，.

（1）求的值；

（2）求的值.

18．（2020·上海市进才中学高一期末）在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC边上的高．

19．（2020·上海华师大二附中高一期末）设常数，函数．

（1）若是奇函数，求a的值；

（2）已知，求函数在区间上的最值．

20．（2020·上海中学高一期末）解下列三角方程：

（1）；

（2）；

（3）．

21．（2020·上海市青浦高级中学高一期末）已知函数，．

（1）求函数的单调减区间；

（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围．

22．（2021·上海市奉贤中学期末）在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义.

（1）若=(-1，3)，=(2，3)，求；

（2）若=(2，1)，位置向量的终点在直线x+y+1=0上，求位置向量终点轨迹方程；

（3）对任意两个向量，求证∶.

23．（2021·上海位育中学期末）在平面直角坐标系中，已知，，．

（1）求以线段、为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）若存在轴上一点满足，求．

24．（2021·上海市建平中学期末）已知，，为坐标原点.

（1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；

（2）设，，求的面积.

25．（2019·上海市奉贤区奉城高级中学期末）已知是同一平面内的三个向量，其中

（1）若，且，求的坐标；

（2）若，且与垂直，求与的夹角.

26．（2018·上海期末）已知，其中，求的最大值，并指出取得最大值时与夹角的大小．

27．（2020·上海期末）在平面直角坐标系中，已知向量，．

（1）若，求实数的值；

（2）若对于平面内任意向量，都存在实数、，使得，求实数的取值范围．

28．（2019·上海市建平中学期末）已知向量、的夹角为，且，.

（1）求的值；

（2）求与的夹角的余弦.

29．（2015·上海期末）已知，是不平行的两个向量，是实数，且（）．

（1）用，表示；

（2）若，，，记，求及其最小值．

30．（2020·上海市金山中学期末）已知向量，.

（1）若与垂直，求实数的值；

（2）若对任意的实数m，都有，求实数的取值范围；

（3）设非零向量，求的最大值.

31．（2016·上海期末）如图,在直角坐标平面内已知定点,动点在轴上运动,过点作交轴于点,使得,延长到点,使得

（1）当时,求；

（2）求点的轨迹方程.

32．（2020·上海市南洋模范中学期末）平面向量，点Q为直线OP上的一个动点.

（1）当取得最小值时，求的坐标

（2）当点Q满足（1）的条件和结论时，求的值.

33．（2019·上海市宜川中学期末）已知点是双曲线上的点．

（1）记双曲线的两个焦点为，若，求点到轴的距离；

（2）已知点的坐标为，是点关于原点的对称点，记，求的取值范围．

34．（2019·上海期末）已知．

（1）若，且，求k的值；

（2）若，且，求证：．

35．（2019·上海期末）已知向量的夹角为120°,且设

(1)试用来表示的值；

(2)若与的夹角为钝角,试求实数的取值范围.

36．（2019·上海期末）已知

(1)求的单位向量

(2)若与的夹角为锐角,求实数的取值范围．

37．（2019·上海期末）已知向量，，．

（1）当，求向量与的夹角大小.

（2）∥，求实数的值．

38．（2018·上海复旦附中期末）已知空间向量与的夹角为，且，，令，．

求，为邻边的平行四边形的面积S；

求的夹角．

39．（2018·上海期末）已知向量，，．

当k为何值时，；

当时，求满足条件的实数m，n的值．

40．（2020·上海期末）如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，，其中.

（1）求表达式的值，并说明理由；

（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的的值.

41．（2020·上海市嘉定区封浜高级中学期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）若过点的直线与曲线相交于A、B不同的两点，求的值；

（3）若曲线上不同的两点、满足，求的取值范围．

42．（2021·上海市奉贤中学期末）已知关于的方程的两根为、.

（1）若，求的值；

（2）若，求实数的值.

43．（2021·上海市建平中学期末）已知（i是虚数单位），求：

（1）的值；

（2）满足不等式的实数a的取值范围.

44．（2021·上海交大附中期末）已知方程有两个根，，．

（1）若，求实数p的值；

（2）若，求实数p的值．

45．（2020·上海格致中学期末）已知关于的方程的两个根是､.

（1）若(为虚数单位)，求与的值；

（2）若是实数，且，求的值.

46．（2020·上海复旦附中期末）设是虚数，是实数，且.

（1）求的值及的取值范围；

（2）若为纯虚数，求.

47．（2016·上海期末）已知复数满足，，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若是关于的方程()的一个根，求实数与的值.

48．（上海市复兴高级中学期末）已知复数z满足z=﹣4．

（1）求复数z的共轭复数 ；

（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围．

49．（2021·上海中学期末）已知关于t的一元二次方程.

(1)当方程有实根时,求点的轨迹;

(2)求方程实根的取值范围.

50．（2019·上海复旦附中期末）设.

(1)若,且是实系数一元二次方程的一根,求和的值；

(2)若是纯虚数,已知时,取得最大值,求；

(3)肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题,已知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9,求该题能被正确解答的概率.